Vectores y estatica de solidos --- Chara H.

Estudiante: CHARA HUAMANI, WILDER ARON
Tema: vectores y estatica de solidos
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
Mecánica racional
Profesor: Villanueva Guzmán, Víctor G.

Chara Huamani, Wilder Aron
1VECTORES
I. Definición
Un vector es un elemento matemático, representado por un conjunto de
escalares, gráficamente es un segmento de recta orientado utilizado para medir
magnitudes vectoriales. Es generalizable su definición para espacios n-
dimensionales en el ámbito matemático.
Su uso se hizo necesario para expresar comportamientos conjuntos y simplificar
su manejo, esto mediante la definición del algebra vectorial.
II. Representación de un vector
Los vectores se representan gráficamente
por segmentos acabados en una punta de
flecha. Queda determinado su módulo por
la longitud del segmento, su dirección por
la de la recta a que pertenece y su sentido
por la punta de la flecha. Al origen del
vector se le llama PUNTO DE
APLICACIÓN.
III. Clasificación de los vectores. Criterios de igualdad
Los vectores pueden ser:
 LIBRES cuando se pueden trasladar paralelamente a sí mismos a un
punto origen arbitrario. (Ejemplo: el momento de un par de fuerzas).
 DESLIZANTES cuando se pueden trasladar a lo largo de su dirección, es
decir, que además de su módulo, dirección y sentido, se fija su recta de
posición, y se puede tomar cualquier punto de ella como origen del vector.
(Ejemplo: una fuerza); se llaman también CURSORES.
 LIGADOS cuando su punto de aplicación, su dirección, y su sentido son
fijos e invariables. (Ejemplo: la intensidad del campo gravitatorio, eléctrico
o magnético en un punto del espacio).
Dos vectores son EQUIPOLENTES cuando sus direcciones son paralelas y son
iguales en módulo y sentido.
También los vectores pueden clasificarse en AXIALES y POLARES.
 Los vectores POLARES tienen sentido propio inherente a su definición.
Por ejemplo, la velocidad de un móvil, la fuerza aplicada a un cuerpo, su
aceleración, etc.

2 Los vectores AXIALES (o PSEUDOVECTORES), no tienen sentido propio
sino que necesitan de un convenio para precisarlo.
Es el caso de la velocidad angular, del momento de una fuerza respecto de un
punto, de la inducción magnética, etc. En el caso de la velocidad angular de
rotación el convenio que se establece para la representación de tal vector es que
su longitud represente el módulo o medida de la magnitud (en nuestro caso,
número de radianes por segundo, por ejemplo) que su dirección sea
perpendicular al plano en que se verifica el giro y cuyo sentido sea el de avance
de un sacacorchos que girase en el mismo sentido de la rotación considerada.
Teniendo en cuenta la primera clasificación que hemos hecho, establecemos el
siguiente CRITERIO DE IGUALDAD de vectores: dos vectores libres son iguales
si tienen los mismos módulos, dirección y sentido (es decir cuando son
equipolentes para que sean iguales dos vectores deslizantes han de pertenecer
además a la misma recta soporte; y en el caso de vectores ligados deben estar
también aplicados en el mismo punto, es decir, un vector ligado sólo puede ser
igual a sí mismo
IV. Coordenadas cartesianas.
Para el estudio de cualquier fenómeno físico, la forma más simple empleada es
el de coordenadas cartesianas ortogonales. Para establecer éste, la idea
esencial inventada por René Descartes (1596-1650), es la identificación del
conjunto de los puntos que componen una línea recta, que llamaremos X, con la
totalidad de los números reales; definiendo sobre ella un «origen» O que divide
a la recta en dos semirrectas a las que daremos el signo positivo y negativo
Si convenimos en llamar «unidad» a la longitud
del segmento OA y consideramos al segmento
OP, también sobre la semirrecta positiva,
entonces al punto P le asociamos el número
real:
x = OP/OA; decimos entonces que «x es la coordenada del punto P». La
coordenada de un punto Q situado en la semirrecta negativa, le corresponde el
número real: x = -OQ/OA.
Esta asociación del conjunto de los puntos X con el conjunto de los números
reales constituye un SISTEMA COORDENADO DEL ESPACIO
UNIDIMENSIONAL formado por los puntos de X. Obsérvese que a cada punto
de la recta X le corresponde uno y sólo uno de los números reales, y
recíprocamente.
Un paso más adelante es establecer una relación entre los puntos del plano y el
conjunto de los números reales, para lo cual se toman dos rectas X e Y que se
cortan ortogonalmente en un punto O, y cuyos sentidos positivos son
convencionales. Un par de tales rectas con unidades de longitud OA y OB forman

