1. VECTORES

2. EL DESPLAZAMIENTO DE UN CORREDOR
Competencia ejemplificada: Aplicar modelos matemáticos
En una pista rectangular, un corredor primero recorre d1 = 300
m hacia el este, y después d2 = 400 m hacia el norte.
1.- ¿Cuál es la magnitud d del vector de desplazamiento total del
corredor?
2.-¿Qué ángulo forma con la dirección este?

3. SOLUCIÓN GRÁFICA
0
d1
d2
d
(Escala: 1 cm = 50m)
MÉTODO DEL POLIGONO (DEL TRIÁNGULO)

4. 1.- Como el ángulo entre las direcciones de los vectores d1 y d2 es
una ángulo de 90° para encontrar la hipotenusa d del triángulo en
cuestión se recomienda aplicar el teorema de Pitágoras:
2 + d2
d = d1
2
Al obtener la raíz cuadrada de ambos lados, se obtiene:
d = d1
2 + d2
2 = (300m) 2 + (400m) 2 = 500 m
Entonces, la magnitud del vector de desplazamiento total del corredor
es de 500m
MÉTODO ANALÍTICO

5. 2. El seno del ángulo α que ese vector forma con la dirección este es:
sen α = d2 / d = 400 m / 500 m = 0.8
El ángulo es : α = sen-1 0.8 = 53.13°
MÉTODO ANALÍTICO

6. EJEMPLO:

7. EJEMPLO:
LA FUERZA RESULTANTE SOBRE UN BALÓN DE FUTBOL
f2
f1 F
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO

8. F = f1
2 + f2
MÉTODO ANALÍTICO
2 = (4 N) 2 + (2 N) 2 = 16 N 2 + 4 N 2 = 20 N 2
F = 4.47 N
Dirección:
sen α = f2 / F = 2 N / 4.47 N = 0.447
α = sen-1 0.447 = 26.55°

9. Suma de Vectores. Método Analítico
• Suma de Componentes
La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces
no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores
están en tres dimensiones.
Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede
descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados
las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos,
lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos
direcciones perpendiculares entre sí.

10. Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera
Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vector V. Se
trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y
determinándose sobre el eje x la componente vectorial Vx y sobre el
eje y la componente vectorial Vy.
Notemos que V = Vx + Vy de acuerdo al método del paralelógramo.
Las magnitudes de Vx y Vy, o sea Vx y Vy, se llaman componentes y son
números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo
o negativo de los ejes x y y.

11. Vy
Vx
V
Notar también que:
Vy = Vsenθ senθ = Vy
V
Vx = Vcosθ cosθ = Vx
V
V R
2 = Σ VX
2 + Σ VY
2
tan Ѳ = Σ VY
Σ VX

12. Vx (+)
Vy (+)
θ
Vx (-)
Vy (+)
Vx (-)
Vy (-)
Vx (+)
Vy (-)
SIGNOS DE LOS COMPONENTES

13. EJEMPLO:
Determina analíticamente la magnitud y la dirección de la
fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas:
F1 = 80 N a 0°
F2 = 100 N a 45°
F3 = 110 N a 150°
F4 = 160 N a 200°

14. Calculo analítico
Fx = Fcos θ Fy=Fsenθ
F1 = 80 N a 0°
F2 = 100 N a 45°
F3 = 110 N a 150°
F4 = 160 N a 200°
Σ FX = Σ FY =
La fuerza resultante por los signos (-, +) se localiza en el segundo
cuadrante.

15. Calculo analítico
Fx = Fcos θ Fy=Fsenθ
F1 = 80 N a 0° 80 N cos 0° 80 80 sen 0° 0
F2 = 100 N a 45° 100 cos 45° 70.71 100 sen 45° 70.71
F3 = 110 N a 150° 110 cos 150° -95.26 110 sen 150° 55
F4 = 160 N a 200° 160 cos 200° -150.35 160 sen 150° -54.72
Σ FX = - 94 9 Σ FY = 70.99
La fuerza resultante por los signos (-, +) se localiza en el segundo
cuadrante.
F R
2 = Σ FX
2 + Σ FY
2 despejar F R = Σ FX
2 + Σ FY
2

16. Sustitución
F R = (-94 9)2 + (70.99)2 = 9006.01 + 5039.58
F R = 118.42
Magnitud de la
fuerza resultante
Dirección de la fuerza resultante:
tan Ѳ = Σ VY = 70.99 = - 0.7473
Σ VX
- 94.99
Ѳ = inv. tan 0.7473 = -36.79 °
Ѳ = 180 ° - 36.79 = 143.21°
2º
cuadrante