010 uh

0 1 2 3 4 5 6 7
Versión del 16.Oct.2016 - 22H

Organiza Sonnia Gracia, coordinadora de
Educación Permanente para Jóvenes y
Adultos (EPJA) de la cartera educativa
provincial.
Expone Agustín Rela, docente del instituto de
formación docente Capacyt de Caseros, provincia
de Buenos Aires.

+ –
× ÷
Capítulo 1. Presentación. Matemática
cotidiana, popular y profesional.
Números y operaciones.
Cinco por ocho,
cuarenta.

+ –
× ÷
20 alumnos por
docente.

+ –
× ÷
Five times eight,
forty.

+ –
× ÷
20 pupils per
teacher.

0– +
La recta real
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
Complejos
Números

1,000 000 000 000
0,999 999 999 999... (= x)
x = 0,999 999 999 999...
10 x = 9,999 999 999 999...
10 x = 9,999 999 999 999...
x = 0,999 999 999 999...
9 x = 9
x = 1

0,181318131813... (= x)
1813
× 10 000
1813,18131813... (= 10 000 x)
1813,181318131813... (= 10 000 x)
0,181318131813... (= x)
1813 (= 999 x)
x = 1813 / 999

0,12112211122211112222...
No es racional.

El cómico Enrique Pinti, en su espectáculo Salsa
criolla de 1985, se queja de las cosas que le
enseñaban en la escuela y que él creía inútiles para su
carrera de actor (¿Qué quieren que haga? ¿Que coma
logaritmos con salsa golf? ¿Que me los meta en el
c***? ).
El periodista y caricaturista José María Cao (1862–
1918) desafió a Gabino Ezeiza (1858–1916), conocido
como El payador de San Telmo, a que payase sobre el
logaritmo. Ezeiza cruzó hasta la casa de un médico
amigo para asesorarse, y volvió al rato dispuesto a
improvisar con el nuevo conocimiento.

Ezeiza Cao
Señores, voy a explicar
la ciencia del logaritmo,
si acierto a cantar al ritmo
de mi modesto payar

Ejemplos de temor infundido por la complejidad
de las palabras, que aparecen en el vídeo La
educación prohibida (Germán Doin, 2012), como
motivo de burla hacia la escuela:
pitecántropo
ácido desoxirribonucleico
logaritmo
En cambio nadie se espanta al oír hombre mono,
ADN o exponente.

El logaritmo es el exponente.
log(1 000 000)
log (106
)
6
En los números redondos el
logaritmo es la cantidad de ceros.

Decibeles
1 bel = 10 decibeles
1 bel: multiplicar por 10.
Ejemplo:
Amplificador (o atenuador) de 20 decibeles.
20 decibeles = 2 beles
Multiplica (o divide) dos veces por 10

Sténtor
En la batalla gritaba tanto como 50 guerreros.

El logaritmo decimal de 50 vale
aproximadamente 1,7
1,7 beles son 17 decibeles.
Entonces la broncínea voz de Sténtor era,
según la leyenda, de un nivel 17 decibeles
mayor que el de una voz ordinaria.

Capítulo 2. Sucesiones y funciones.
Dominio, codominio y rango o imagen).
Funciones paramétricas. Límites de
sucesiones y funciones.
Leonardo de Pisa, Leonardo
Pisano o Leonardo Bigollo (c.
1170 – 1250), también llamado
Fibonacci.

Sucesión de Fibonaci
0; 1; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 34; ... 1597; 2584; ...
Cada elemento es igual a la suma de los dos
anteriores.
El cociente de dos elementos sucesivos tiende a
(1+√5)/2, aproximadamente 1,6180339887... , valor
conocido como la sección áurea, o número de oro.

El nacimiento de Venus, de Sandro Boticelli (1445-1510),
pintado en el rectángulo más bello según una creencia
medieval. Sus lados están en la razón de oro: (1+√5)/2.
Algunos pintores daban siempre esa proporción a sus telas.

Si a un rectángulo en proporción áurea se le quita un
cuadrado del mismo lado que el ancho del rectángulo, lo
que queda (en color) es otro rectángulo que también está
en proporción áurea.

Crecimiento de las hojas de algunas plantas, de modo que
se hacen poca sobra unas a otras. Se suele afirmar que
los dos ángulos dividen la circunferencia en la sección
áurea.
137,5
grados
222,5
grados

Leonardo da Vinci halló secciones áureas en las
proporciones humanas que el arquitecto Marco Vitruvio
dio por ideales.
Matt Groening, para burlarse de esa idea, calza en el
mismo diseño a su obeso personaje Homero Simpson.

