Este documento presenta un resumen de un capítulo sobre vectores. Explica conceptos básicos como cantidades escalares y vectoriales, y cómo representar vectores usando coordenadas polares y rectangulares. También cubre cómo encontrar los componentes de un vector y la resultante de varios vectores. El objetivo es que los estudiantes aprendan a representar y analizar cantidades físicas que tienen magnitud y dirección.

1. Capítulo 3B - Vectores
Presentación PowerPoint de
Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
© 2007

2. Los topógrafos usan mediciones precisas
de magnitudes y direcciones para crear
mapas a escala de grandes regiones.
Vectores

3. Objetivos: Después de completar
este módulo, deberá:
• Demostrar que cumple las expectativas matemáticas:
análisis de unidades, álgebra, notación científica y
trigonometría de triángulo recto.
• Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y
vectoriales.
• Determinar los componentes de un vector dado.
• Encontrar la resultante de dos o más vectores.

4. Expectativas
• Debe ser capaz de convertir unidades
de medición para cantidades físicas.
Convierta 40 m/s en kilómetros por hora.
40--- x ---------- x -------- = 144 km/h
m
s
1 km
1000 m
3600 s
1 h

5. Expectativas (cont.):
• Se supone manejo de álgebra
universitaria y fórmulas simples.
Ejemplo:
0
2
f
v v
x t

 
  
 
Resuelva para vo
0
2
f
v t x
v
t



6. Expectativas (cont.)
• Debe ser capaz de trabajar en notación
científica.
Evalúe lo siguiente:
(6.67 x 10-11)(4 x 10-3)(2)
(8.77 x 10-3)2
F = -------- = ------------
Gmm’
r2
F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN

7. Expectativas (cont.)
• Debe estar familiarizado con prefijos del SI
metro (m) 1 m = 1 x 100 m
1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10-9 m
1 Mm = 1 x 106 m 1 mm = 1 x 10-6 m
1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10-3 m

8. Expectativas (cont.)
• Debe dominar la trigonometría del
triángulo recto.
y
x
R
q
y = R sen q
x = R cos q
cos
x
R
q 
tan
y
x
q  R2 = x2 + y2
sen
y
R
q 

9. Repaso de matemáticas
Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning
Center en Tippens-Student Edition
Si siente necesidad de
pulir sus habilidades
matemáticas, intente el
tutorial del Capítulo 2
acerca de matemáticas.
La trigonometría se
revisa junto con los
vectores en este módulo.

10. La física es la ciencia
de la medición
Comience con la medición de longitud:
su magnitud y su dirección.
Longitud Peso Tiempo

11. Distancia: cantidad escalar
Una cantidad escalar:
Sólo contiene magnitud
y consiste de un
número y una unidad.
(20 m, 40 mi/h, 10 gal)
A
B
 Distancia es la longitud de la ruta
tomada por un objeto.
s = 20 m

12. Desplazamiento-Cantidad vectorial
Una cantidad vectorial:
Contiene magnitud Y
dirección, un número,
unidad y ángulo.
(12 m, 300; 8 km/h, N)
A
B
D = 12 m, 20o
• Desplazamiento es la separación en
línea recta de dos puntos en una
dirección especificada.
q

13. Distancia y desplazamiento
Desplazamiento neto:
4 m, E
6 m, W
D
¿Cuál es la distancia
recorrida?
¡¡ 10 m !!
D = 2 m, W
• Desplazamiento es la coordenada x o y
de la posición. Considere un auto que
viaja 4 m E, luego 6 m W.
x = +4
x = -2

14. Identificación de dirección
Una forma común de identificar la dirección
es con referencia al este, norte, oeste y sur.
(Ubique los puntos abajo.)
40 m, 50o N del E
E
W
S
N
40 m, 60o N del W
40 m, 60o W del S
40 m, 60o S del E
Longitud = 40 m
50o
60o
60o
60o

15. Identificación de dirección
Escriba los ángulos que se muestran a continuación
con referencias al este, sur, oeste, norte.
E
W
S
N
45o
E
W
N
50o
S
Clic para ver las respuestas...
500 S del E 450 W del N