3los que llamamos EJES CARTESIANOS ORTOGONALES. A cada punto P del
plano le asociamos una pareja ordenada de números reales (x, y).
El par ordenado de números (x, y) son las coordenadas de P en el plano y
la correspondencia biunívoca de parejas ordenadas de números con el
conjunto de puntos del plano XY es el SISTEMA COORDENADO
ORTOGONAL DEL ESPACIO BIDIMENSIONAL constituido por los puntos
del plano.
La extensión a la representación de puntos en el espacio tridimensional es
inmediata: escogemos primero un origen O, por él pasamos tres planos
perpendiculares entre sí, las rectas de intersección de estos planos son también
ortogonales entre sí y se les llama EJES DE COORDENADAS X, Y, Z. Para
asociar al punto P tres números hacemos pasar por P tres planos ortogonales
entre sí que sean a su vez normales a los planos de referencia, interceptarán a
los ejes X, Y, Z en los puntos M, N y R a los que corresponden tres números
reales x, y, z.
La terna ordenada de números (x, y, z) son las coordenadas de P en el
espacio, y la correspondencia biunívoca de ternas ordenadas de números
con el conjunto de puntos del espacio XYZ es el SISTEMA DE
COORDENADAS DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL constituido por los
puntos del espacio.
Al triedro que aparece en la Figura anterior se le llama TRIEDRO
TRIRRECTÁNGULO POSITIVO o DEXTRÓGIRO; convenimos en que un triedro
cualquiera será positivo cuando podamos llevarlo a coincidir con el de la figura
mediante movimientos rígidos. Otro convenio más general para caracterizar los
triedros positivos es: si hacemos girar a la parte positiva del eje X en el plano XY,
alrededor del eje Z, hasta hacerlo coincidir con la parte positiva del eje Y a través
del menor ángulo entre X e Y, ese movimiento produce al eje Z una rotación tal
que un sacacorchos colocado en él, avance en la dirección positiva del eje Z;
pero ya sabemos que no es necesario que sea siempre ésta la forma de
proceder.
La razón por la que tenemos que abandonar el convenio de las agujas del reloj
establecido en el plano es que al observar un giro en un plano desde el espacio,

4el observador puede encontrarse en dos semiespacios diferentes, determinados
por el plano en que gire la partícula, y observadores en los semiespacios A y B
no podrán ponerse de acuerdo sobre cuál es el sentido positivo o negativo con
el criterio del reloj y si se pondrán de acuerdo con los sentidos de giro
establecidos en el párrafo anterior.
V. Componentes coordenadas de un vector
En el espacio tridimensional hemos definido un punto por tres coordenadas (x,
y, z). Definimos lo mismo mediante un vector r = r (x, y, z) llamado VECTOR DE
POSICIÓN, a la terna ordenada de números (x, y, z) los llamamos
COMPONENTES COORDENADAS del vector y le asociamos un único símbolo
matemático r.
Si utilizamos un sistema de coordenadas diferente, los tres números cambian a
(x´, y´, z´), sin embargo, el vector r es el mismo en ambos sistemas. Lo que
queremos decir es que la definición de vector permanece invariante o
independiente del sistema de coordenadas elegido.
Tomando el sistema X, Y, Z, y dándole carácter vectorial a x, y, z (proyecciones
ortogonales de r sobre los ejes), indicaremos r de la forma:
r = x + y + z
El sentido físico de esta igualdad es: suponiendo que r fuera un efecto (una
fuerza por ejemplo), no se afirma que r es la suma numérica de sus
componentes, sino que el efecto físico que produce r es el mismo que el efecto
de x, y, y z actuando simultáneamente. Las componentes tienen por valor:
x = r cos(α); y = r cos(β); z = r cos(γ)
α, β γ y son los ángulos que forma r con cada uno de los ejes. A sus cosenos se
les llama COSENOS DIRECTORES. El módulo de r (diagonal del paralelepípedo
construido con x, y, z como lados) es:
𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
Si elevamos al cuadrado las igualdades (1) y sumamos, obtendremos:
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑟2(cos2
α + cos2
β + cos2
y) → 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝛂 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝛃 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝐲 = 𝟏
Si el vector viene dado por las coordenadas de
su origen A(x, y, z) y de su extremo
B(x´, y´, z´), entonces las componentes
coordenadas del vector AB serán:
(x´-x; y´ -y, z´-z).