Por ejemplo, la sucesión an = –3.(–1)n
/n + 1
tiene por límite 1 cuando n tiende a infinito.
Esa sucesión supera infinitas veces el valor
de 1, por lo que 1 no es un límite superior.
Tampoco es un límite inferior. Se le dice
límite por una extensión errónea del
lenguaje en los casos en que la sucesión es
monótonamente creciente o decreciente.

-1
0
1
2
3
4
0 5 10 15 20
an
n

9 1 –6 5
9 > 1 –6 < 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
Menos 6 es menor que cinco
Nueve es mayor que
uno

Capítulo 3. Números reales; la recta
real. Números imaginarios; la recta
imaginaria. Números complejos; el
plano complejo.

Una aplicación curiosa de los
números complejos
El tiempo real y el tiempo imaginario

Teoría de la relatividad
Teoría de la "absolutidad"
La velocidad de la luz en el
vacío no depende de la
velocidad de la fuente de luz, ni
de la velocidad del observador,
ni de ninguna otra cosa.
c = 299.792.458 m/s

Stephen
Hawkings, nacido
en 1942.

Futuro
Futuro
Pasado
Pasado
El tiempo no iba para
adelante ni para
atrás.
El tiempo iba de
costado.
El big bang

La irracionalidad de la raíz
cuadrada de 2

Matemáticos de 500 años antes
de Cristo
Hipaso Pitágoras

2
2
=





q
p
22
2
=
q
p 22
2qp =
p = 2 n
q² = 4 n² / 2
q² = 2 n²
p y q serían ambos pares, en contra de lo
supuesto al inicio.

Diagonal de Cantor
0,dffdddshfgaiaodkksd ...
0,dgghaabcdajiaodkksd ...
0,aabcdajdshfiaodkksd ...
0,aqbcdfggsdlaslñdkgd ...
0,aqbcdajdshfiaodkksd ...
0,aabcdajdshfiaodkkrd ...
0,aebcdajdshfiaeeksdu ...
0,aeecdajdshfiaodkksd ...

Numerabilidad de los racionales
p
q
1/3
–3/4

Recta real
Recta imaginaria
Plano complejo
Raíces enésimas

Real
Imaginaria
1
1
–1
–1
Real
Imaginaria
1
1
–1
–1
Hay dos raíces cuadradas de 1.

R
I
1
1
–1
–1
R
I
1
1
–1
–1
Hay dos raíces cuadradas de i.
i = 1L90°, o bien 1L450°
√i = 1L45°, o bien 1L225°
Se divide el ángulo por dos.

R
i
1
1
–1
–1
R
i
1
1
–1
–1
Las cinco raíces quintas de i: 1L18°, 1L90°,
1L162°,1L234° y 1L306.
Resultan de dividir por 5 el ángulo de 90
grados, que es el mismo que 90 + 360, 90 +
720, etcétera.

Capítulo 4. Cálculo. Extracción
de raíces, prueba y error,
aproximaciones sucesivas, cotas
de error. El ábaco. La antigua
regla de cálculo, la calculadora
de bolsillo y las planillas de
cálculo; aplicaciones
geométricas.

Antiguos instrumentos de cálculo de las civilizaciones
andinas. A la izquierda, un intiwatana, que algunos
traducen como lugar donde se ata el Sol. Sin embargo
en quechua Inti es el Sol, y wata, año, o tiempo. El
intiwatana es un almanaque de sol. ¡Qhepa wata
ripusqanmanta t'inkasun! (¡Brindemos por el año que
se va!)

400 m/s
1 m/s
En un siglo, × 400
Aumento de la
velocidad de viaje
En un siglo, ÷ 5.000.000
Disminución de la
tardanza de
comunicación
Un mes
0,2
segundos

Flujo de datos En un siglo,
× 2.000.000.000.00
0 (dos billones)
5 bytes
por
segundo
Hoy: diez
billones
de bytes
por
segundo
Es difícil captar intuitivamente el enorme
progreso en comunicaciones y cálculo.
Estamos sumergidos en ese avance, y
no lo percibimos, como tampoco, antes
de Evangelista Torricelli, percibíamos la
atmósfera.

Métodos de numeración en base 1.

Bernard Bolzano (1781–1948),
matemático, filósofo, teólogo y
sacerdote, expulsado de su cátedra y
acusado de herejía tanto por su
inteligencia como por sus ideas de
justicia y de paz.
Es autor del método de cálculo que
lleva su nombre: el tanteo por
aproximaciones sucesivas.
x
0 1 2 3

Nos proponemos resolver la ecuación
x5
– 3 x – 8 = 0
Usaremos una manera tan tosca y primitiva que
nos da vergüenza exponerla y que la pueda ver
un matemático de verdad, ya que hay métodos
mucho más veloces y avanzados. Sin embargo
por el momento no nos importará que la solución
tarde en presentarse una centésima de segundo
en vez de hacerlo en una millonésima. Nos
proponemos hallar una de sus raíces, o sea un
valor de x que haga que la ecuación se cumpla.

