El documento describe la historia y objetivos de la teoría de números. Comienza explicando que el objetivo es compilar la teoría básica en un documento para estudiantes de física, matemática o ciencias. Luego detalla que los objetivos específicos son reunir los tópicos fundamentales de la teoría de números para apoyar cursos sobre el tema y mostrar los principales resultados de una manera sencilla con ejercicios.

1. Objetivo General.
1. Compilar la teoría básica en un único documento destinado al estudiante de
física, matemática o ciencias en general; como apoyo bibliográ…co para
cursos sobre teoría de números.
Objetivos Especí…cos.
1. Reunir en un único tratado los tópicos fundamentales y recurrentes en los
programas de teoría de números, con la …nalidad de dirigirlo a estudiantes
como material bibliográ…co, para apoyo de la asignatura y consulta.
2. Mostrar en un lenguaje sencillo los principales resultados de la teoría de
números, acompañado de buena ejercitación, además de algunas aplicaciones y actualizaciones en este campo.
1

2. Introducción
La teoría de números o aritmética como también es llamada es quizás junto
con la geometría la rama de la matemática más antigua, pero a diferencia de esta
en la cual pueden recrearse formas y cuerpos para ser estudiados, la aritmética
suele ser árida, abstracta y desprovista de atractivo para casi cualquier lector,
muchos matemáticos han llamado a la teoría de números como la rama más
difícil de esta ciencia, otros le han dado el título de Reina de las matemáticas,
sea cual sea el cali…cativo la aritmética siempre ha estado rodeada de un aura de
misticismo y escepticismo para el lector. A pesar de que esta rama cuenta con
un gran campo de aplicación en disciplinas como la computación, criptografía,
…nanzas, biología, física y las matemáticas mismas. Sin mencionar que ha engendrado los problemas más famosos y difíciles de las matemáticas, algunos aun
sin solución en la actualidad; así también ha dado lugar a la creación de nuevas y
modernas ramas de las matemáticas tales como: la teoría analítica de números,
la teoría algebraica de números, teoría de curvas elípticas, entre otras.
La teoría de números no es propia de un nivel particular de educación,
podemos encontrar tópicos de ésta desde la escuela primaria hasta la universidad. Propiamente dicho, en nuestro país se forman profesionales en educación
con mención en matemáticas donde deben estudiar teoría de números. Es precisamente por estos últimos que escribimos este trabajo.
Por las características socioculturales y económicas de nuestro país, es difícil
acceder a bibliografía actualizada y adecuada para ciertos niveles educativos y
para determinados …nes académicos, motivados por esta causa hemos decidido
escribir este trabajo compilatorio en su gran medida, pero con las particularidades de: mostrar la teoría expuesta con una claridad de lenguaje y explicación
paso a paso, presentar una variedad de ejercicios resueltos y otra gama de ejercicios propuestos con su respuesta o sugerencias para su solución, un material
autosu…ciente en el sentido que cada capítulo dota de lo necesario para el siguiente sin la necesidad de recurrir a otros medios y …nalmente las aplicaciones a
otras ciencias o dentro de las matemáticas mismas y los resultados más recientes
en esta rama.
La intención de este documento es crear, no un recetario sino, un medio
didáctico-técnico, dirigido a estudiantes de nivel universitario que tengan que
enfrentarse a un curso de teoría de números, pues aquí podrán adquirir una
formación teórica-práctica en cuanto a conocimiento teórico y estrategia para
la solución de problemas.
2