5VI. ÁLGEBRA VECTORIAL
Una vez establecido el criterio de igualdad de vectores, vamos a estudiar
operaciones vectoriales referidas a vectores libres. Las conclusiones que se
obtendrán son también aplicables a vectores deslizantes cuyas rectas soporte
se cortan y a vectores ligados con el mismo punto de aplicación En los restantes
casos, antes de generalizar las conclusiones, deberemos analizar
detenidamente la situación física correspondiente.
Suma de vectores libres
Físicamente, sumar vectores, representantes de una misma magnitud, es
hallar un tercer vector de la misma naturaleza que produzca los mismos
efectos que producirían los vectores sumandos actuando
simultáneamente.
La suma de dos vectores libres se define
mediante la siguiente construcción gráfica: Sean
los vectores v1 = AB y v2 = CD, si desde el
extremo del primero, B, trazamos el vector BE
equipolente al segundo, definimos el vector suma
como el que tiene por origen el primero, A, y por
extremo el del segundo, E.
Analíticamente la suma de vectores se realiza en función de sus componentes.
El caso sencillo de dos vectores en dos dimensiones. Si s = v1 + v2, siendo v1 =
x1 + y1 y v2 = x2 + y2 , entonces s = x + y, donde:
El resultado es generalizable a tres dimensiones:
si s = v1 + v2, siendo v1 = x1 + y1+ z1 y v2 = x2 +
y2+ z2, entonces s = x + y + z, donde:
«Las componentes cartesianas del vector suma
se obtienen sumando algebraicamente las
correspondientes componentes de los
sumandos».
El módulo del vector suma será:
𝑠 = √(𝑥1 + 𝑥2)2 + (𝑦1 + 𝑦2)2 + (𝑧1 + 𝑧3)2
y sus cosenos directores:
cos α = x/s, cos β = y/s y cos y = z/s.

6Es importante resaltar la diferencia existente entre las expresiones s = v1 + v2 y
s = v1 + v2. La primera expresa que el efecto físico que produce s es el mismo
que el de v1 y v2 actuando a la vez. La segunda, referida a los módulos, sólo es
cierta si ambos vectores sumandos son paralelos y del mismo sentido.
Para expresar, en general, la relación existente entre el módulo del vector suma
y los módulos de los vectores sumandos, consideremos los vectores v1 y v2 , que
forman entre sí el ángulo 𝜑; de ella se obtiene las siguientes relaciones:
𝑠2
= 𝑂𝐵2
= 𝑂𝐶2
+ 𝐶𝐵2
𝑂𝐶 = 𝑂𝐴 + 𝐴𝐶 = 𝑣1 + 𝐴𝐶
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 cos 𝜑 = 𝑣2 cos 𝜑
𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 sin 𝜑 = 𝑣2 cos 𝜑
𝑠2
= 𝑣1
2
+ 𝑣2
2
cos2
𝜑 + 2𝑣1 𝑣2 cos2
𝜑 + 𝑣2
2
sen2
𝜑
𝒔 = √ 𝒗 𝟏
𝟐
+ 𝒗 𝟐
𝟐
+ 𝟐𝒗 𝟏 𝒗 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝝋
CASOS PARTICULARES:
1. En el caso de que los vectores tengan la misma dirección y sentidoel
ángulo es cero y su coseno la unidad; por tanto:
2. En el caso de que los vectores tengan la misma dirección y sentido
contrario el ángulo j es 180º y su coseno es -1:
3. Si los vectores son perpendiculares, 𝜑 = 90º, entonces:
Propiedades de la suma de vectores
A partir de consideraciones geométricas sencillas se deducen las siguientes
propiedades:
a) Es conmutativa: v1 + v2 = v2 + v1. En efecto:
v1 + v2 = AB + BD = AD, y v2 + v1 = AC + CD
= AD, luego es conmutativa; y s coincide con
la diagonal del paralelogramo construido con
v1 y v2 como lados.