x5
– 3 x – 8 = 0
0 =(A1+C1)
/2
3 =A1^5-
3*A1-8
=B1^5-
3*B1-8
=C1^5-
3*C1-8
=SI(F1<0
;B1;A1)
=(A2+C2)
/2
=SI(F1<0
;C1;B1)
A B C D E F

1,670579156256 1,670579156300 1,670579156344 -0,000000000225 0,000000001344 0,00000000291
1,670579156256 1,670579156278 1,670579156300 -0,000000000225 0,000000000560 0,00000000134
1,670579156256 1,670579156267 1,670579156278 -0,000000000225 0,000000000167 0,00000000056
1,670579156256 1,670579156262 1,670579156267 -0,000000000225 -0,000000000029 0,00000000016
1,670579156262 1,670579156264 1,670579156267 -0,000000000029 0,000000000069 0,00000000016
1,670579156262 1,670579156263 1,670579156264 -0,000000000029 0,000000000020 0,00000000006
1,670579156262 1,670579156262 1,670579156263 -0,000000000029 -0,000000000004 0,00000000002
1,670579156262 1,670579156263 1,670579156263 -0,000000000004 0,000000000008 0,00000000002
1,670579156262 1,670579156263 1,670579156263 -0,000000000004 0,000000000002 0,00000000000
1,670579156262 1,670579156263 1,670579156263 -0,000000000004 -0,000000000001 0,00000000000
1,670579156263 1,670579156263 1,670579156263 -0,000000000001 0,000000000000 0,00000000000
46
43
44
45
47
41
38
39
40
42
37
7
A B C D E F
Solución con 60 cifras decimales:
1,670 579 156 262 542 288 041 838 276 163
056 940 091 519 762 409 896 811 177 73...

Conducción del calor en
una barra uniforme

0 °C
100 °C
20 °C
0 °C
100 °C
20 °C

Segmento →
Etapa ↓
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 20 20 20 20 20 20 20 20 100
2 0 13,33 20 20 20 20 20 20 46,67 100
3 0 11,11 17,78 20 20 20 20 28,89 55,56 100
4 0 9,63 16,3 19,26 20 20 22,96 34,81 61,48 100
5 0 8,642 15,06 18,52 19,75 20,99 25,93 39,75 65,43 100
6 0 7,901 14,07 17,78 19,75 22,22 28,89 43,7 68,4 100
7 0 7,325 13,25 17,2 19,92 23,62 31,6 47 70,7 100
8 0 6,859 12,59 16,79 20,25 25,05 34,07 49,77 72,57 100
9 0 6,484 12,08 16,54 20,7 26,46 36,3 52,14 74,11 100
10 0 6,188 11,7 16,44 21,23 27,82 38,3 54,18 75,42 100
11 0 5,964 11,44 16,46 21,83 29,11 40,1 55,96 76,53 100
12 0 5,802 11,29 16,58 22,47 30,35 41,73 57,53 77,5 100
13 0 5,697 11,22 16,78 23,13 31,51 43,2 58,92 78,34 100
14 0 5,64 11,23 17,04 23,81 32,61 44,54 60,15 79,09 100
15 0 5,624 11,31 17,36 24,49 33,66 45,77 61,26 79,75 100
16 0 5,643 11,43 17,72 25,17 34,64 46,9 62,26 80,34 100
17 0 5,691 11,6 18,11 25,84 35,57 47,93 63,16 80,87 100

0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Segmento
Temperatura

tvx x=
2
0
2
1
tgtvy y −+=
tgvvy −= αsen0
αsen0vvx =
2
22
0 )(cos2
)( x
v
g
xtgy
α
α −=

Para una dada velocidad de disparo de un proyectil, a veces hay dos
ángulos posibles para acertarle a un blanco: uno es el tiro directo, y el
otro el de elevación o emboquillada.

Así, cuando alguien critica una medida de un ministro,
podría tratarse de una excusa, un 'tiro por elevación' para
atacar en verdad la presidencia o el régimen republicano.
La metáfora se usa mucho en política. Proviene de la
ciencia balística y las catapultas de hace miles de años.
Crítico
Ministro
República

Vito Volterra
(1860-1940) Físico matemático italiano, n. en Ancona
y m. en Roma. Catedrático de la Universidad de Roma
desde 1900, senador y presidente de la Accademia dei
Lincei, durante la I Guerra Mundial se alistó en el
cuerpo de Ingenieros, donde se interesó por la artillería
aire-tierra, asegurándose haber sido el primero que
disparó desde una aeronave. Su oposición al fascismo
y el pretexto de su origen judío le supusieron la
expulsión de su cátedra y de las sociedades científicas
italianas, si bien en 1936 el Papa Pío XI lo recibió en
la Pontificia Academia de Ciencias. Exiliado a...

