1. Prof. LUZ MARIA ROJAS COZ
MATEMATICA
Primero de Secundaria

2. Inicio
Aun así, toda esta controversia produjo a
finales del Siglo XIX una de las teorías más
importantes de la historia de las matemáticas:
la teoría de conjuntos, que fue desarrollada
sobre todo por el matemático Georg Cantor.
Cantor definió los conjuntos como colecciones
de objetos reales o abstractos. Idea que tuvo
grandes consecuencias sobre la noción de
infinito
Cantor demostró también que para cada
conjunto infinito, existe otro de mayor
cardinalidad. Y aunque ahora nos parezca
extraño, muchos matemáticos de la época
encontraron absurda la noción de conjunto
infinito como ente individual.
A él se debe una buena parte de los conceptos
que aparecen recogidos en esta sesión.
Aun así, toda esta controversia produjo a
finales del Siglo XIX una de las teorías más
importantes de la historia de las matemáticas:
la teoría de conjuntos, que fue desarrollada
sobre todo por el matemático Georg Cantor.
Cantor definió los conjuntos como colecciones
de objetos reales o abstractos. Idea que tuvo
grandes consecuencias sobre la noción de
infinito
Cantor demostró también que para cada
conjunto infinito, existe otro de mayor
cardinalidad. Y aunque ahora nos parezca
extraño, muchos matemáticos de la época
encontraron absurda la noción de conjunto
infinito como ente individual.
A él se debe una buena parte de los conceptos
que aparecen recogidos en esta sesión.
INFINITO

3. Inicio
 El concepto de conjunto, de singular
importancia en la ciencia matemática y
objeto de estudio de una de sus disciplinas
más recientes, está presente, aunque en
forma informal, desde los primeros años
de formación del hombre. Desde el
momento que el ser humano tomó entre
sus manos un puñado de piedras u observó
un grupo de animales, tomó conocimiento
del "conjunto". Sin embargo, por tratarse
de conceptos matemáticos debemos fijar
con exactitud el significado de cada
término para no dar lugar a
contradicciones o interpretaciones
erróneas.

4. Inicio
GEORG CANTOR
NOCION DE CONJUNTO
NOTACION
DIAGRAMAS DE VENN
DETERMINACION DE CONJUNTOS
CONJUNTOS ESPECIALES
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
OPERACIONES CON CONJUNTOS
PROBLEMAS Y SOLUCIONARIO
GEORG CANTOR
NOCION DE CONJUNTO
NOTACION
DIAGRAMAS DE VENN
DETERMINACION DE CONJUNTOS
CONJUNTOS ESPECIALES
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
OPERACIONES CON CONJUNTOS
PROBLEMAS Y SOLUCIONARIO

5. Inicio
Descendiente de judíos por ambas ramas, Georg
Cantor fue hijo mayor del próspero comerciante
Georg Waldemar Cantor y de su mujer María
Bohm. El padre había nacido en Copenhague,
Dinamarca, pero emigró siendo joven a San
Petersburgo, Rusia, donde nació el matemático
Georg Cantor el 3 de marzo de 1845. Una
enfermedad pulmonar fue causa de que el padre
se trasladara en 1856 a Francfort, Alemania,
donde vivió en el cómodo retiro hasta su muerte
en 1863. Debido a esta curiosa mezcla de
nacionalidades es posible que diversas patrias
reclaman a Cantor como hijo. Cantor se inclinó
hacia Alemania, pero no puede decirse que
Alemania le favoreciera muy cordialmente.
Descendiente de judíos por ambas ramas, Georg
Cantor fue hijo mayor del próspero comerciante
Georg Waldemar Cantor y de su mujer María
Bohm. El padre había nacido en Copenhague,
Dinamarca, pero emigró siendo joven a San
Petersburgo, Rusia, donde nació el matemático
Georg Cantor el 3 de marzo de 1845. Una
enfermedad pulmonar fue causa de que el padre
se trasladara en 1856 a Francfort, Alemania,
donde vivió en el cómodo retiro hasta su muerte
en 1863. Debido a esta curiosa mezcla de
nacionalidades es posible que diversas patrias
reclaman a Cantor como hijo. Cantor se inclinó
hacia Alemania, pero no puede decirse que
Alemania le favoreciera muy cordialmente.
(1845 - 1918)

6. Inicio
El año 1874, apareció el primer trabajo
revolucionario de Cantor sobre la teoría de
conjuntos. El estudio de los infinitos por parte de
Cantor fue considerado por Kronecker con una
locura matemática. Creyendo que la matemática
sería llevada al manicomio bajo la dirección de
Cantor, Kronecker lo atacó vigorosamente con toda
las armas que tuvo en su mano, con el trágico
resultado de que no fue la teoría de conjuntos la
que cayó en el manicomio, sino el propio Cantor.
Cantor murió en Halle (ciudad del centro de
Alemania), el 6 de enero de 1918, teniendo 73
años de edad. Ya le habían sido concedidos
múltiples honores y su obra había logrado ser
reconocida.
El año 1874, apareció el primer trabajo
revolucionario de Cantor sobre la teoría de
conjuntos. El estudio de los infinitos por parte de
Cantor fue considerado por Kronecker con una
locura matemática. Creyendo que la matemática
sería llevada al manicomio bajo la dirección de
Cantor, Kronecker lo atacó vigorosamente con toda
las armas que tuvo en su mano, con el trágico
resultado de que no fue la teoría de conjuntos la
que cayó en el manicomio, sino el propio Cantor.
Cantor murió en Halle (ciudad del centro de
Alemania), el 6 de enero de 1918, teniendo 73
años de edad. Ya le habían sido concedidos
múltiples honores y su obra había logrado ser
reconocida.

