1. PROYECTO DE “ANALISIS MATEMATICO I”: Integraci´on num´erica.
Objetivos: Aprender los m´etodos m´as sencillos de integraci´on n´umerica y aplicarlos en diversos
problemas.
F´ormulas de cuadratura.
Sea f(x) una funci´on continua definida en el intervalo [a, b]. Nuestro objetivo ser´a encontrar
f´ormulas aproximadas para calcular la integral
b
a
f(x) dx. En caso de conocer la primitiva F(x) es
evidente que podemos encontrar el valor exacto de la integral utilizando el Teorema fundamental del
c´alculo integral:
b
a
f(x) dx = F(b) − F(a). Sin embargo no siempre esto es posible. Por ejemplo,
para la funci´on f(x) = e−x2
no existe ninguna primitiva que podamos escribir utilizando funciones
elementales. En esta pr´actica vamos a aprender tres m´etodos para calcular aproximadamente el valor
n´umerico de las integrales definidas.
F´ormula de los rect´angulos.
Una aproximaci´on de la integral
b
a
f(x) dx consiste en aproximar el ´area bajo la curva y = f(x)
por un rect´angulo de base b − a y altura f a+b
2 (ver figura 1), entonces
b
a
f(x) dx = (b − a)f
a + b
2
+ R(ξ), ξ ∈ [a, b], (1)
donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b], se expresa de la forma
R(ξ) =
(b − a)2
24
f (ξ), ξ ∈ [a, b]. (2)
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f FORMULA DE LOS RECTANGULOS
a b
f FORMULA DE LOS RECTANGULOS
Figura 1: Aproximaci´on de una integral por el m´etodo de los rect´angulos.
Ahora si queremos aproximar la integral
b
a
f(x) dx con mejor exactitud podemos dividir el inter-
valo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la partici´on del intervalo
[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b],
donde
xk = a +
b − a
n
k, n = 0, 1, 2, ..., n, x0 = a, xn = b.
De
b
a
f(x) dx =
x1
a
f(x) dx + · · · +
xk+1
xk
f(x) dx + · · · +
b
xn−1
f(x) dx.
1

2. si aplicamos a cada integral
xk+1
xk
f(x) dx la f´ormula (1)obtenemos la ecuaci´on
b
a
f(x) dx =
b − a
n
n−1
k=0
f
xk + xk+1
2
+ R(ξ), (3)
y
|R(ξ)| ≤ M
(b − a)2
24n2
, M = m´ax
x∈[a,b]
|f (x)|. (4)
Problema 1 Utilizando las f´ormulas (1) y (2) demostrar las f´ormulas (3) y (4).
Problema 2 (Opcional) Prueba la f´ormula (1) y (2) .
F´ormula de los trapecios.
Otra aproximaci´on de la integral
b
a
f(x) dx consiste en aproximar el ´area bajo la curva y = f(x)
no por un rect´angulo sino por un trapecio de base b − a (ver figura 2), entonces
b
a
f(x) dx = (b − a)
f(a) + f(b)
2
+ R(ξ), (5)
donde el error R(ξ), si f tiene primera y segunda derivadas continuas en [a, b] se expresa de la forma
R(ξ) = −
(b − a)2
12
f (ξ), ξ ∈ [a, b]. (6)
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f FORMULA DE LOS TRAPECIOS
a b
f FORMULA DE LOS TRAPECIOS
Figura 2: Aproximaci´on de una integral por el m´etodo de los trapecios.
Problema 3 Demostrar las f´ormulas (5) y (6). Para ello seguir los siguientes pasos:
1. Demostrar que
b
a
f (x)(x − a)(x − b) dx = −(b − a)[f(a) + f(b)] + 2
b
a
f(x) dx. (7)
2. Utilizando el teorema del valor medio integral demostrar que
b
a
f (x)(x − a)(x − b) dx = −
(b − a)3
6
f (ξ), ξ ∈ [a, b]. (8)
3. Usando los dos apartados anteriores obt´en las f´ormulas (5) y (6).
Ahora podemos aproximar la integral
b
a
f(x) dx con mejor exactitud dividiendo, igual que antes,
el intervalo [a, b] en n puntos, o sea, consideremos la partici´on del intervalo
[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [xn−2, xn−1] ∪ [xn−1, b],
2