16. Vectores y coordenadas polares
Las coordenadas polares (R, q) son una excelente
forma de expresar vectores. Considere, por
ejemplo, al vector 40 m, 500 N del E.
0o
180o
270o
90o
q
0o
180o
270o
90o
R
R es la magnitud y q la dirección.
40 m
50o

17. Vectores y coordenadas polares
(R, q) = 40 m, 50o
(R, q) = 40 m, 120o
(R, q) = 40 m, 210o
(R, q) = 40 m, 300o
50o
60o
60o
60o
0o
180o
270o
90o
120o
Se dan coordenadas polares (R, q) para cada
uno de los cuatro posibles cuadrantes:
210o
3000

18. Coordenadas rectangulares
Derecha, arriba = (+, +)
Izquierda, abajo = (-, -)
(x, y) = (?, ?)
x
y
(+3, +2)
(-2, +3)
(+4, -3)
(-1, -3)
La referencia se hace
a los ejes x y y,
y los números + y –
indican posición en
el espacio.
+
+
-
-

19. Repaso de trigonometría
• Aplicación de trigonometría a vectores
y
x
R
q
y = R sen q
x = R cos q
cos
x
R
q 
tan
y
x
q  R2 = x2 + y2
Trigonometría
sen
y
R
q 

20. Ejemplo 1: Encuentre la altura de un
edificio si proyecta una sombra de 90 m
de largo y el ángulo indicado es de 30o.
90 m
300
La altura h es opuesta a 300 y el lado
adyacente conocido es de 90 m.
h
h = (90 m) tan 30o
h = 57.7 m
m
90
30
tan
h
ady
op




21. Cómo encontrar componentes
de vectores
Un componente es el efecto de un vector a lo
largo de otras direcciones. A continuación se
ilustran los componentes x y y del vector (R, q).
x
y
R
q
x = R cos q
y = R sen q
Cómo encontrar componentes:
Conversiones de polar a rectangular

22. Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en
una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está
el desplazamiento al este y cuánto al norte?
x
y
R
q
x = ?
y = ?
400 m
30o
E
N
El componente y (N) es OP:
El componente x (E) es ADY: x = R cos q
y = R sen q
E
N

23. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento del este y cuánto del norte?
x = R cos q
x = (400 m) cos 30o
= +346 m, E
x = ?
y = ?
400 m
30o
E
N Nota: x es el lado
adyacente al ángulo de 300
ADY = HIP x cos 300
El componente x es:
Rx = +346 m

24. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está
el desplazamiento del este y cuánto del norte?
y = R sen q
y = (400 m) sen 30o
= + 200 m, N
x = ?
y = ?
400 m
30o
E
N
OP = HIP x sen 300
El componente y es:
Ry = +200 m
Nota: y es el lado opuesto
al ángulo de 300

25. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el
desplazamiento del este y cuánto del norte?
Rx =
+346 m
Ry =
+200 m
400 m
30o
E
N
Los componentes
x y y son cada
uno + en el
primer cuadrante
Solución: La persona se desplaza 346 m al
este y 200 m al norte de la posición original.

26. Signos para coordenadas
rectangulares
Primer cuadrante:
R es positivo (+)
0o > q < 90o
x = +; y = +
x = R cos q
y = R sen q
+
+
0o
90o
R
q

27. Signos para coordenadas
rectangulares
Segundo cuadrante:
R es positivo (+)
90o > q < 180o
x = - ; y = +
x = R cos q
y = R sen q
+
R
q
180o
90o

28. Tercer cuadrante:
R es positivo (+)
180o > q < 270o
x = - y = -
x = R cos q
y = R sen q
-
R
q
180o
270o
Signos para coordenadas
rectangulares

29. Cuarto cuadrante:
R es positivo (+)
270o > q < 360o
x = + y = -
x = R cos q
y = R sen q
360o
+
R
q
270o
Signos para coordenadas
rectangulares