...Francia hasta 1939, impartió cursos en distintos
países, entre ellos España. Volterra desarrolló la solu-
ción de ecuaciones integrales de límites variables que
lleva su nombre, y en 1926, sobre un problema de
poblaciones de peces, diseñó la ecuación logística que
serviría de base a Alfred J. Lotka (1880-1949) para
desarrollar la ley de crecimiento de dos poblaciones
competitivas (por ejemplo, depredadores y presas),
expresada como sistema de doble ecuación diferencial
(ecuaciones de Lotka-Volterra). Sus Opere matemati-
che (Roma, 1954–62) se publicaron en cinco tomos.

Alfred James Lotka
(Lemberg, 1880-Nueva York, 1949) Matemático
estadounidense. Especializado en estadística, se le
considera el fundador de la demografía matemática.
Estudió la evolución de las poblaciones y definió los
conceptos de población estable, población estacionaria
y tasa de crecimiento natural. Su obra más importante
se titula Teoría analítica de las asociaciones
biológicas.
http://www.biografiasyvidas.com

Hipótesis simplificadas
• Los conejos disponen de alimento ilimitado.
• Los conejos siempre mueren comidos, y
jamás llegan a viejos.
• Los lobos carecen de predadores y sólo
mueren de hambre o de viejos.
• Los lobos sólo disponen de conejos como
alimento

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
Cantidad de conejos

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
Variación de la
cantidad de conejos
en un cierto tiempo

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
Tiempo en el que
ocurre esa variación

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
Cantidad de lobos

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
Variación de la
cantidad de lobos en
el mismo tiempo

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
El mismo tiempo, en
el que ocurre esa
otra variación

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
Tasa de natalidad de
los conejos

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
Probabilidad de que
lo capturen

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
Tasa de natalidad de
los lobos, mayor
cuando están bien
alimentados

)( yx
dt
dx
βα −=
)( xy
dt
dy
δγ −−=
Tasa de mortalidad
de los lobos, por
vejez

Procedimiento
de cálculo
con lápiz y
papel

• Elegimos las cantidades iniciales de conejos
y lobos, por ejemplo x = 3000; y = 1000.
• Elegimos un lapso, p.ej. dt = 1 mes.
• Elegimos las dos tasas de natalidad, p.ej.
α = 0,5 nacimiento por conejo y por mes.
δ = 0,0002 nacimientos por lobo y por mes.
• Elegimos las tasas de captura y de
mortalidad, p.ej.
β = 0,0002 capturas por mes, por lobo y por
conejo.
γ = 0,5 muertes por mes y por lobo.

x = 3000
y = 1000
dt = 1
α = 0,5
β = 0,0002
γ = 0,5
δ = 0,0002

• Usamos la primera ecuación
dx/dt = x(α–βy)
dx/1 = 3000 × (0,5 –0,0002×1000)
dx = 3000 × (0,3)
dx = 900
Entre nacimientos y muertes, hay 900
conejos más. Había 3000; ahora hay 3900.

• Usamos la segunda ecuación
dy/dt = –y(γ –δx)
dy/1 = –1000 × (0,5–0,0002×3900)
dy = –1000 × (–0,28)
dy = 280
Entre nacimientos y muertes, hay 280 lobos
más. Había 1000; ahora hay 1280.

• Volvemos a usar la primera ecuación,
con las nuevas cantidades de lobos y
conejos:
x = 3900
y = 1280
Resulta una nueva cantidad de conejos:
x = 4852 (redondeamos a un valor entero)

• Volvemos a usar la segunda ecuación con
la nueva cantidad de conejos y la que
teníamos de lobos:
x = 4852
y = 1280
Resulta una nueva cantidad de lobos:
y = 1882 (redondeamos a un valor entero)

Gráficamente
Lobos
2000 4000 6000
2000
4000
0
Condición inicial
Conejos

Según los parámetros elegidos (alfa, beta,
gamma y delta) puede ocurrir, como en este
caso, que las poblaciones oscilen, pero que sin
embargo se mantengan entre límites estables.
Con otros parámetros, las poblaciones
languidecen, o al contrario una explota y causa
la extinción de la otra, o de ella misma.
Y hay parámetros que determinan cierta clase
de equilibrio de apariencia caótica entre las
poblaciones.

