1. EL NÚMERO
ÁUREO
Φ

2. Tiene muchos nombres, pero…
¿QUÉ ES?

3. Su valor numérico es:
1+ 5
φ= ≈ 1,618033988749894848204586834365638...
2
Se representa con la letra griega φ , que se lee Phi

4. ¿Qué representa?
La sección áurea es la
división armónica de
una segmento en media
y extrema razón. Es
decir, que el segmento
menor es al segmento
1− x x
mayor, como éste es a
la totalidad.
=
x 1

5. x −1 x
= ⇒ 1− x = x ⇒ x + x −1 = 0
2 2
x 1
Resolviendo la ecuación − 1+ 5
x=
2
Para obtener la razón entre los segmentos basta
calcular el inverso de esta solución y obtenemos
EL NÚMERO DE ORO
1+ 5
x −1
=φ =
2

6. Propiedades algebraicas
1
φ = lim
1
1+
1
1+
1
1+
1 +...
φ = lim 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...

7. El rectángulo áureo
La razón
entre los
lados de un
rectángulo
áureo es φ
El rectángulo áureo es el
más bello a la vista del ser
humano, el que guarda
mejor las proporciones

8. La espiral de Durero
(o espiral logarítmica)
La espiral se
construye con
una sucesión de
rectángulos
áureos
encajados y
arcos de
círculo.

9. Cada número indica el
lado del cuadrado, es
decir el radio del arco
de círculo
¿Quieres saber más
sobre estos números?
Pasa a la siguiente
diapositiva

10. La sucesión de Fibonacci
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 …
¿Qué son estos números?
¿Quién es Fibonacci?
Y lo que es más importante:
¿Qué relación tienen con Phi?

11. Fibonacci
Fibonacci es el nombre con
el que se conoce al
matemático y comerciante
italiano Leonardo de Pisa
(1170-1240).
Viajó por el Norte de África
y Asia y trajo a Europa el
sistema de numeración
arábigo.
Estudió con gran
profundidad la serie de
números antes comentada.

12. El problema de los conejos
Partiendo de una
pareja, cuántas parejas
de conejos
obtendremos después
de un número dado de
meses sabiendo que
cada pareja al mes tiene
una nueva pareja de
bebés, la cual no tendrá
conejos hasta que sea
adulta, lo que ocurre a
los dos meses de nacer.

13. t1 = 1
La solución al problema viene
t2 = 1 dada por los números de la
sucesión. En ella cada término
t3 = 2 es la suma de los dos
anteriores
t4 = 3
t5 = 5
t n = t n−1 + t n −2
t6 = 8
t7 = 13

14. Relación entre la serie y Phi
1 13
=1 = 1,625
1 8
2 21
=2 = 1,6153...
1 13
tn
3
= 1,5
34
= 1,61904... lim =φ
2 21 n →∞ t n −1
5 55
= 1,666... = 1,61764...
3 34
8 89
= 1,6 = 1,61818...
5 55

15. ¿Por qué es un número tan
importante?
Porque aparece en:
• Las proporciones humanas
• En las conchas de los
animales
• En el crecimiento de las
plantas
• En la arquitectura
• En la pintura
• …

16. El ser humano y phi
Dibujo de Leonardo
Da Vinci
Portada de “La
Divina Proporción”,
Luca Pacioli
En este libro se
describen cuáles han
de ser las proporciones
para las construcciones
artísticas en un hombre
perfecto.

18. Rectángulos áureos en las tarjetas

19. La divina proporción en la
naturaleza

22. El número de oro en la
arquitectura
Partenón, Atenas

23. Pirámide de Keops,
Egipto

25. Escalera de Sevilla
Escalera del Vaticano

26. Edificio de la ONU, Nueva York
Fachada de la
catedral de Nôtre-
Damme, París

27. La razón
áurea en la
pintura
Las Meninas, de
Velázquez

28. La Monalisa, de
Leonardo Da
Vinci

29. Soneto a la Divina Proporción
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
Rafael Alberti

30. Vídeos
• La razón áurea o las matemáticas en la naturaleza
• Redes: la proporción áurea
• El pato Donald y la proporción áurea
• Disney. La matemática pitagórica y la razón áurea:
• Parte 1
• Parte 2
• Parte 3
• Fibonacci. La magia de los números
• Parte 1
• Parte 2

31. Fuentes
• campusvirtual.unex.es epistemowikia
• Ignacio A. Langarita Felipe: nacholan.net
• Instituto de Tecnologías Educativas ITE. Banco
de imágenes y sonidos

32. Enlaces de interés
• http://www.banrep.gov.co/blaavirtual/pregfrec/aurea.htm
• http://aula.el-mundo.es/aula/laminas/numero.pdf
• http://averroes.cec.junta-
andalucia.es/recursos_informaticos/concurso/accesit3/aureo.htm
• http://www.nalejandria.com/archivos-curriculares/matematicas/nota-
013.htm
• http://matematicas.reduaz.mx/Biografias/Esc_Pit.html
• http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/enbusca.htm