3. Reseña Histórica De La Teoría De Números.
Construyendo el número
Hoy en día encontramos números en casi cualquier disciplina cientí…ca, tecnología o incluso en el ambiente ordinario, pero este conjunto de grafos son el
resultado de mucho tiempo de evolución y complejas relaciones culturales que
datan desde tiempos del origen de la humanidad misma.
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica
de contar los objetos. Inicialmente se contaba con ayuda de los medios que
se disponía: dedos, piedras, conos de abetos, etc. Huellas de estos se han
conservado en las denominaciones de los cálculos matemáticos: Por ejemplo,
calculus en su traducción del latín signi…ca cuenta con piedras. Debido a los
medios utilizados para contar, la serie natural se concebía …nita y se contaba de
5 en 5 (para el caso de los dedos de las manos) y luego se iniciaba nuevamente
la cuenta formando paquetes de 5. Presumiblemente esta sea la razón de tener
un sistema decimal por poseer 10 dedos en las manos utilizados como medios
de cálculo.
Junto a la utilización de más y más números surgieron y se desarrollaron sus
símbolos, y los propios números formaron sistemas. Para los primeros períodos
de la historia de la humanidad es característico encontrarse con una diversidad
de sistemas numéricos. Que paulatinamente se perfeccionaron y uni…caron como
consecuencia de las interacciones culturales entre las distintas razas.
Algunos ejemplos se muestran en las …guras siguientes:
Numeración Egipcia
3

4. Numeración Eslava
Nuestros numerales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 ,9) se suelen llamar árabes o
arábigos a pesar que se parecen muy poco a los utilizados en los países de la
región árabe como Egipto, Irak, Siria, Arabia, etc. Pero esta denominación
de números arábigos se debe a que los principios en los que se basan los dos
sistemas es el mismo y a que los signos usados pueden haberse derivado de los
árabes.
Con esta universalización del sistema numérico, la conciencia del número se
volvió lo su…cientemente extendida y clara como para llegar al punto de sentir
la necesidad de expresar esta propiedad de alguna manera, al inicio presumiblemente solo en un lenguaje simbólico.
4

5. Nacimiento De La Aritmética
La aritmética de la traducción griega arihtmos o número tiene su origen en el
misticismo numerológico de los griegos o más especí…camente de la escuela de los
pitagóricos. Los pitagóricos fueron con mucha seguridad los primeros en estudiar
algunas de las propiedades de los números y a dar las primeras clasi…caciones
como pares, impares, primos, compuestos, números …gurados, entre otros.
En la época moderna la Aritmética o Teoría de números como también es
llamada se concibe como la rama de las matemáticas encargada de estudiar las
propiedades de los números naturales (0, 1, 2,. . . ) o enteros (. . . ,-2, -1, 0, 1,
2,. . . ). Entre las propiedades de mayor interés se cuentan: la divisibilidad y
cuando un número es primo o compuesto.
La época de Euclides
Cercano al 300 a .c ocurrió uno de los principales sucesos para la historia de
las matemáticas, la aparición de los Elementos de Euclides obra monumental de
13 libros que recoge el conocimiento matemático alcanzado hasta la época, que
sacaría a la aritmética de la numerología y del misticismo, para convertirla en
una ciencia estricta y deductiva. Existe la concepción errónea que los elementos
es una obra enteramente dedicada a la geometría, los libros VII, VIII y IX están
dedicados enteramente a la teoría de números.
El libro VII comienza con dos proposiciones que constituyen lo que hoy
conocemos como el algoritmo de Euclides para obtener el máximo común divisor
de dos números dados. El libro VIII trata las propiedades de los cuadrados y los
cubos. Y por último y el que posee un interés especial el libro IX, que contiene el
teorema y la demostración del mismo sobre la in…nitud de los primos. También
atacó el problema de los números perfectos, dando la demostración de que todo
número perfecto es de la forma 2p 1 (2p 1),en donde p y 2p 1 son primos. Dos
mil años más tarde Euler demostró el recíproco del teorema diciendo que todo
número par perfecto debe ser del tipo descrito por Euclides.
Por ejemplo. Para 6 tenemos:
6 = 22
1
22
1 =2 3
Todo número de la forma 2p 1 , en donde p es primo se conocen como números
de Mersenne, que los estudió en 1644. Aún hoy no se conoce si existen números
perfectos impares.
La Aritmética De Diofanto
Los 250 años que siguieron a la desaparición de Euclides la teoría de números
entró en un periodo de oscuridad hasta la llegada de Diofanto de Alejandría,
quién publicó 13 libros, de los cuales se han conservado 6.
5

