trigonométria

1. ÇI.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
QUINTO GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
MARITZA DOLORES SOTO VÉLIZ 307 U V Q
PARA SER TRABAJADO DEL 04 al 17 DE OCTUBRE 2011
RAZONAMIENTO Y DEMOSATRACIÓN
 Demuestra identidades trigonométricas
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA
 Discrimina identidades pitagóricas por cociente y reciprocas.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Para que una igualdad trigonométrica quede demostrada se debe llegar a:
 una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo; o bien
 a cualquiera de las fórmulas trigonométricas.
1. Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
2. Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
3. Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
4. Identidades inversas

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5. Identidades pitagóricas
Tang x = senx / cosx
Cotg x = cosx / senx
POR SIMILITUD CON ALGUNA FÓRMULA:
PROCEDIMIENTO: Se compara la igualdad que debe demostrarse con la fórmula a la que se “parece”. Entonces el
término que es diferente de la fórmula es el que se transforma hasta convertirlo en el correspondiente de la
fórmula.
Ejemplo 1: Demostrar que sen
2
x + cos
2
x = tan x cot x
Demostración: La igualdad propuesta se "parece" a la fórmula (1). De manera que, por comparación, se debe
transformar el lado derecho para convertirlo en 1.
El siguiente esquema muestra la forma de hacer la comparación:
Comparación:

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Ejemplo 2: Demostrar que tan2
x + sen2
x + cos2
x = sec2
x
Demostración: La igualdad propuesta se "parece" a la fórmula (1). De manera que, por comparación, se debe
transformar sen2
x + cos2
x en 1.
El siguiente esquema muestra la forma de hacer la comparación:
Ejemplo 3 : Comprobar que: sec² α = 1 + tg² α

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Ejemplo 4: Demostrar que sen x  cos x
2
1 2sen xsec x
IMPORTANTE: EJERCICIOS RESUELTOS, QUE TE PUEDEN APOYAR.
Comprobar las identidades trigonométricas:
1
2
3

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4
5
AHORA TÚ:
DEMOSTRAR:
a) sen x sec x = tan x
 cot2
x  1 sen2
x

 sen2
x  cos2
x  sen x csc x



d) tan2
x  sen x csc x  sec2
x

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 tan2
xcos x  cos2
x 1


f) cos xcsc x  cot x
g) cosec² α = 1 + cotg² α
 cos θ · sec θ = 1


i) csc θ · tan θ = sec θ
j) cos θ · csc θ = cot θ

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APLICO LO QUE APRENDÍ
DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES IGUALDADES:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
 Sen4
x + cos4
x = 1 - 2 sen2
x . cos2
x
 Sen6
x + cos6
x = 1 – 3 sen2
x . cos2
x
 Tan x + cot x= sec x . csc x
 Sec2
x + csc2
x = sec2
x. csc2
x
 (tanx + cotx)2
– (tanx – cotx)2
= 4
 Sec2
x + csc2
x = sec2
x . csc2
x
 (Sen2
x + cosx)2
+ (senx – cos x)2
= 2
APLICACIONES: UTILIZA LO APRENDIDO HASTA EL MOMENTO DE IDENTIDAES TRIGONOMÉTRICAS.
01. Efectuar.













 


2
2
senx
xcos1
1
xsen
xcos1
02. Reducir: xtanxsec
xcot
xtanxsec
xcot



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03. Simplificar:
 xcos
xsen1
xsen1
xcos
xcos
xsen1 2
2
32




04. Simplificar: xtan1
xsenxCos
4
44


05. Reducir, sabiendo que x  < ; 3/2>
  cos1
xcos1
xcos1
xcos1
senx1
senx1
senx1
senx1










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AHORA TÚ:
01. Simplificar: aCsc.aSec
2acotaTan
22
22
P 

a) 1 b) 2 c) sen a d) cos a
e) sen2
a cos2
a
02. Reducir la expresión:
 



Tan
)sen21CscSecCot
N
2
a) 0 b) 1 c) cot  d) Tan  e) Sec 
03. Reducir el valor de la siguiente expresión
   
   22
222223
CosSenCosSen
cotCscSenTanSecCos
N 


a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 0 e) 4
04. Simplificar: 

 22
4444
Sec.Csc
CscSecCscSec
B
a) 1 b) 2 c) 3 d) Sen Cos  e) Sen2
 cos2

05. Reducir la expresión:
   
   

 222222
2222
CotCscSenTanSecCos
Tan1Coscot1Sen
F
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 0
6. Hallar el valor de “k” para que la igualdad sea una identidad.
 
  k1
k1
TanSec
1TanSec
2
2





a) sen  b) cos c) tan 
d) sec  e) csc 
7. Simplificar la expresión:
V = Sen6
 + Cos6
 - 2 Sen4
 - Cos4
 + Sen2


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a) 0 b) 1 d) 2 d) 3 e) –1
8. Efectuar:

 SecTan
1
SecTan
1
P
9. Reducir la expresión:
xcosxcscA 2
xcossenx
xcosxcsc1 23
 

10. Encontrar una expresión igual a:
asecacos
acscsena
M 


11. La expresión:


2
2
csc1
sec1
es idéntica a:
a) Ctg2
 b) tg2
 c) tg3

d) Tg4
 e) ctg3

12. Al simplificar la expresión:
1E xcscCtgx
)xcscctgx(xSen2
 

; se obtiene:
a) cosx + cos2
x b) 2cosx – cos2
x
c) 2 – sen2
x d) 2
e) 2 cosx + sen2
x