Procedimiento
de cálculo
con
computadora

100 SCREEN 9:KEY OFF:CLS:I=1
120 A=.5
130 B=.0002
140 C=.5
150 D=.0002
160 X=3000:Y=1000:WINDOW(0,0)-(X*2,Y*6)
165 REM i=i+1:LOCATE I,1: PRINT I;TAB(5); INT(X); INT(Y):IF I>20 THEN STOP
180 X=X+A*X-B*X*Y : X=INT(X+.5)
200 Y=Y-C*Y+D*X*Y : Y=INT(Y+.5)
210 CIRCLE(X,Y),25:I=I+1:FOR PT=1 TO 1000000!:NEXT PT
220 GOTO 165:REM AR 2007.Oct.15:save"amano3.bas",a
Con el vetusto y precámbrico GW Basic
que usaba en mi juventud; disculpen. Se
resaltan las instrucciones principales.
PT significa perder tiempo.

Nuestro ejemplo, calculado en Basic.

Con diferentes parámetros alfa, beta, gamma y
delta, y diferentes poblaciones iniciales.

Curioso caso, que resulta de determinadas
condiciones iniciales.

Lo mismo, con el agregado de colores.

Ciertos parámetros dan lugar a comportamientos
extraños de las poblaciones. Parecen estables...

...pero después de miles de generaciones, y sin
que nadie intervenga...

...estalla una catástrofe poblacional,
consecuencia de las reglas establecidas.
(Desborde en la instrucción 50 significa que la
cantidad de animales es gigantesca.)

Capítulo 5. Cálculo combinatorio.
Aplicaciones a las conexiones
eléctricas, cerraduras de
combinación y otras mecánicas,
claves, contraseñas, privacidad,
buscapersonas.

Hasta 1963
1964 a 1983
1984 a 2015 Desde 2016
Hasta 1945

Código de barras, cuyo grosor puede ser
simple, doble, triple o cuádruple. Las
secuencias se leen igualmente en negativo.
0 2 8 3 5 7 5 3 6 8 14

Códigos QR, o de respuesta
rápida por su sigla en inglés,
variante en dos dimensiones
del código de barras. Uno
dice http://me.gov.ar; el que
sigue da otra dirección en la
Red. En color, diseños
comunes a todos los QR,
que señalan la orientación y
alineación del código.

Variaciones
Permutaciones
Combinaciones

V3,3: Variaciones de tres elementos (las
tres luces), cada una de las cuales
admite tres estados: encendida, apagada
e intermitente. El tránsito usa solamente
algunas.

V5,4: Variaciones de cinco elementos (los
cilindros pequeños) cada uno de los
cuales puede tener cuatro longitudes
diferentes.

En el ADN del genoma de los
seres vivientes hay cuatro bases
que se aparean de manera
exclusiva, la adenina, con la
timina, y la citosina con la
guanina. Cada secuencia, o
variación, es una característica
de cada gen. (Una regla para
recordar ese orden, A-T y C G‑ , es
la de pensar en Aníbal Troilo y
Carlos Gardel.) El genoma
humano tiene un tamaño de algo
más de tres gigabytes,
aproximadamente un DVD.

ROMA RMOA RMAO
ROAM RAOM RAMO
ORMA MROA MRAO
ORAM AROM ARMO
OMRA MORA MARO
OARM AORM AMRO
OMAR MOAR MAOR
OAMR AOMR AMOR
Pn: Permutacionhes de cuatro elementos sin
repeticiones.

Selección de un equipo de tres
astronautas entre cinco candidatos.
Combinaciones de 5 elementos
tomados de a 3.
SÍNO NOSÍSÍ
)!(!
!
,
mnm
n
C mn
−
=

n! = 1 × 2 × 3 × ... × n
)!(!
!
,
mnm
n
C mn
−
=
0! = 1

Capítulo 6. Representaciones gráficas.
Coordenadas cartesianas y polares,
escalas lineales y logarítmicas o
exponenciales. Áreas de figuras simples y
compuestas. Trampas psicológicas de los
gráficos (cómo hacer que lo que es
grande parezca chico, o a la inversa).

y (m)
t (s)
1 2 3
–20
–40
–10
v (m/s)
t (s)
1 2 3
–20
Izquierda: antiguo gráfico de Galileo, de 1600

Generación eléctrica en 2015.

Lactancia. Cuando es
recién nacido, el bebé
demanda alimento en
horarios azarosos. Al poco
tiempo ya se amolda a la
rutina familiar.
Es un ejemplo de gráfico
de barras horizontales.

Gráficos de pastel. En este ejemplo,
comparación de la atmósfera primitiva (antes
de la vida en la Tierra) con la actual. La
concentración de CO2 disminuyó mil veces.