6. La aritmética de Diofanto en lo que ha llegado hasta nosotros, está dedicada
casi completamente a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas. Una de los principales aportes de Diofanto a las matemáticas fue
haber introducido la notación algebraica que precedió a lo que hoy utilizamos.
La arithmetica no consiste en exposición sistemática sobre las operaciones o
funciones algebraicas, sino en una colección de 150 problemas, resueltos todos
en términos de ejemplos numéricos completos y especí…cos.
Diofanto fue hábil para resolver ecuaciones algebraicas con dos o tres incógnitas. Muchos de estos problemas se originaron en la teoría de números y a él le
pareció natural encontrar soluciones enteras. Las ecuaciones que deben ser resueltas por medio de valores enteros reciben el nombre de ecuaciones difánticas
y el estudio de tales ecuaciones análisis diofántico.
Pierre de Fermat y La Teoría De Números
El trabajo de Diofanto encuentra en el siglo diecisiete a su mejor intérprete,
Pierre de Fermat quien se convertiría en el creador de la moderna teoría de
números.
Dentro de los resultados obtenidos por Fermat tenemos que a…rmaba que
n
los números de la forma fn = 22 + 1 es un número primo 8n 2 N, pero esta
conjetura resulto errónea, Euler demostraría que para n = 5 es compuesto.
El conocido teorema de Pitágoras, inspiró el resultado más famoso y quizás
el más difícil planteado por Fermat. El llamado último teorema de Fermat, la
ecuación diofántica x2 + y 2 = z 2 ; 8n > 2 , no tiene solución en los números
enteros. Este fue un problema que se resistió 350 años a las mejores mentes
matemáticas hasta que un joven matemático inglés, Andrew Wiles, en mayo
de 1995 publicará un artículo de 130 páginas en Annals of Mathematics con la
solución al problema.
Aunque tal vez menos impresionante, pero otra gran paso en la teoría de
números debido a Fermat es el pequeño teorema que lleva su nombre: si p es
primo positivo y a es un entero coprimo de p, entonces p divide a, ap 1 1 ó
ap 1 1 mod p , cuya demostración se la debemos a Euler.
Fermat logró verdaderos y muy profundos avances en esta rama de las
matemáticas, a pesar que su forma de razonar era muy intuitiva y casi nunca
daba una demostración general, sin embargo dio algunas muy interesantes para
los siguientes teoremas:
Todo número entero o es un número triangular o una suma de 2 ó 3 números
triangulares; todo entero o es cuadrático o suma de 2, 3, ó 4 cuadráticos; todo
número o es pentagonal o es suma de 2, 3, 4 ó 5 pentagonales, y así sucesivamente.
6

7. También se le debe el resultado de que todo número primo de la forma 4n+1,
es suma de dos cuadrados.
Por ejemplo.
5 = 12 + 22 ; 13 = 22 + 32 ; 17 = 12 + 42
Un nuevo rumbo para La Aritmética
Posterior al trabajo de Fermat, resuenan los nombres de las que quizás sean
las …guras más representativas de la moderna teoría de números: Leonard Euler
(1707-1783), Lagrange (1763-1813), K.F Gauss ( 1777-1855) y Dirichlet (18051859).
Gracias a Euler se veri…caron o refutaron algunos de los ya mencionados
problemas planteados por Fermat. Dictada por Euler, ya ciego, alrededor del
año 1767, la Aritmética Universal apareció, obra monográ…ca que consta de dos
partes; en los tres parágrafos de la primera parte dirigió una atención especial
a las reglas de resolución de problemas aritméticos y al desarrollo del aparato
simbólico-lingüístico del álgebra. El último parágrafo incluye preferentemente
los métodos para buscar soluciones enteras de las ecuaciones indeterminadas
de primer grado y grados superiores. Aquí se le agrega la resolución del gran
teorema de Fermat para n = 3 y n = 4:
Todo hace indicar que la motivación especial por la teoría de números,
provino de la correspondencia mantenida entre Euler y Goldbach otro brillante
matemático. En una de estas cartas, fechada de 1 de diciembre de 1729, Goldbach pregunta a Euler si conoce el resultado donde Fermat a…rma que todo
n
número de la forma fn = 22 + 1 es primo, Euler contesta con un contra ejem25
plo, f5 = 2 + 1 = 4294967297; el cual es divisible por 641 refutando así el
resultado de Fermat.
Además de este hecho demostró el pequeño teorema de Fermat, introdujo
la función '(m); cuyos valores son iguales a la cantidad de números menores
que m y que son coprimos con él, en 1722 creó la ley de reciprocidad cuadrática
y todo lo concerniente al problema de la representación de números en formas
cuadráticas.
Los trabajos de Euler determinaron la problemática, la estructura, y los
métodos de la teoría algebraica de los números.
7

