Estrategia de prompts, primeras ideas para su construcción
Aplicaciones de la derivada(oscarly)
1. Aplicaciones de la Derivada
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones
además de darnos la pendiente de la tangente a una curva
en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas
de variación, valores máximos y mínimos de una función,
concavidad y convexidad, etc
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la
primera derivada de la función:
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto
x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo
tendremos que valuar la pendiente antes y después de
cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos:
y´(-0.01)= -0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:
2. y´(0.01)= 0.004
como la derivada alrededor de cero cambia de positivo
negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en
(0,0).
Teorema del Valor Medio:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en
el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal
que:
“.
Ejemplo:
(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)
En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2
.
Como x2
es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular
para todo x y la función es continua para todo x. También
es derivable en todo valor real siendo la derivada:
3. Aplicando el teorema:
Pues f(1)=ln 1=0
Y como para x distinto de cero:
Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2
), queda
finalmente:
Como queríamos probar.
Teorema de Rolle:
4. Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b]
y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al
menos un número c entre a y b tal que:
F’(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3
+ 4x2
-7x-10
en el intervalo [-1, 2]
f'(x)=3x2
+ 8x-7
f(-1)=(-1)3
+4(-1)2
-7(-1)-10=-1+4+7-10=0
f(2)=23
+4.22
-7.2-10=8+16-14-10=0
Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de
existir un c tal que:
5. Donde hay que despreciar la segunda solución por no
pertenecer al intervalo considerado.
Teorema de Cauchy
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y
derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan
simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es
distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del
intervalo ]a, b[ tal que:
“
Ejemplo del Teorema de Cauchy
f(x)= sen x
g(x)= 1+ cos x
en
f'(x)= cos x
6. g'(x)= 1- sen x
Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en
x= pero dicho punto no pertenece al intervalo
abierto y como además:
Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos
aplicar la relación que en el enunciado del mismo se da
para encontrar el valor de c, es decir:
Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y
siendo, por tanto, válidos ambos.
Integrales
7. Integrales Indefinidas:
Se llama integral indefinida de una función f(x), al
conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se
simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis
diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es
una primitiva de f(x),
Donde C representa una constante llamada constante
de integración.
Ejemplo:
Integrales definidas:
Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y
b (a estos dos valores se les denomina límites de
integración), al área de la porción de plano limitada
por la gráfica de la función, el eje X y las rectas
paralelas x = a y x = b