Esta es la primera tarea

1. C´alculo Diferncial e Integral II
Tarea 1
1. Supongamos que A ⊂ R, A = ∅ y A est´a acotado. Supongamos adem´as que c · A = {c · a: a ∈ A}. Demostrar lo siguiente:
a) Si c > 0, entonces sup(c · A) = c · sup A e ´ınf(c · A) = c ·´ınf A.
b) Si c < 0, entonces sup(c · A) = c ·´ınf A e ´ınf(c · A) = c · sup A.
2. Considera A = {x ∈ Q: x2 < 2}. Demuestra que sup A /∈ Q.
3. Sean A, B ⊂ R dos conjuntos acotados y no vac´ıos.
a) Demostrar que si A ∩ B = ∅, entonces ´ınf A ≤ sup B.
b) Demostrar que si sup A = ´ınf B, entonces para toda ε > 0, existen a ∈ A y b ∈ B tal que
b − a < ε.
4. Considera la partici´on del intervalo [0, 1], P = {0, 1/4, 1/2, 3/4, 1}. En cada caso, calcular U(f, P) y L(f, P).
a) f(x) =



2x, si x ∈ [0, 1/2]
2 − 2x, si x ∈ (1/2, 1]
b) f(x) = 1 − x2.
c) f(x) = x3.
5. Demostrar que las siguientes funciones son integrables en el intervalo [0, 1].
a) f(x) = ax + b, donde a, b = 0.
b) f(x) = x2.
6. Si a < b < c < d y f es integrable sobre [a, d], demostrar que f es integrable sobre [b, c].
7. a) Demostrar que si f es integrable en [a, b] y m ≤ f(x) ≤ M para toda x ∈ [a, b], entonces
b
a
f(x)dx = (b − a)µ
para alg´un µ ∈ [m, M].
b) Demostrar que si f es continua en [a, b], entonces
b
a
f(x)dx = (b − a)f(ξ)
para alg´un ξ ∈ [a, b].
c) Si f es continua en [a, b] y g es integrable y no negativa en [a, b], demostrar que
b
a
f(x)g(x)dx = f(ξ)
b
a
g(x)dx
para alg´un ξ ∈ [a, b].
A los enunciados b y c se les conoce como los Teoremas del Valor Medio para Integrales.
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2. 8. Supongamos que f es integrable en [a, b]. Demostrar que existe c ∈ [a, b], tal que
c
a
f(x)dx =
b
c
f(x)dx.
Dar un ejemplo en el cual se cumpla c = a o c = b.
9. Dar un ejemplo de una funci´on que cumpla las siguientes tres condiciones:
a) f(x) ≥ 0 para toda x ∈ [a, b].
b) Existe x0 ∈ [a, b] tal que f(x0) > 0.
c)
b
a
f(x)dx = 0.
10. Supongamos que f cumple las condiciones a y b del inciso anterior. Supongamos adem´as que f es continua en x0. Demostrar
que
b
a
f(x)dx > 0.
Hint: Analizar las sumas inferiores L(f, P).
11. Supongamos que f es una funci´on continua en [a, b] y que
b
a
f(x)g(x)dx = 0,
para todas las funciones continuas g. Demostrar que f = 0. Hint: Usar f = g.
12. Considera f : [0, 1] −→ R dada por
f(x) =
0, si x /∈ Q
1/q, si x = p/q, con p, q ∈ Z y q = 0
,
Demostrar que f es integrable sobre [0, 1] y que
1
0
f(x)dx = 0.
13. ¿Existen dos funciones integrables f, g : [0, 1] −→ tales que su composici´on g ◦ f no es integrable? Justifica tu respuesta.
14. Demostrar que si f es integrable en [a, b], entonces
b
a
f(x)dx ≤
b
a
|f(x)|dx.
15. Demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
b
a
f · g(x)dx
2
≤
b
a
f2
(x)dx
b
a
g2
(x)dx .
Hint: Calcular
b
a
(f − λg)2
(x)dx, con λ =
b
a
f · g(x)dx
b
a
g2
(x)dx
−1
.
16. ¿Existe una funci´on no integrable f : [a, b] −→ R, tal que f2 s´ı es integrable? Justifica tu respuesta.
17. Sea f una funci´on integrable en [−a, a]. Demostrar que:
a) Si f es par, entonces
a
−a
f(x)dx = 2
a
0
f(x)dx.
2

3. b) Si f es impar, entonces
a
−a
f(x)dx = 0.
18. Usar el ejercicio anterior para obtener las siguientes integrales:
a)
1
−1
x3
1 − x2dx.
b)
1
−1
(x5
+ 3) 1 − x2dx.
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