Derivada

1. DEFINICION DE DERIVADA.
La expresión
h
)x(f)hx(f
Límm o0
0h
T
−+
=
→
se utiliza para calcular la pendiente de una
recta tangente a la curva de f ( x ) , para
un valor de x = c.
Pero, la expresión
h
)x(f)hx(f
Lím)x('f
0h
−+
=
→
se utiliza para calcular la pendiente de
una recta tangente a la curva de
f ( x ) , para cualquier valor de x.
Donde f ‘ ( x ) se conoce como derivada de f ( x ) ,
y se lee f prima de x.
Así, la derivada de f ( x ) es la fórmula que se utiliza para calcular la pendiente de la recta
tangente a la curva de f ( x ), para cualquier valor de x.
Ejercicios: Determine la derivada de cada una de las siguientes funciones, haciendo uso de la
definición. Luego, determine las pendientes que, en cada caso, se pidan.
1. f ( x ) = x
2
+ 1 ; ( a ) x = 2 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 1
Solución:
* Partiendo de la fórmula para encontrar la derivada:
h
)x(f)hx(f
Lím)x('f
0h
−+
=
→
Se empieza determinando cada componente de la misma.
Se encuentra la evaluación del primer término del numerador.
1hhx2x
.cuadradoelrdesarrolladebeSe1)hx()hx(f
22
2
+++=
++=+
Se realiza la resta del numerador, y dividiendo entre h :
quedadohaqueloalímiteaplicaSehx2
fracciónlasimplificaSe
h
)hx2(h
numeradorelencomúnfactorsacaSe
h
hhx2
xposeennoqueosmintércancelanSe
h
1x1hhx2x
)x(fdeparéntesiselrimesupSe
h
)1x(1hhx2x
h
)x(f)hx(f
2
222
222
+=
+
=
+
=
∆
−−+++
=
+−+++
=
−+
Se aplica límite a la expresión obtenida, y se evalúa:
x20x2)hx2(Lím)x('f
0h
=+=+=
→

2. Como la tendencia es de x∆ , el término 2x permanece intacto.
La derivada es: f ‘ ( x ) = 2x
Con este resultado se puede determinar cuanta pendiente se desee, evaluando en ella.
a) Para x = 2 mT = f ‘ ( 2 ) = 2 ( 2 ) = 4
mT = 4
b) Para x = 0 mT = f ‘ ( 0 ) = 2 ( 0 ) = 0
mT = 0
c) Para x = – 1 mT = f ‘ ( – 1 ) = 2 ( – 1 ) = – 2
mT = – 2
Ahora: Encuentre la derivada de f ( x ) = 4 – x
2
Luego, determine la pendiente de la recta tangente en: a) x = 1 , b) x = 0 , c) x = – 2
Respuestas: f ‘ ( x ) = – 2x a) mT = – 2 , b) mT = 0 , c) mT = 4
2. f ( x ) = 2x2
– 3x + 5 ; ( a ) x = 1 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 2
Solución:
* Se obtiene )hx(f +
5h3x3h2h4x2x
5h3x3)hh2xx(2
5)hx(3)hx(2)hx(f
22
22
2
++−++=
++−++=
++−+=+
* Aplicando en la fórmula de definición:
)3h24x(Lím
hlasnsimplificaSe
h
)3h24x(h
Lím
numeradorelencomúnfactorsacaSe
h
h3h2h4x
Lím
opuestososmintércancelanSe
h
5x3x25h3x3h2h4x2x
Lím
paréntesislosrimensupSe
h
)5x3x2(5h3x3h2h4x2x
Lím
h
)x(f)hx(f
Lím)x('f
0h
0h
2
0h
222
0h
222
0h
0h
++=
++
=
++
=
−+−++−++
=
+−−++−++
=
−+
=
→
→
→
→
→
→
* Evaluando el límite.
34x)x('f +=
++=++=
→
3)0(24x)3h24x(Lím)x('f
0h

3. * Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes.
( a ) x = 1 mT = f ‘ ( 1 ) = 4 ( 1 ) + 3 mT = 7
( b ) x = 0 mT = f ‘ ( 0 ) = 4 ( 0 ) + 3 mT = 3
( c ) x = – 2 mT = f ‘ ( – 2 ) = 4 ( – 2 ) + 3 mT = – 5
3. f ( x ) =
2x
5
−
; ( a ) x = 3 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 1
Solución:
* Se obtiene )hx(f +
2hx
5
)hx(f
−+
=+
* Aplicando en la fórmula de definición:
)2x()2hx(
5
Lím
hlasnsimplificaSe
)2x()2hx(h
h5
Lím
mediosyextremosnmultiplicaSe
1
h
)2x()2hx(
h5
Lím
opuestossignosconosmintércancelanSe
h
)2x()2hx(
10h5x510x5
Lím
indicadosproductosefectúanSe
h
)2x()2hx(
)2hx(5)2x(5
Lím
solaunaenfraccioneslasconviertenSe
h
2x
5
2hx
5
Lím
h
)x(f)hx(f
Lím)x('f
0h
0h
0h
0h
0h
0h
0h
−−+
−
=
−−+
−
=
−−+
−
=
−−+
+−−−
=
−−+
−+−−
=
−
−
−+=
−+
=
→
→
→
→
→
→
→
* Evaluando el límite.
2
)2x(
5
)x('f
−
−
=
−−
−
=
−−+
−
=
−−+
−
=
→ )2x()2x(
5
)2x()20x(
5
)2x()2hx(
5
Lím)x('f
0h
* Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes.

4. ( a ) x = 3 mT = f ‘ ( 1 ) =
1
5
)1(
5
)21(
5
22
−
=
−
−
=
−
−
mT = – 5
( b ) x = 0 mT = f ‘ ( 0 ) =
4
5
)2(
5
)20(
5
22
−
=
−
−
=
−
−
mT = –
4
5
( c ) x = – 1 mT = f ‘ ( – 2 ) =
9
5
)3(
5
)21(
5
22
−
=
−
−
=
−−
−
mT = –
9
5
4. f ( x ) = 3x + ; ( a ) x = 1 , ( b ) x = 0 , ( c ) x = – 2
Solución:
* Se obtiene )hx(f +
3hx)hx(f ++=+
* Aplicando en la fórmula de definición:
3x3hx
1
Lím
hlasnsimplificaSe
)3x3hx(h
h
Lím
opuestososmintércancelanSe
)3x3hx(h
3x3hx
Lím
paréntesisrimensupSe
)3x3hx(h
)3x(3hx
Lím
radicalesrimensupSe
)3x3hx(h
)3x()3hx(
Lím
3x3hx
3x3hx
.
h
3x3hx
Lím
aciónracionalizaplicaSe
h
3x3hx
Lím
h
)x(f)hx(f
Lím)x('f
0h
0h
0h
0h
22
0h
0h
0h
0h
++++
=
++++
=
++++
−−++
=
++++
+−++
=
++++
+−++
=
++++
+++++−++
=
+−++
=
−+
=
→
→
→
→
→
→
→
→
* Evaluando el límite.
3x2
1
)x('f
+
=
+++
=
++++
=
++++
=
→ 3x3x
1
3x30x
1
3x3hx
1
Lím)x('f
0h
* Ahora, se va a calcular cada una de las pendientes.

5. ( a ) x = 1 mT = f ‘ ( 1 ) =
)2(2
1
42
1
312
1
==
+
= mT =
4
1
( b ) x = 0 mT = f ‘ ( 0 ) =
32
1
302
1
=
+
= mT =
32
1
( c ) x = – 2 mT = f ‘ ( – 2 ) =
)1(2
1
12
1
322
1
==
+−
= mT =
2
1