Nitrógeno
Oxígeno
Agua
Argón
Metano
D. Carb.
Nitrógeno78
Oxígeno21
Agua1
Argón1
Metano0,1
D. Carb.0,035
Detalles
ampliados para
hacerlos
visibles.
A la derecha, representación de fracciones
minúsculas, invisibles en el gráfico de pastel
general de la izquierda.

y x
z
y
x
z
y
x
z
yx
z
Las coordenadas cartesianas
que no son ortogonales se
miden paralelamente a los ejes,
pero no perpendicularmente a
los planos coordenados.
Las coordenadas cartesianas
ortogonales, x, y y z, se miden
paralelamente a los ejes y
perpendicularmente a los planos
coordenados.

x
θρ
ϕθρ
ϕθρ
cos
cos
=
=
=
z
senseny
senx
z
ρ
θ
x
z
y
y
ϕ
Coordenadas esféricas

Coordenadas cilíndricas
ϕ
r
z
z
xy
x
y
ry
senrx
arctan
cos
=
=
=
ϕ
ϕ
ϕ

Representación gráfica de funciones en
coordenadas cartesianas y polares
y
x
y = x
y
x
y =1 – x
1
1
ρ = α
3
ρ = 1 – α
3

Más casos
ρ = 1– 2 sen(3α)y = 1– 2 sen(3x)
y
x
3π/2
3
2
1
0
–1
y = 1 + 2 sen(3x) sen(4x)
y
3π/2
3
2
1
0
–1 x
ρ = 1 + 2 sen(3α) sen(4α)

Representaciones en 3D
y
z
x
Función
z = sen(y – 2)2
cos x2
/ (2 + x2
+ y2
)
representada con la
ayuda del programa
Derive 2.10 de Soft
Warehouse, 1988 –
1992.

Radiación solar sobre un plano
horizontal en Corrientes

Radiación solar sobre una pared
vertical orientada al sur, en Corrientes

Radiación solar en una localidad polar

Son circunferencias y no espirales.

Omisión del cero, para dar dramatismo
a las variaciones.

Truncar la escala para esconder valores
muy grandes o muy pequeños. La barra
alta representa la inflación de 1989.
Izquierda: Gráfico
tomado del curso
introductorio
Notas de
Macroeconomía.

Izquierda: real. Derecha: percepción subjetiva de clase. Casi
todo el mundo se considera de clase media. El gráfico
recurre a la falacia triangular para exagerar la pobreza.

Izquierda y derecha, escalas uniformes en áreas. Si se
separan igualmente las líneas horizontales a la derecha, se
introduce un error de percepción.

Falacias del cuadrado y del cubo. El diario exagera, a la
izquierda, el aumento del gasto en publicidad oficial. Arriba:
representación fiel en áreas; abajo, en volúmenes.
0,6 %
1,2 %
0,6 %
1,2 %

Resultado de las pruebas PISA de 2012, presentados por
orden de mérito y en escala absoluta.
0 100 200 300 400 500 600 700
Shanghai, China
Taiwan
Japan
New Zealand
Estonia
Norway
Poland
Hungary
Ireland
Lithuania
Croatia
Azerbaijan
United Arab Emirates
Mexico
Malaysia
Argentina
Georgia
Qatar
Himachal Pradesh, India

Ventajas de la representación logarítmica.
Masa en gramos y
tasa metabólica en
mililitros de oxígeno
por hora y por
gramo de diversos
animales.
Musaraña 4,87,40
Rata 290 0,87
Perro11 7000,33
Humano70 0000,21
Caballo 650 0000,11
Ballena
20 000 0000,03
6×106
2×106
0
4×106
1
0,6
0,8
103
1
0,1
102
10
0,01
107
8×106
0,4
0
0,2
107
106
105
104
0,1
1
Masa (g)
Tasa metab. ml/(g.h) (g)
Masa (g)
Tasa metab. ml/(g.h) (g)

Capítulo 7. Trigonometría elemental
Antiguo uso de tablas; algoritmos de
las calculadoras de bolsillo. Seno,
coseno, tangente, cotangente, secante,
cosecante, las mismas funciones pero
hiperbólicas, y sus inversas. Relación
entre el argumento del coseno
hiperbólico y el arco romano. El arco
ideal tiene la misma forma que la de
una cadena que cuelga, pero invertida.

Hipotenusa
CatetoCateto
Cateto: en ángulo recto.
Hipotenusa: bajo tensión

Una de las más directas demostraciones del
teorema de Pitágoras.
a
b
c
b2
c2
a2

Las curvas cónicas
Elipse
Circunferencia
Parábola
Hipérbola
EjeEje Eje

Fortaleza del coseno
hiperbólico.

Arriba: Aproximación al
coseno hiperbólico.
Abajo: Cálculo exacto.

Capítulo 8. Inecuaciones
Ecuaciones e inecuaciones.
Representaciones gráficas. Figuras
y sólidos. Aplicaciones contables.

Representación convencional de la
igualdad y la desigualdad, mediante la
alegoría de la balanza.

En materia de desigualdades, la alegoría de
la balanza muestra abajo lo abundante, rico
y bueno, a la inversa del pulgar del césar.
Un diablillo hace trampa al tirar de la cola de
un compañero para simular un peso mayor
de sus escasas obras de bien. El Juicio
Final, escultura en Nuestra Señora de
Amiéns, cerca de París.

