Análisis del metodo.

1. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE BISECCIÓN
YORNEIS BIANGONI
Resumen. En este artículo estudiaremos uno de los problemas básicos de la aproximación nu-
mérica ;el problema de búsqueda de raíces. El cúal consiste en obtener una raíz, o solución de
una ecuación de la forma f(x) = 0 para una función dada f.
1. INTRODUCCIÓN
El problema de encontrar una aproximación a la raíz de una ecuación se remonta por lo menos
al año 1700a.C. Una tabla cuneiforme que pertenece a la Yale Babylonian Collection, y que data
de este periodo, da un número sexagesimal (base 60) equivalente a 1,414222 como aproximación a√
2, resultado que posee una precisión de hasta 10−5
.
La técnica se basa en el teorema del valor intermedio y se conoce con el nombre de método de
biseccción. Tambien recibe otros nombre, como de busqueda binaria.
2. Desarrollo
Supongamos que f es una función continua definida en el intervalo [a, b] con f(a) y f(b) de
signos distintos.
Ahora bien, de acuerdo con el teorema del valor intermedio, existe un número p ∈ (a, b) tal
que f(p) = 0. Cabe destacar que el procedimiento se aplica aunque exista más de una ráiz en el
intervalo (a, b), y por razones de simplicidad supondremos que la ráiz es única en este intervalo.
Este método requiere dividir varias veces a la mitad los subintervalos de [a, b] y en cada paso
localizar la mitad que contenga a p.
Supongamos que a1 = a y b1 = b y sea p1 el punto medio de [a, b], esto es,
p1 = a1 +
b1 − a1
2
=
a1 + b1
2
Si f(p1) = 0 entonces p = p1, en caso de no ser así, entonces f(p1) tiene el mismo signo que
f(a1) o f(b1).
Si f(p1) y f(a1) tienen el mismo signo, entonces p ∈ (p1, b1) y tomamos a2 = p1 y b2 = b1.
Si f(p1) y f(a1) tienen signos opuestos, entonces p ∈ (a1, p1) y tomamos a2 = a1 y b2 = p1.
Luego volvemos a aplicar el proceso al intervalo [a2, b2] y así sucesivamente hasta encontrar la
raíz aproximada buscada.
Teorema
Supongamos que f es una función real de variable real continua en un intervalo cerrado [a, b] y
f(a).f(b) < 0. Entonces el método de bisección genera una sucesión {pn}∞
n=1 que aproxima a un
cero de p de f, tal que
1

2. |pn − p| ≤
b − a
2n
donde n ≥ 1.
Ejemplo:
Para determinar la cantidad de iteraciones necesarias para resolver f(x) = x3
+4x2
−10 = 0 con
una exactitud de 10−3
por medio de a1 = 1 y b1 = 2 hay que encontrar un entero N que satisfaga
|pN − p| ≤ 2−N
(b − a) = 2−N
< 10−3
Para determinar N usaremos logaritmos. Es decir,
2−N
< 10−3
=⇒ log10 2−N
< log10 10−3
= −3
−N log10 2 < −3 =⇒ N >
3
log10 2
= 9,9
En consecuencia, se necesitan 10 iteraciones para lograr una aproximación exacta dentro de
10−3
.
Ejemplo:
La ecuación f(x) =
√
x − cos(x) tiene una raíz en [0, 1], ya que f(0) = −1 y f(1) = 0,4597, es
decir, tienen signos distintos. Aplicando el algoritmo de bisección obtenemos que una raíz aproxi-
mada es 0,6484375000.
3. Conclusiones
Cuando se generan aproximaciones por medio de la computadora, conviene fijar el número máximo
de iteraciones que se efectuarán, así se evitará introducir un ciclo infinito, posibilidad que puede
presentarse cuando la sucesión diverge. Observese que para iniciar el algoritmo de bisección, hay
que encontrar un intervalo [a, b] de manera que f(a).f(b) < 0. En cada paso, la longitud del
intervalo que se sabe que contiene un cero de f se reduce en un factor de 2, por tanto, conviene en
escoger un intervalo inicial [a, b] lo mas pequeño posible. Por ejemplo, si f(x) = 2x3
− x2
+ x − 1
entonces
f(−4)f(4) < 0
y
f(0)f(1) < 0
de manera que el algoritmo de bisección pueda emplearse en uno de los intervalos [−4, 4] o [0, 1].
Al comenzar el algoritmo de bisección en [0, 1] y no en [−4, 4], la cantidad de iteraciones necesarios
para alcanzar determinada exactitud disminuirá en 3.
2

3. MÉTODO DE BISECCIÓN 3
Referencias bibliográficas
1.- Richard Burden and Douglas Faires. Análisis numérico. Septima edición.
2.- Raymond Canale. Métodos numéricos.
Universidad Fermin Toro, Cabudare edo Lara
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