7b) Es asociativa: (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3) En efecto:
(v1 + v2) + v3 = (AB + BC) + CD = AC + CD = AD
v1 + (v2 + v3) = AB + (BC + CD) = AB + BD = AD
Esta propiedad permite definir la regla del polígono para la suma gráfica de
vectores: Dados n vectores libres, v1, v2 , ..., vn , si tomamos como origen de
cada uno el extremo del anterior, el vector suma es el que une el origen del
primero con el extremo del último.
Analíticamente esta propiedad se expresa de la forma:
y las componentes del vector suma son de nuevo la suma de las
correspondientes componentes de los sumandos.
c) Existe el vector nulo 0, tal que v + 0 = v. Sus componentes son todas nulas.
d) Para todo vector v existe el opuesto -v, que sumado con v da el vector nulo:
v + (-v) = 0.
Sus componentes son las de v con el signo cambiado, y tiene la misma dirección
que v y sentido contrario.

8Al resultado de sumar el vector v1 el opuesto a v2 se le llama DIFERENCIA DE
AMBOS VECTORES: v1 - v2 = v1+ (-v2)
Descomposición de un vector en dos o más direcciones
a) DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN DOS
DIRECCIONES.
Basta trazar por el extremo del vector v
paralelas a las direcciones 1 y 2, hasta obtener
el paralelogramo del cual v es diagonal. Los
lados de aquél concurrentes con v son los
vectores componentes. v = v1 + v2. La solución
es única.
b) DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR EN
TRES DIRECCIONES CONCURRENTES
COPLANARIAS CON EL VECTOR.
Se traza por el punto de concurrencia una
dirección auxiliar cualquiera y se descompone
v en una de las direcciones dadas –3– y la
auxiliar, la componente según ésta, se
descompone a su vez en –1– y –2–; v1, v2 y
v3 serán las componentes pedidas: v = v1 + v2
+ v3. La descomposición se puede hacer de
infinitas formas según la dirección auxiliar
elegida.
c) DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR
EN TRES DIRECCIONES NO
COPLANARIAS CON ÉL:
Por el extremo del vector que queremos
descomponer (v) se traza una paralela
a una de las direcciones a la dirección
3) hasta que encuentre en un punto (A)
al plano determinado por las otras dos
(1, 2), quedando así determinado el
vector OA que descompuesto en las
direcciones –1– y –2– nos resuelve el problema: v = v1 + v2 + v3. La
solución es única.
VII. Producto de un vector por un escalar
«El producto de un vector, v, por un escalar, n, es otro vector de las siguientes
características: dirección la misma de v, sentido, el de v si n es positivo y el
contrario si es negativo, y el módulo igual al producto del de v por el valor
absoluto de n».

9Esta definición es evidente una vez definida la suma, puesto que si n es un
escalar (un número), si multiplicamos por v, con el producto nv queremos decir
que hay que sumar n vectores iguales a v y esta suma resulta ser un vector de
módulo nv con la misma dirección y sentido que v.
Consecuencia de esta operación así definida, son las tres propiedades
siguientes:
a) «Si dos vectores a y b tienen la misma dirección, existe un número a que
cumple»:
a = αb
En efecto: el valor de este número será α = a/b y el signo será + o - según que
el sentido sea el mismo o el contrario.
b) «Un vector v puede expresarse siempre como combinación lineal de otros dos
a y b coplanarios con él»:
v = αa + βb (1)
En efecto: si descomponemos v en las dos direcciones de a y b y las
componentes resultantes son v1 y v2, tendremos:
v = v1 + v2 (2)
por la primera propiedad existirán dos números a y b tales que: α= v1/a, β = v2 /b
y que v1 = αa, v2 = βb, que sustituidos en (1) da (2).
c) «Un vector v en el espacio, puede expresarse mediante una combinación de
tres a, b y c no coplanarios con él».
v = αa + βb + γc (3)
En efecto: el vector v lo podemos descomponer en las tres direcciones de a, b y
c, si las componentes son v1, v2, v3 tendremos:
v = v1 + v2 + v3 (4)
y por la primera propiedad existen a, b y g tales que: α = v1/ a; β = v2 / b; γ = v3 /c
tales que v1 = αa, v2 = βb, v3 = γc que sustituidos en (3) da (4).
VIII. Vectores unitarios
Llamamos VECTOR UNITARIO (o VERSOR) a todo vector de módulo unidad.
Según las propiedades de la cuestión anterior si u es un vector unitario y v un
vector que tiene la misma dirección y sentido podremos escribir:

10Para que la medida de una magnitud adquiera carácter vectorial, basta
multiplicarla por el vector unidad en la dirección y sentido adecuados; es decir
por un vector cualquiera en tal dirección y sentido, elevado a un exponente igual
a cero.
Si queremos definir una dirección de un eje cualquiera dado en el espacio,
definiremos el vector eº en la dirección de dicho eje; es inmediato que sus
componentes coordenadas (proyecciones sobre los ejes) son precisamente los
cosenos directores de este eje.
Expresión de un vector en función de sus componentes y los vectores
unitarios correspondientes a los ejes de coordenadas
Si las componentes de un vector son x, y, z,
es decir:
v = x + y + z
y llamando i, j y k a los vectores unitarios en
la dirección y sentido de los ejes, se
verificará: x = x i, y = y j, z = z k; siendo x, y,
z los módulos de x, y, z. Sustituyendo estos
últimos valores en la ecuación vectorial,
obtenemos:
v = x i + y j + z k
expresión de un vector en función de los
módulos de sus componentes y de los vectores unitarios en la dirección y sentido
de los ejes. Otra forma que emplearemos en este libro para expresar un vector
en función de sus componentes coordenadas será: v(x, y, z) y en particular para
los vectores unitarios en las direcciones de los ejes de coordenadas, i (1, 0, 0), j
(0, 1, 0) y k(0, 0, 1).
IX. Producto escalar de dos vectores
Es un escalar obtenido multiplicando el producto de sus módulos por el coseno
del ángulo que forman.
También se puede definir el PRODUCTO ESCALAR como producto del módulo
de uno de los vectores por la proyección del otro sobre él.

11PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
a) El producto escalar goza de la propiedad
conmutativa, ya que los tres factores (tres
números) v1, v2 y cos φ pueden colocarse en
cualquier orden sin que varíe el valor de su
producto.
b) Goza de la propiedad distributiva. En efecto:
y el producto escalar tendrá por valor:
c) «Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero». En efecto:
hay que exigir además, que tanto v1 como v2 sean no nulos.
d) «Si dos vectores tienen la misma dirección y sentido, su producto escalar es
igual al producto de sus módulos».
En efecto: si en, φ = 0 el cos φ = 1 > v1·v2= v1v2
En particular si v lo relacionamos consigo mismo mediante el producto escalar
podremos escribir: v · v = v2.
e) Basándonos en la propiedad distributiva vamos a obtener la expresión del
producto escalar de dos vectores en función de sus componentes.
Dados v1 (x1, y1, z1) y v2 (x2, y2, z2) su producto escalar será:
𝒗 𝟏⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝒗 𝟐⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1 𝒊 + 𝑦1 𝒋 + 𝑧1 𝒌) ∙ (𝑥2 𝒊 + 𝑦2 𝒋 + 𝑧2 𝒌
y como: i·i = j·j = k·k = 1; i·j = j·k = k·i = 0 se define:
𝒗 𝟏⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝒗 𝟐⃗⃗⃗⃗ = (𝑥1 𝒊 + 𝑦1 𝒋 + 𝑧1 𝒌) ∙ (𝑥2 𝒊 + 𝑦2 𝒋 + 𝑧2 𝒌) = 𝑥1 𝑥2 + 𝑦1 𝑦2 + 𝑧1 𝑧2
Aplicaciones del producto escalar:
a) Ángulo de dos vectores. La propiedad e) nos proporciona un método
sencillo para obtener el ángulo que forman dos vectores, conocidas sus
componentes. En efecto:

12Con lo cual determinamos:
a. Perpendicularidad o independencia lineal entre vectores, si
cos 𝜑 = 0
b. Dependencia lineal, si cos 𝜑 ≠ 0
b) Proyección de un vector:
a. Componente escalar: 𝑪𝒐𝒎𝒑
𝒗 𝟏
→ 𝒗 𝟐⃗⃗⃗⃗ = (
𝒗 𝟏⃗⃗⃗⃗ ∙𝒗 𝟐⃗⃗⃗⃗
‖𝒗 𝟏‖
)
b. Componente vectorial: 𝑪𝒐𝒎𝒑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒗 𝟏
→ 𝒗 𝟐⃗⃗⃗⃗ = (
𝒗 𝟏⃗⃗⃗⃗ ∙𝒗 𝟐⃗⃗⃗⃗
‖𝒗 𝟏‖
) 𝝁 𝒗 𝟏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) Cálculo del trabajo, por medio de la integral de línea y el concepto mismo
del trabajo: 𝑾 = ∫ 𝑭⃗⃗ ∙ 𝒅𝒓⃗
𝟐
𝟏
X. Producto vectorial de dos vectores
Es un vector, cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los factores,
por el seno del ángulo que forman los vectores:
A = |v1 ⊗ v2| = v1v2 sen φ
la dirección del producto vector, es perpendicular al plano determinado por
los factores, y su sentido el de avance de un sacacorchos que gira del
primero al segundo factor por el camino más corto.
El módulo es el área del paralelogramo que tiene v1 y v2 como lados. Como la
dirección de v1 ⊗ v2 es normal al plano del paralelogramo podemos considerarlo
como el «vector área» del paralelogramo. Puesto que: v2 sen φ = h (altura del
paralelogramo formado por v1 y v2 como lados), se verifica: Área del
paralelogramo = A = v1h. En Física es conveniente «asociarle a una superficie
un vector»
XI. triple producto escalar o producto mixto
El PRODUCTO MIXTO es un escalar, cuyo valor es el producto escalar de un
vector, por un producto vector.
El escalar que resulta en el producto mixto es el volumen del paralelepípedo de
aristas v1, v2 ,v3 ya que A = v2 ⊗ v3 es el área de la base y: v1 · A = v1A cos𝜑 =
Ah = V; se verifican las igualdades:

13v1·(v2 ⊗ v3)= v3·(v1⊗v2)= v2·(v3⊗v1)= -v1·(v3⊗v2)= -v3·(v2 ⊗ v1)= -v2·(v1⊗v3)
también se suele expresar:
v1v2v3 = v3v1v2 = v2v3v1
Propiedades del producto vectorial
a) El producto vectorial goza de la propiedad anti conmutativa (no goza de la
propiedad conmutativa) ya que: v1 ⊗ v2= - v2 ⊗ v1 por definición.
b) Es distributivo, es decir: v1 ⊗ (v2+ v3) = v1 ⊗ v2 + v1 ⊗ v3. En efecto: formemos
el vector diferencia de ambos miembros de la igualdad anterior:
multiplicando escalarmente los dos miembros de esta igualdad por un vector
cualquiera b no nulo, nos queda:
haciendo uso de la propiedad del producto mixto obtenido en el párrafo anterior
y de la propiedad distributiva del producto escalar, obtenemos:
que sustituida en la anterior igualdad, nos hace ver que a = 0. resultando por
tanto que:
v1 ⊗ (v2+ v3) = v1 ⊗ v2 + v1 ⊗ v3
c) Cuando dos vectores son paralelos su producto vectorial es el vector nulo y
sus componentes coordenadas son proporcionales entre sí. En efecto: φ = 0 Þ
sen φ = 0 > v1 ⊗ v2 = 0, la propiedad recíproca se cumple si y solo si v1 𝑦 v2 son
no nulos y son paralelos.

14Expresión del producto vectorial y mixto en función de las componentes
coordenadas de los factores
Producto vectorial: 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ⊗ 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = ⟨𝑥1; 𝑦1; 𝑧1⟩ ⊗ ⟨𝑥2; 𝑦2; 𝑧2⟩
teniendo en cuenta que:
i ⊗i =j ⊗j =k ⊗k =0
j ⊗k = -k ⊗j =i i ⊗j= -j ⊗i = k k ⊗i = -i ⊗k = j
y aplicando la propiedad distributiva obtenemos:
𝑣1⃗⃗⃗⃗ ⊗ 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = (𝑦1 𝑧2 − 𝑦2 𝑧1)i − (𝑥1 𝑧2 − 𝑥2 𝑧1)j + (𝑥1 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1)k
𝑣1⃗⃗⃗⃗ ⊗ 𝑣2⃗⃗⃗⃗ = |
𝑦1 𝑧1
𝑦2 𝑧2
| 𝑖 − |
𝑥1 𝑧1
𝑥2 𝑧2
| 𝑗 + |
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
| 𝑘 >
Producto mixto:
si v2 ⊗ v3 = V(x,y,z) entonces:
v1·(v2 ⊗ v3) = v1·v = x1x + y1y + z1z
𝑥 = |
𝑦2 𝑧2
𝑦3 𝑧3
| ; 𝑦 = − |
𝑥2 𝑧2
𝑥3 𝑧3
| ; 𝑧 = |
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑦3
| 𝑘
Que al ser sustituidas:
Y se puede expresar matricialmente:
Aplicaciones de producto vectorial:
a) Determinar el paralelismo de vectores:
si 𝑎 ⊗ 𝑏⃗ = 0, Entonces 𝑎 // 𝑏⃗⃗
b) Calculo de áreas de superficies planas:
𝐴 = |𝑣1⃗⃗⃗⃗ ⊗ 𝑣2⃗⃗⃗⃗ | = |𝑣1⃗⃗⃗⃗ ||𝑣2⃗⃗⃗⃗ |𝑠𝑒𝑛𝜑
c) Intersección de planos:

15Dado dos planos, cuyas normales son 𝑁1
⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝑁2
⃗⃗⃗⃗ se determina un tercero 𝑣
perpendicular a ambos que indicará la dirección de la recta de
interseccion, donde: 𝑣 = 𝑁1
⃗⃗⃗⃗ ⊗ 𝑁2
⃗⃗⃗⃗
Aplicaciones del producto mixto:
a) Verificar si un punto pertenece a un plano: vectores coplanarios
Si: 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ∙ (𝑣2⃗⃗⃗⃗ ⊗ 𝑣3⃗⃗⃗⃗ ) = 0 los vectores son coplanarios.
b) Proyección de áreas:
El área A, representada vectorialmente
por:
𝐴 = 𝑣1⃗⃗⃗⃗ ⊗ 𝑣2⃗⃗⃗⃗
Se proyecta al plano de normal 𝜇 𝑁 por
medio de:
𝐴 𝑝 = 𝐶𝑜𝑚𝑝 𝜇⃗⃗ 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝜇 𝑁
𝑨 𝒑 = 𝝁⃗⃗ 𝑵 ∙ (𝒗 𝟐⃗⃗⃗⃗ ⊗ 𝒗 𝟑⃗⃗⃗⃗ )
c) Momentos respecto de un eje:
Sobretodo en la determinacion del modulo del
vector momento:
XII. Doble producto vectorial
Si tenemos tres vectores v1, v2, v3 y relacionamos v2 ⊗ v3 nos dará un vector,
que multiplicado vectorialmente por v1 origina un nuevo vector, v1⊗ (v2 ⊗ v3),
al que llamamos DOBLE PRODUCTO VECTORIAL.

16Esta operación goza de la propiedad:
bien entendido que cada uno de los
sumandos del segundo miembro
son vectores. El valor (por ejemplo)
del vector del primer sumando es el
producto del escalar v1 · v3 por el
vector v2 (producto de un escalar
por un vector).
Para la demostración vamos a
basarnos en la propiedad del
apartado en que decíamos que un
vector permanece invariable frente
al sistema de coordenadas que elegimos, con lo que la demostración no perderá
generalidad. Si se toman tres vectores no coplanarios v1, v2, v3 y colocamos los
ejes de forma que el plano XY coincida con el plano en que están v2, v3 y el eje
X coincida en dirección y sentido con el vector v3 entonces tendremos:
Sumando y restando x1x2x3 i y agrupando términos:
Que teniendo en cuenta resultados anteriores se obtendrá:
Tal y como se quería demostrar.

17EQUILIBRIO DE CUERPOS RIGIDOS
I. Primera ley de Newton (equilibrio)
Condición de equilibrio: Un cuerpo permanece en equilibrio si este se
encuentra en estado de reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, en tales
casos la resultante de las fuerzas que actúan sobre él es nula.
El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea cero no significa necesariamente
que su velocidad sea cero. Si no está sometido a ninguna fuerza (incluido el
rozamiento), un objeto en movimiento seguirá desplazándose a velocidad
constante.
Para que haya equilibrio, las componentes horizontales de las fuerzas que
actúan sobre un objeto deben cancelarse mutuamente, al igual que con las
componentes verticales. Esta condición es necesaria para el equilibrio, pero no
es suficiente. Por ejemplo, si una persona coloca un libro de pie sobre una mesa
y lo empuja igual de fuerte con una mano en un sentido y con la otra en el sentido
opuesto, el libro permanecerá en reposo si las manos están una frente a otra.
Pero si una mano está cerca de la parte superior del libro y la otra mano cerca
de la parte inferior, el libro caerá sobre la mesa.
Para que haya equilibrio también es necesario que la suma de los momentos en
torno a cualquier eje sea cero. Los momentos dextrógiros (a derechas) en torno
a todo eje deben cancelarse con los momentos levógiros (a izquierdas) en torno
a ese eje. Puede demostrarse que si los momentos se cancelan para un eje
determinado, se cancelan para todos los ejes. Para calcular la fuerza total, hay
que sumar las fuerzas como vectores.
«Diremos que el cuerpo se encuentra en EQUILIBRIO cuando la resultante F y
el par resultante Mp del sistema de fuerzas aplicado sobre él sean nulos,
independientemente del punto elegido para obtener ambos».
II. ECUACIONES DE EQUILIBRIO:
𝑹⃗⃗ = ∑ 𝑭⃗⃗ 𝑖
𝑛
𝑖=1
= 0 𝑴⃗⃗⃗ = ∑ 𝑴⃗⃗⃗ 𝑖
𝐹
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝒓⃗ 𝒊 ⊗ 𝑭⃗⃗ 𝒊
𝑛
𝑖=1
= 0
Condición de equilibrio en el plano:
la suma de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas debe ser nula y, la
sumatoria de los momentos de todas las fuerzas con respecto a cualquier punto
debe ser nula.