30. Resultante de vectores
perpendiculares
Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es
como cambiar de coordenadas rectangulares a polares.
R siempre es positivo; q es desde el eje +x
2 2
R x y
 
tan
y
x
q 
x
y
R
q

31. Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y
una de 40 lb hacia el este actúan sobre un
burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza
NETA o resultante sobre el burro?
30 lb
40 lb
Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda:
Ej: 1 cm = 10 lb
4 cm = 40 lb
3 cm = 30 lb
40 lb
30 lb
Nota: La fuerza tiene dirección tal como la
longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar
como si se tuvieran vectores longitud para
encontrar la fuerza resultante. ¡El

32. Cómo encontrar la resultante (cont.)
40 lb
30 lb
40 lb
30 lb
Encontrar (R, q) a partir de (x, y) dados = (+40, -30)
R
f
q
Ry
Rx
R = x2 + y2 R = (40)2 + (30)2 = 50 lb
tan f =
-30
40
f = -36.9o q = 323.1o

33. Cuatro cuadrantes (cont.)
40 lb
30 lb
R
f
q
Ry
Rx
40 lb
30 lb R
f
q
Ry
Rx
40 lb
30 lb
R
q Ry
Rx
f
40 lb
30 lb
R q
Ry
Rx
f = 36.9o; q = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o
R = 50 lb
R = 50 lb

34. Notación vector unitario (i, j, k)
x
z
y Considere ejes 3D (x, y, z)
Defina vectores unitarios i, j, k
i
j
k Ejemplos de uso:
40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i
30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j
20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k

35. Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W;
luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento
en notación i, j y en notación R, q.
-30 m
+40 m R
f
R = Rx i + Ry j
R = -30 i + 40 j
Rx = - 30 m Ry = + 40 m
En notación i, j se tiene:
El desplazamiento es 30 m oeste
y 40 m norte de la posición de partida.

36. Ejemplo 4 (cont.): A continuación se
encuentra su desplazamiento en
notación R, q.
-30 m
+40
m
R
f
q = 126.9o
(R, q) = (50 m, 126.9o)
0
40
tan ; = 59.1
30
f f



2 2
( 30) (40)
R    R = 50 m
q = 1800 – 59.10

37. Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y
46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la
longitud y dirección de la autopista entre las
ciudades.
B
2 2
(46 km) (35 km)
R  
R = 57.8 km
46 km
tan
35 km
f



f = 52.70 S de W.
46 km
35
km
R = ?
f?
A
R = -46 i – 35 j
q = 232.70
q = 1800 + 52.70

38. Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la
fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña
si su brazo forma un ángulo de 280 con el suelo.
280
F = 240 N
F
Fy
Fx
Fy
Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N
Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N
O en notación i, j :
F = -(212 N)i + (113 N)j

39. Ejemplo 8. Encuentre los componentes de
una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del
manubrio de una podadora. El ángulo con el
suelo es de 320.
320
F = 300 N
F Fy
Fx
Fy
Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N
Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N
32o
32o
O en notación i, j
:
F = -(254 N)i - (159 N)j

40. Método de componentes
1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala
con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del
2o a la cola del 3o, y así para los demás.
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la
punta del último vector y note el cuadrante de la
resultante.
3. Escriba cada vector en notación i, j.
4. Sume algebraicamente los vectores para obtener
la resultante en notación i, j. Luego convierta a
(R, q).

41. Ejemplo 9. Un bote se mueve 2.0 km al este,
luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y
finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el
desplazamiento resultante.
E
N
1. Inicie en el origen.
Dibuje cada vector a
escala con la punta del
1o a la cola del 2o, la
punta del 2o a la cola
del 3o, y así para los
demás.
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta
del último vector y note el cuadrante de la resultante.
Nota: La escala es aproximada, pero todavía es
claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.
2 km, E
A
4 km, N
B
3 km, O
C
2 km, S
D

42. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre el
desplazamiento resultante.
3. Escriba cada vector
en notación i, j:
A = +2 i
B = + 4 j
C = -3 i
D = - 2 j 4. Sume algebraicamente
los vectores A, B, C, D
para obtener la resultante
en notación i, j.
R = -1 i + 2 j
1 km al oeste y 2 km
al norte del origen.
E
N
2 km, E
A
4 km, N
B
3 km, O
C
2 km, S
D
5. Convierta a notación R, q
Vea página siguiente.

43. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre desplazamiento
resultante.
E
N
2 km, E
A
4 km, N
B
3 km, O
C
2 km, S
D
La suma resultante es:
R = -1 i + 2 j
Ry = +2
km
Rx = -1 km
R
f
Ahora encuentre R, q
2 2
( 1) (2) 5
R    
R = 2.24 km
2 km
tan
1 km
f



f = 63.40 N del O

44. Recordatorio de unidades significativas:
E
N
2 km
A
4 km
B
3 km
C
2 km
D
Por conveniencia,
siga la práctica de
suponer tres (3)
cifras significativas
para todos los datos
en los problemas.
En el ejemplo anterior, se supone que las
distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km.
Por tanto, la respuesta se debe reportar como:
R = 2.24 km, 63.40 N del O

45. Dígitos significativos
para ángulos
40 lb
30 lb
R
f
q
Ry
Rx
40 lb
30 lb
R
q Ry
Rx
q = 36.9o; 323.1o
Puesto que una décima
de grado con frecuencia
puede ser significativa, a
veces se necesita un
cuarto dígito.
Regla: Escriba los
ángulos a la décima de
grado más cercana. Vea
los dos ejemplos
siguientes:

46. Ejemplo 10: Encontrar R, q para los tres
desplazamientos vectoriales siguientes:
A = 5 m B = 2.1 m
200
B
C =
0.5 m
R
q
A = 5 m, 00
B = 2.1 m, 200
C = 0.5 m, 900
1. Primero dibuje los vectores A, B y C a escala
aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo)
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta
del último vector; note el cuadrante de la
resultante. (R, q)
3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa...)

47. Ejemplo 10: Encuentre R, q para los tres
desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede
ser útil una tabla.)
Vector f componente x (i) componente y (j)
A = 5 m 00 + 5 m 0
B = 2.1 m 200 +(2.1 m) cos 200 +(2.1 m) sen 200
C = 0.5 m 900 0 + 0.5 m
Rx = Ax + Bx + Cx Ry = Ay + By + Cy
A = 5 m B = 2.1 m
200
B
C =
0.5 m
R
q
Para notación i, j,
encuentre los
componentes x, y
de cada vector A,
B, C.

48. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para
tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m,
200; C = 0.5 m, 900.
componente x (i) componente y (j)
Ax = + 5.00 m Ay = 0
Bx = +1.97 m By = +0.718 m
Cx = 0 Cy = + 0.50 m
A = 5.00 i + 0 j
B = 1.97 i + 0.718 j
C = 0 i + 0.50 j
4. Sume los vectores
para obtener la
resultante R en
notación i, j.
R = 6.97 i + 1.22 j

49. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres
vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5
m, 900.
2 2
(6.97 m) (1.22 m)
R  
R = 7.08 m
1.22 m
tan
6.97 m
f  q = 9.930 N del E
R = 6.97 i + 1.22 j
5. Determine R, q a partir
de x, y:
Rx= 6.97 m
R
q
Ry
1.22 m
Diagrama para
encontrar R, q:

50. Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m
a 60o N del W, y finalmente 30 m a 210o. ¿Cuál
es el desplazamiento resultante gráficamente?
60o
30o
R
f
q
Gráficamente, se usa
regla y transportador
para dibujar los
componentes, luego se
mide la resultante R, q
A = 20 m, E
B =
40 m
C = 30 m
R = (32.6 m, 143.0o)
Sea 1 cm = 10 m

51. A continuación se proporciona una
comprensión gráfica de los componentes
y la resultante:
60o
30o
R
f
q
Nota: Rx = Ax + Bx + Cx
Ax
B
Bx
Rx
A
C
Cx
Ry = Ay + By + Cy
0
Ry
By
Cy