31 20–1
(x – 1)2
≥ 3
x
Representación gráfica de una
inecuación.

Las inecuaciones se pueden sumar, pero
no restar.
10 > 8
6 > 1
4 > 7
–
¡CUATRO NO ES
MAYOR QUE
SIETE!

Las inecuaciones se pueden sumar, pero
no restar.
10 > 8
6 > 1
10 > 8
–6 < –1
10 > 8
–1 > 6
10 > 8
–1 > 6
+
9 > 2
¡AHORA
SÍ!

Inecuaciones de dos variables y algunas
representaciones gráficas.
x
y
1 2–
2
1
2
–
2
3
x2
+ y2
>
9
–
3
3–
3
–
1
x
y
1 2–
2
1
2
–
2
3
x2
+ y2
≤ 9
–
3
3–
3
–
1
x
y
1
–
1
1–
1
–√(1 – x2
) – |
x| ≤ y ≤ √(1 – x2
) + |x|

Aplicación a un tema de la economía: la
paradoja de Giffen, por la que en muchos
casos no se cumple la llamada ley de la
oferta y la demanda.
Proteínas
Calorías
50 gramos diarios
2400 diarias
1 kg de
carne:1000 kcal
1 kg de papas fritas:
5000 kcal
200 g de proteínas
$ 72
20 g de proteínas
$ 2436 Recursos diarios

Aumentan las papas, y la gente deja de comprar
carne para poder seguir comprando las papas que
necesita.
Gasto diario en carne ($)
Gasto diario en papas y
aceite ($)
60
80 120
Calorías
Proteínas
Recursos
Preferencia
40
80
40
20
1 kg de carne: 72 $;
1000 kcal; 200 g de proteínas.
1 kg de papas y aceite: 24 $;
5000 kcal; 20 g de proteínas.
Necesidades diarias: 2400
kcal y 50 g de proteínas.
Recursos: 36 $ diarios.

Capítulo 9. Sistemas de
ecuaciones
Resolución por sustitución y por
métodos matriciales.
Aplicaciones prácticas de las
matrices en balances. Resolución
con planillas de cálculo.

E
S
O
La tomografía axial
computada
realizada con rayos
X resuelve
centenares de
miles de
ecuaciones con
igual cantidad de
incógnitas, o con
una cantidad de
incógnitas mayor o
menor.

y x
z
a
y x
z
b
y x
z
c
Representación de tres ecuaciones lineales
con tres incógnitas.

Dos planos se cortan en una recta. Esa recta atraviesa
el tercer plano en un punto, que representa la solución.
y x
z
a, b, c

La interpretación se extiende a más de tres
dimensiones.

Corpus Hypercubicus, pintura de Salvador Dalí de 1954.
Representa un hipercubo de cuatro dimensiones desarrollado
en nuestro espacio de tres.
Arriba: Desarrollo de un cubo en
el plano bidimensional y
desarrollo de un hipercubo en el
espacio tridimensional.











−
8
=














−−
−
•










−−
−−
113412
962
62
142
123
251
301
2341
3212
0121
Producto de dos matrices

Matrices de rotación









 −
000
001
010










−
010
100
000









 −
001
000
100
Izquierda: El cuerpo rota en y y después en x.
Derecha: Lo hace en x y después en y. El resultado
es diferente.
y
x
z

Capítulo 11. Polinomios.
Uso en contabilidad. La
fórmula de ajuste polinomial
en el comercio y la industria.

Fórmula polinomial de ajuste de
precios.

P = 0,35 (S1/S0) + 0,20 (I1/I0) + 0,15 (D1/D0) + 0,25
(K1/K0) + 0,03 (L1/L0) + 0,02 (B1/B0)
Los subíndices 0:representan el día de hoy, y los subíndices 1,
el día de pago. Las letras tienen el siguiente significado:
S. Salario del obrero industrial no calificado, categoría y
antigüedad mínimas.
I. Precio de los productos industriales no agropecuarios
publicados por la Cámara.
D. Cotización del dólar estadounidense para la venta en el
Banco Central.
K. Precio del kilovatio hora de energía eléctrica de uso
industrial, provincia de Salta.
L. Precio del ladrillo común macizo cerámico para la
construcción.
B. Precio de un pendrive de 8 GB.
Validez de la oferta, 90 días; pago contra entrega.

Nada de esto funciona, prácticamente, en el
momento actual, 2016. Las cámaras empresarias y
sindicatos a veces tienen prohibido publicar índices,
bajo pena de multa, y una importación liberada
súbitamente podría trastrocar la fórmula.
No es solución que todo el mundo aplique una
corrección polinomial simultánea (cámaras,
vendedores, compradores, sindicatos). En tal caso —
que ocurrió ya varias veces— la realimentación
instantánea causa grandes saltos inestables.