18Las ecuaciones de equilibrio se traducen en el plano a:
𝑅 𝑥 = ∑ 𝐹𝑖 𝑥
𝑛
𝑖=1
= 0 𝑅 𝑦 = ∑ 𝐹𝑖 𝑦
𝑛
𝑖=1
= 0
‖𝑴⃗⃗⃗ ‖ = ∑ 𝑀𝑖 𝑧
𝑛
𝑖=1
= 0
Condición de equilibrio en el espacio:
la suma de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas debe ser nula y, la
sumatoria de los momentos de todas las fuerzas con respecto a los tres ejes de
referencia debe ser nula.
Las ecuaciones de equilibrio se traducen en el espacio a:
𝑅 𝑥 = ∑ 𝐹𝑖 𝑥
𝑛
𝑖=1
= 0 𝑅 𝑦 = ∑ 𝐹𝑖 𝑦
𝑛
𝑖=1
= 0 𝑅 𝑧 = ∑ 𝐹𝑖 𝑧
𝑛
𝑖=1
= 0
𝑀𝑥 = ∑ 𝑀𝑖
𝐹
𝑎
𝑛
𝑎=1
= 𝒊 ∙ 𝑴⃗⃗⃗ 𝑜
𝑅
= 0
𝑀 𝑦 = ∑ 𝑀𝑗
𝐹
𝑎
𝑛
𝑎=1
= 𝒋 ∙ 𝑴⃗⃗⃗ 𝑜
𝑅
= 0
𝑀𝑧 = ∑ 𝑀 𝑘⃗
𝐹
𝑎
𝑛
𝑎=1
= 𝒌⃗⃗ ∙ 𝑴⃗⃗⃗ 𝑜
𝑅
= 0
Ecuaciones que son independientes, cualquiera de ellas puede cumplirse
independientemente de las otras.
Obsérvese que un cuerpo en «movimiento» con velocidad lineal constante del
centro de masas y velocidad angular constante alrededor de su centro de masas,
verifican las condiciones de «equilibrio»; esta palabra se refiere a fuerzas y
momentos.
Es de destacar que las tres ecuaciones del equilibrio referidas a momentos
tienen que verificarse cualquiera que sea el punto O elegido como centro de
momentos; por esto, en los problemas de estática, la elección más conveniente
del centro de momentos será la del punto por el que pase el mayor número

19posible de fuerzas, de esta manera, el sistema de ecuaciones que
frecuentemente hay que resolver en este tipo de problemas se simplificará
muchísimo.
III. Diagrama de solido aislado
Es la representación gráfica de todas las fuerzas que interactúan con un mismo
cuerpo aislado empleada para su análisis físico, ayudan en la determinación de
fuerzas desconocidas participes del estado del cuerpo, como por ejemplo
fuerzas internas, y reacciones.
Algunos ejemplos de diagrama de solido aislado:
Solido aislado diagrama de solido aislado

20
IV. Apoyos
Pueden clasificarse:
a) De rodillos o rodillos simplemente: impiden la traslación en
cualquier dirección en excepto la del propio plano.
b) De articulación: sirve de unión y en él se apoya el arranque de un
arco de bóveda.
c) Móvil: solo capaz de generar una reacción en una dirección
determinada.
d) Empotrado: evita movimientos debido a paso de fuerzas como
también los causados por los giros.
También se pueden clasificar por el sistema referencial de acción:
a) Apoyos en el plano:
Apoyo o conexión Reacción
Numero
de
incógnitas
1
1

21
Numero
de
incógnitas
1
2
3
b) Apoyos en el espacio:
Numero de
incógnitas
1
1

22
Numero
de
incógnitas
2
3
4
6
4
5

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