52. Ejemplo 11 (cont.) Use el método de
componentes para encontrar la resultante.
60
30o
R
f q
A
x
B
Bx
Rx
A
C
Cx
Ry
By
Cy
Escriba cada vector
en notación i, j.
Ax = 20 m, Ay = 0
Bx = -40 cos 60o = -20 m
By = 40 sen 60o = +34.6 m
Cx = -30 cos 30o = -26 m
Cy = -30 sen 60o = -15 m
B = -20 i + 34.6 j
C = -26 i - 15 j
A = 20 i

53. Ejemplo 11 (cont.) Método de componentes
60
30o
R
f q
A
x
B
Bx
Rx
A
C
Cx
Ry
By
Cy
Sume algebraicamente:
A = 20 i
B = -20 i + 34.6 j
C = -26 i - 15 j
R = -26 i + 19.6 j
R
-26
+19.6
f
R = (-26)2 + (19.6)2 = 32.6 m
tan f =
19.6
-26
q = 143o

54. Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la resultante.
60
30o
R
f q
A
x
B
Bx
Rx
A
C
Cx
Ry
By
Cy
R = -26 i + 19.6 j
R
-26
+19.6
f
El desplazamiento resultante del ciclista se proporciona
mejor mediante sus coordenadas polares R y q.
R = 32.6 m; q = 1430

55. Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los
vectores que se muestran a continuación.
A = 5 m, 900
B = 12 m, 00
C = 20 m, -350
A
B
R
q
Ax = 0; Ay = +5 m
Bx = +12 m; By = 0
Cx = (20 m) cos 350
Cy = -(20 m) sen -350
A = 0 i + 5.00 j
B = 12 i + 0 j
C = 16.4 i – 11.5 j
R = 28.4 i - 6.47 j
C
350
Cx
Cy

56. Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C
A
B
C
350
R
q
R
q
Rx = 28.4 m
Ry = -6.47 m
2 2
(28.4 m) (6.47 m)
R   R = 29.1 m
6.47 m
tan
28.4 m
f  q = 12.80 S del E

57. Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican la dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).
Considere primero A + B gráficamente:
B
A
B
R = A + B
R
A
B

58. Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican la dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).
Ahora A – B: primero cambie el signo
(dirección) de B, luego sume el vector negativo.
B
A
B -B
A
-B
R’
A

59. Comparación de suma y resta de B
B
A
B
Suma y resta
R = A + B
R
A
B -B
R’
A
R’ = A - B
La resta resulta en un diferencia significativa tanto
en la magnitud como en la dirección del vector
resultante. |(A – B)| = |A| - |B|

60. Ejemplo 13. Dados A = 2.4 km N y B = 7.8
km N: encuentre A – B y B – A.
A
2.43 N
B
7.74 N
A – B;
B - A
A - B
+A
-B
(2.43 N – 7.74 S)
5.31 km, S
B - A
+B
-A
(7.74 N – 2.43 S)
5.31 km, N
R R

61. Resumen para vectores
 Una cantidad escalar se especifica completamente
sólo mediante su magnitud. (40 m, 10 gal)
 Una cantidad vectorial se especifica completamente
mediante su magnitud y dirección. (40 m, 300)
Rx
Ry
R
q
Componentes de R:
Rx = R cos q
Ry = R sen q

62. Continúa resumen:
Rx
Ry
R
q
Resultante de vectores:
2 2
R x y
 
tan
y
x
q 
 Encontrar la resultante de dos vectores
perpendiculares es como convertir de coordenadas
polares (R, q) a rectangulares (Rx, Ry).

63. Método de componentes
para vectores
 Inicie en el origen y dibuje cada vector en
sucesión para formar un polígono etiquetado.
 Dibuje la resultante desde el origen hasta la
punta del último vector y note el cuadrante de
la resultante.
 Escriba cada vector en notación i, j (Rx, Ry).
 Sume algebraicamente los vectores para
obtener la resultante en notación i, j. Luego
convierta a (R, q).

64. Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).
Ahora A – B: primero cambie el signo
(dirección) de B, luego sume el vector negativo.
B
A
B -B
A
-B
R’
A

65. Conclusión del Capítulo 3B - Vectores