7. Inicio
Ejemplo:
El término conjunto constituye al igual
que el punto, la recta y el plano en la
geometría plana, uno de los términos
no definidos exactamente en las
matemáticas, sin embargo podemos
aceptar,
que conjunto es la reunión, colección o
agrupación de entes materiales e
inmateriales, los integrantes que forman
parte de un conjunto reciben el nombre
de elementos del conjunto.
CONJUNTO DE PERSONAS

8. Inicio
 Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota
mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos
se separan mediante punto y coma.
 Ejemplo:
 El conjunto de las números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
………….. se puede escribir así:
L={ 1; 2; 3; 4; 5;6;……..}

9. Inicio
Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn
(1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica
mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos,
triángulos o cualquier curva cerrada.

10. Inicio
Es aquella forma mediante la cual se da
una propiedad que caracteriza a todos
los elementos del conjunto.
Ejemplo:
D = { x / x día de la semana }
Hay dos formas de determinar un conjunto:

11. Inicio
Es aquella forma mediante la
cual se indica cada uno de los
elementos del conjunto.
Ejemplo:
D={ lunes, martes, miércoles,
jueves , viernes , sábado,
domingo}

12. Inicio
Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se
usa el
símbolo: ∈
Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el
símbolo:∉ Ejemplo:
Sea M = { a; b; c; d; e; f,…………., z }
a ∈ M se lee : a pertenece al conjunto M
5 ∉ M se lee : 5 no pertenece al conjunto M
M
e

13. Inicio
Es el conjunto que tiene un solo elemento
Ejemplo:
Alan García Pérez es el
presidente del Perú

14. Inicio
El conjunto vacío es un conjunto que no tiene
elementos.
A este conjunto lo denotamos por ∅ o por { }
Ejemplo:
Un extraterrestre que nació en el Perú
No confundir con { ∅ }.
Este sería un conjunto que tiene un elemento.

15. Inicio
Es el conjunto con limitado número de elementos.
Ejemplo:
E = { x / x es un número impar positivo menor que 10
}
E = {1,3,5,7,9 }

16. Inicio
Es el conjunto con ilimitado número de
elementos.
Ejemplo:
S = { x / x es un número natural }
NUMEROS NATURALES

17. Inicio
Es un conjunto referencial que contiene a todos los
elementos de una situación particular.
Generalmente se le representa por la letra U.
El conjunto Universal es el complemento del ∅
∅ ’ = U

18. Inicio
 Decimos que A es subconjunto de B , si dado cualquier elemento
del conjunto A, entonces éste está en B.
 Un conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sí y sólo sí, todo
elemento de A es también elemento de B
 Esto lo escribimos como:
 A ⊂ B ≡ ∀x : x ∈ A → x ∈
 B
BA

19. Inicio
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si:
A ⊂ B y B ⊂ A
Es decir :
A = B ≡ ∀ x : (x ∈ A → x ∈ B y x ∈ B → x ∈ A)
Ejemplo:
Sean: A= { a, b } ; B= { a, b ,c ,d ,e } ; C = { {a , b },{c} }.
Diga si las siguientes aseveraciones son Verdaderas o Falsas.
 { c} ⊂ B o { c} ⊂ A (V)
 { c} ⊂ B y { c} ⊂ A (F)
 c ∈ A (F)
 { c, d, a } ⊄ B (F)
 { c} ∈ C (V)
 {a,b,c} ∈ B (F)
 {{a,b }} ⊂ C (V)

20. Inicio
El conjunto potencia de un conjunto A denotado por
P(A) o
Pot(A) es el conjunto formado por todos los subconjuntos
de A.
Ejemplo:
Sea A = { m;n;p }
Los subconjuntos de A son:
{m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ
Entonces el conjunto potencia de A es:
P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p};Φ }

21. Inicio
Los conjuntos no vacíos A y B, se dice que son
equivalentes o coordinables.
Si existe una correspondencia biunívoca (uno a uno)
entre todos sus elementos, es decir que pueden
formarse parejas de tal manera que cada pareja esta
formada por un elemento de cada conjunto empleado
todo los elementos de ambos conjuntos una sola vez.
Si A y B son equivalentes => se denota por A º B.