3. donde
xk = a +
b − a
n
k, k = 0, 1, 2, ..., n, x0 = a, xn = b.
Nuevamente,
b
a
f(x) dx =
x1
a
f(x) dx + · · · +
xk+1
xk
f(x) dx + · · · +
b
xn−1
f(x) dx,
y, por tanto, si aplicamos a cada integral
xk+1
xk
f(x) dx la f´ormula (1) obtenemos la expresi´on
b
a
f(x) dx =
b − a
2n
f(a) + f(b) + 2
n−1
k=1
f(xk) + R(ξ), (9)
donde
|R(ξ)| ≤ M
(b − a)2
12n2
, M = m´ax
x∈[a,b]
|f (x)|. (10)
Problema 4 Utilizando las f´ormulas (5) y (6) demostrar las f´ormulas (9) y (10).
Problema 5 (Opcional) Prueba la f´ormula (5) y (6) .
M´etodo de Simpson.
El m´etodo de Simpson para calcular integrales consiste en aproximar la integral
b
a
f(x) dx de
la siguiente forma
b
a
f(x) dx = A f(a) + B f
a + b
2
+ C f(b) + R(ξ), (11)
donde A, B, C son tales que R(ξ) es igual a cero si f(x) = 1, f(x) = x y f(x) = x2, respectivamente.
Es decir si sustituimos en (11) la funci´on f por cualquiera de las funciones f(x) = 1, f(x) = x o
f(x) = x2, la f´ormula es exacta, o sea R(ξ) = 0. Esto es equivalente a aproximar el ´area debajo de f
por una parabola (ver figura 3)
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f AREA BAJO LA CURVA f
a b
f FORMULA DE SIMPSON
a b
f FORMULA DE SIMPSON
Figura 3: Aproximaci´on de una integral por el m´etodo de Simpson.
Problema 6 Sustituyendo f(x) = 1, f(x) = x y f(x) = x2 en (11) encontrar un sistema de ecuacio-
nes para las inc´ognitas A, B, C y demostrar entonces que (12) se puede escribir de la forma
b
a
f(x) dx =
b − a
6
f(a) +
4(b − a)
6
f
a + b
2
+
b − a
6
f(b) + R(ξ). (12)
Si f es cuatro veces derivable y todas sus derivadas son continuas en [a, b] entonces se puede demostrar
que R(ξ) se expresa de la forma
R(ξ) =
(b − a)5
2880
f(4)
(ξ), ξ ∈ [a, b]. (13)
3

4. Problema 7 Demostrar la f´ormula anterior. Para ello seguir los siguientes pasos.
1. Comprobar que la funci´on F(x, t), con x = a+b
2 , definida por
F(x, t) =
x+t
x−t
f(ξ)dξ −
t
3
[f(x − t) + 4f (x) + f(x + t)] , (14)
es continua y tres veces diferenciable para todo t ∈ [0, b−a
2 ], y F (x, t) = − t
3 [f (x+t)−f (x−t)],
adem´as F(x, 0) = F (x, 0) = F (x, 0) = 0.
2. Probar que F (x, t) es tal que existen dos n´umeros reales m y M (¿qui´enes son dichos n´umeros?)
tales que
2
3
mt2
≤ F (x, t) ≤
2
3
Mt2
,
y deducir de aqu´ı que
1
90
mt2
≤ F(x, t) ≤
1
90
Mt5
.
3. Finalmente, substituyendo t = b−a
2 , deducir el resultado deseado.
Al igual que en los casos anteriores vamos aproximar la integral
b
a
f(x) dx con mejor exactitud
dividiendo el intervalo [a, b] en 2n puntos de la forma
[a, b] = [a, x1] ∪ [x1, x2] ∪ · · · ∪ [x2n−2, x2n−1] ∪ [x2n−1, b],
donde
xk = a +
b − a
2n
k, k = 0, 1, 2, ..., 2n, x0 = a, x2n = b.
Apliquemos ahora la f´ormula de Simpson (12) para cada subintervalo [x2k, x2k+2], k = 0, 1, ..., n − 1,
o sea, escribamos la integral original como la suma de las integrales
b
a
f(x) dx =
x2
a
f(x) dx + · · · +
x2k+2
x2k
f(x) dx + · · · +
b
x2n−2
f(x) dx.
y apliquemos el m´etodo de Simpson a cada uno de los sumandos. N´otese que los intervalos siguen
teniendo una longitud x2k+2 − x2k = b−a
n igual que antes. Esto nos conduce a la expresi´on
b
a
f(x) dx =
b − a
6n
f(a) + f(b) + 4
n
k=1
f(x2k−1) + 2
n−1
k=1
f(x2k) + R(ξ), (15)
donde
|R(ξ)| ≤ M
(b − a)5
2880n4
, M = m´ax
x∈[a,b]
|f(4)
(x)|. (16)
Problema 8 Utilizando las f´ormulas (12) y (13) demostrar las f´ormulas (15) y (16).
Comparaci´on de los m´etodos de cuadratura de los rect´angulos, los trapecios y de
Simpson.
Problema 9 Sea la funci´on f(x) = cos x. Calcular la inegral
I =
1
2
0
cos xdx,
utilizando las f´ormulas (1), (5), (12), respectivamente. Comparar los resultados con el resultado exacto
1
2
0
cos xdx = sin
1
2
= 0,4794255386 . . .
Calcular una aproximaci´on de la integral cambiando la funci´on f(x) por su polinomio de McLaurin
de orden 5. Comparar los resultados con los del apartado anterior.
4

5. Problema 10 Calcular el orden del error cometido al calcular la integral
I =
1
0
f(x) dx f(x) =



sin x
x
, x = 0
1, x = 0
por los m´etodos de de los rect´angulos, los trapecios y de Simpson, respectivamente, utilizando en todos
ellos una partici´on del intervalo [0, 1] con n = 4 puntos. ¿Qui´en aproxima mejor?
Problema 11 (Opcional) Calcular la integral
I =
1
0
e−x2
dx,
utilizando los m´etodos de de los rect´angulos, los trapecios y de Simpson cuando n = 4. Comparar los
resultados con el resultado exacto con 10 cifras decimales I = 0,7468241328...
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