Billete de 100 billones de dólares zimbabwenses, de valor
insignificante. En inglés estadounidense trillion significa
billón; véase la cifra en a esquina inferior izquierda del billete.
En 2008 los precios se duplicaban día a día en esa unidad
monetaria. Desde 2015 ese país carece de moneda propia.

Cociente de polinomios. ( x4
+1 ) / ( x2
– 1 ) se puede escribir,
después de hacer la división, como x2
+ 2 / ( x2
– 1 ).
1
1
2
4
−
+
x
x
2
x

Ejercicios
Elijan por favor uno o más, háganlos
individualmente o en grupo, comuniquen
los resultados y pregunten o comenten
lo que deseen.
Vale el uso de calculadoras y
computadoras, y la consulta a Internet.
Todo vale.

Raíces enésimas
1. Hallen y representen en el plano complejo
la raíz sexta de 1.
2. Lo mismo con la raíz sexta de i.
3. Ídem con la raíz cúbica de √2 + √2 i
4. Agreguen, si lo desean, otro ejemplo.

Tiro oblicuo sin resistencia
del aire
Encuentren las dos componentes de la
velocidad inicial (la horizontal y la vertical)
para que el cuerpo de la figura caiga en el
pozo después de pasar por encima de la
pared. Se supone que el tiro se realiza en la
superficie de un planeta de gravedad 1 m/s².
(Cada etapa o segundo el cuerpo sube un
cuadro menos que en la etapa anterior.)

El ejemplo es
igual al del libro,
excepto en la
altura de la
pared, que acá
es de 11 m en
vez de 7.
?
?
0 =
=
y
x
v
v

Conducción del calor en una
barra uniforme
Cada uno de diez de ustedes represente,
por favor, una sección de la barra,
originalmente a 20 °C y con sus extremos
mantenidos a 0 y 100 °C respectivamente.
Cada etapa de cálculo (se sugieren entre 10
y 20) el participante reemplaza su
temperatura por la que resulta de promediar
la propia y la de sus dos vecinos o vecinas.

0 °C
100 °C
20 °C
0 °C 100 °C
20 °C

Resolución de ecuaciones por
aproximaciones sucesivas
1. Hallen una solución real de x4
– 3x +1 = 0.
2. Lo mismo para cos(x) = x (x en radianes).
3. Con la ayuda de una calculadora, pero sin
usar la tecla radical, hallen la raíz cuadrada
de 6 con cuatro cifras decimales. Se prueba
con un valor cualquiera x. El promedio entre x
y el resultado de dividir 6 por x será el
siguiente valor de prueba, y así
sucesivamente.

)
6
(
2
1
1
i
ii
x
xx +=+
Por ejemplo, si inicialmente probamos
con 5, el siguiente valor será:
½ (5 + 6 / 5) = 3,1, y el que le siga:
½ (3,1 + 6 / 3,1) = 2,51774193548387

Combinatoria
1. ¿Cuántas patentes diferentes hay con tres
letras y tres números? ¿Y con dos letras, tres
números y otras dos letras? (La eñe no se usa
para esto.)

2. ¿Cuánto se tarda en hackear una clave de
cuatro dígitos del 0 al 9, si se prueba una
clave por segundo?

La figura representa la inecuación |x + y| ≤ 3.
¿Qué otra figura corresponderá a la
inecuación |x – y| ≤ 3?
x
y
1 2–2
1
2
–2
3
|x + y| ≤ 3
–3
3–3 –1
Inecuaciones

La pared es vertical,
y el plato del
candelabro,
horizontal. ¿Qué
cónica representa la
sombra? ¿Elipse,
hipérbola, parábola,
circunferencia?
¿Y si el plato
estuviera inclinado
hacia nosotros?
Cónicas

Del.icio.us/agusrela
slideshare.net/agusrela
elistas.net/lista/divagaciones
maestro.taller@yahoo.com

Expositor: Agustín Rela.
Electrotécnico, licenciado en física, autor de libros de física y su
enseñanza, profesor invitado en la enseñanza primaria, y
efectivo en los demás niveles en diversas escuelas, institutos y
universidades. De 1964 a 1966, ayudante e instructor en la
Universidad de Buenos Aires. De 1984 a 2008, profesor en esa
Casa, e investigador en didáctica de la física en un equipo
dirigido por Jorge Sztrajman. Actualmente, profesor en el
Instituto Capacyt de Caseros y asesor técnico y comercial en las
industrias eléctricas Epoxiformas (Grupo Epsa) y Nöllmann.
Sigo escribiendo libros, y me interesan los lazos entre las artes,
la ciencia y la cultura.

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