22. Inicio
Definimos la unión de dos
conjuntos A y B a otro
conjunto formado por los
elementos que pertenecen
a cualquiera de los dos
conjuntos.
 A ∪ B = { x / x ∈ A ∨ x
∈ B }

23. Inicio
Ejemplo:
A = { a,b,c }
B = { d, e }
A ∪ B = { a,b,c,d,e }
a
b c d
e
A ∪ B

24. Inicio
Definimos la intersección de
dos conjuntos A y B a otro
conjunto formado por los
elementos que pertenecen a
ambos conjuntos.
 A ∩ B = { x / x ∈ A ∧ x
∈ B }

25. Inicio
 Ejemplo:
 A = { a,b,c, d, e }
 B = { d, e , f }
 A ∩ B = {d, e }
A B
d
e
a
b
c
f
A ∩ B

26. Inicio
Definimos la diferencia de
dos conjuntos A y B a otro
conjunto formado por los
elementos que pertenecen
a A y no pertenecen a B
 A -B = { x / x ∈ A ∧ x ∉ B
}

27. Inicio
 Ejemplo:
 A = { a,b,c, d, e }
 B = { d, e , f }
 A - B = {a,b,c }
d
e
f
a
b c
A - B

28. Inicio
 El conjunto “A diferencia
simétrica B ” que se
representa A B es
el conjunto formado por
todos los elementos que
pertenecen a (A-B) o(B-A).
 Se simboliza:
 A B = { x/x ε (A-B) x ε (B-
A)}

29. Inicio
Ejemplo:
Sea:
 A= {1,2,3,4,5,6,7}
 B={5,6,7,8,9}
A B = {1,2,3,4} U
{8,9}
A B = {1;2;3;4;8;9}
1 2
3
5
6
7
4
8
9

30. Inicio
Si un conjunto A es
subconjunto de otro
conjunto universal U, al
conjunto A' formado por
todos los elementos de U
pero no de A, se llama
complemento de A con
respecto a U.
Simbólicamente se
expresa:
 A' = { x/x ε U y x ε A }

31. Inicio
Ejemplo:
Sean U = { m, a, r, t, e } y
 A = { t, e }
Su complemento de A es:
 A' = { m, a, r }

32. Inicio
Sean U = { letras de la palabra
aritmética}
y B = { vocales de la palabra vida }
Determinado por extensión tenemos
U = { a, r, i, t, m, e, c }
B = { i, a }
Halla el complemento de B
El complemento de B es:
B' = { r, t, m, e, c }

33. Inicio

34. Inicio
 A U B = {1;2;3;4;5;6;7;8;9}
A B
1
7
5 3
9
2
4
8
6

35. Inicio
 Dados los conjuntos
 A = { 1,2,3, 4, 5,6 }
 B = { 5, 6 , 7 }
 Hallar:
 A ∩ B

36. Inicio
 A ∩ B = {5, 6 }
A
B
A ∩ B6
5
1
2
3
4
7

37. Inicio
Imagen de Georg Cantor
http://www.facebook.com/people/Georg-Cantor/619166648
http://arieder.files.wordpress.com/2009/10/cantor_maxima_demo_big.png
Imagen Infinito
http://lh3.ggpht.com/hypercreacion/R_rSU9GlqUI/AAAAAAAAAMo/N33K_14Qpo8/s800/escher_infinito.jpg
Imagen Matemáticas
http://4.bp.blogspot.com/_EuVEw9tXB-4/TBmut0192sI/AAAAAAAANiQ/AQs4Fe3r5Ug/s400/matematicas.jpg
http://2.bp.blogspot.com/_s5C3hEVYndg/TATXd-xoyDI/AAAAAAAAABs/ZQnbY0SoQCc/s1600/2mathgr.gif
Imagen Números Impares
http://1.bp.blogspot.com/_e6ns2w7oOIs/SrJy3w7dDnI/AAAAAAAACPI/0c7rJsLI6qs/s400/Suma+N%C3%BAmeros+Impares.JPG
Imagen Alan Garcia Pérez
http://www.landcoalition.org/cpl-blog/wp-content/uploads/alan-garcia.jpg
Imagen del extraterrestre
http://www.omco.org/coleccion/ediciones/edicion230/images_edic229/ciencia_extraterrestres.jpg
Contenidos conceptuales
http://luzrivero.tripod.com/id26.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos
http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Conjuntos/marco_conjuntos.htm
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm
Imagen de conjuntos
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Conjuntos_01.svg/300px-Conjuntos_0
http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Alumnos/al-18/d-5.JPG
http://2.bp.blogspot.com/_LEjH34qtcRM/SWcbmmXi05I/AAAAAAAAABg/Y6c_xP5gRvY/s320/teria
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Conjuntos_01.svg/300px-Conjuntos_0
Imágenes de días de la semana
http://www.teachersparadise.com/c/images/prods/1T/T-38511
Imagen Diferencia Simétrica
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Conjuntos_01e.svg/300px-
Conjuntos_01e.svg.pngl
Imagen unión de conjuntos
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e0/Conjuntos_02.svg/300px-
Conjuntos_02.svg.png
Conjuntos
http://colposfesz.galeon.com/est501/conjunto/teoconj.htm
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/conjuntos.html
Conjunto vacio
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo
http://enciclopedia.us.es/index.php/Conjunto_vac%C3%ADo
Conjuntos iguales
http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ConjuntosIguales.htm
http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/conjuntos.html