8. Después de Euler, la ley de reciprocidad cuadrática la demostró Legendre
(dio una demostración incompleta). Gauss, hasta el año 1801 dio ocho demostraciones de esta ley. No obstante Legendre en 1880 encontró la forma más cómoda
de escribir esta ley:
p 1 q 1
p
q
;
= ( 1) 2 2
q
p
Entre los problemas aditivos de la teoría de números, propuestos en el siglo
XVIII, se encuentra también el problema de Waring (1770), cualquier número
natural n 2 es representable como la suma de n esimas potencias de números
naturales, además el número r de términos de la suma depende solo de n. Waring
no dio su demostración. Como en la mayoría de los problemas de la teoría de
números, el éxito se logró con mucha di…cultad. Así, Lagrange demostró que
si n = 2, entonces r = 4: Posterior a esto se encontraron otros resultados
particulares hasta que en 1909, Hilbert dio la primera demostración general.
En los trabajos de Euler, Lagrange, Legendre, Lambert y otros matemáticos,
fueron elaborados y re…nados numerosos e ingeniosos métodos de la teoría de
números, tanto algebraicos como analíticos. Todas estas investigaciones, naturalmente, necesitaban sistematización, reducción a una estructura lógica y bien
estructurada de manera original. Esta dura tarea fue iniciada por Legendre en
los años de 1797-1798 que tituló “Experiencia de la teoría de números” teniendo
,
como objetivo construir un sistema de resultados sobre las propiedades de los
números enteros. En posteriores ediciones fue completado con el trabajo de
Gauss, Abel y otros brillantes matemáticos del siglo XIX. En esta presentación
está contenida el enorme cúmulo de conocimiento sobre teoría de números, lo
que le da un signi…cado histórico y un signi…cado intelectual invaluable como
guía para iniciar el camino de los números.
8

9. 1
Números Enteros Naturales
"Dios hizo los números naturales; el resto es obra del hombre"
Leopold Kronecker.
En este capítulo abordaremos los principios fundamentales que rigen a los
números naturales, El principio del buen orden y el Principio de Inducción
matemática. Además de estudiar el sistema de los naturales desde la óptica
axiomática de Peano.
1.1
Principio del Buen Orden (PBO)
1.1.1 De…nición. Decimos que a es mayor que b (simbolizado a > b), si la
ecuación b + x = a es soluble para algún número natural x.(para el caso
x = 0, se obtiene la igualdad b = a)
La relación a es mayor que b, puede expresarse equivalentemente así: b < a
La relación "mayor que" antes de…nida tiene las siguientes propiedades:
1. Tricotomía. Una y solamente una de las relaciones siguientes debe cumplirse:
a > b;
a = b; a < b
Demostración.
Supongamos que se cumplen a > b y a = b: De la de…nición de mayor,
tenemos la existencia de algún x natural, tal que a = b + x, por hipótesis
y transitividad se sigue que b = b + x, lo cual es absurdo. Ahora supongamos
como cierto que a < b y a = b; análogamente, se tiene un x tal que b = a+x, por
hipótesis y transitividad de la igualdad pasa que a = a + x; lo que nuevamente
es absurdo. Así, puede concluirse que solo una de las relaciones puede cumplirse
2. Propiedad transitiva.
Si a > b y b > c; entonces a > c
Demostración. Si a > b y b > c, esto implica la existencia de naturales
x y y tales que a = b + x y b = c + y: Podemos entonces reemplazar b por
c + y en la primera ecuación así: a = (c + y) + x = c + (y + x) ; por propiedad
asociativa. Sin embargo (y + x) = z es un número natural por cerradura de la
adición. Esto prueba que a = c + z y por tanto a > c
9

10. 3. Si a > b; entonces a + c > b + c
Demostración.
Para realizar esta demostración empezaremos por escribirla en la forma simbólica:
Si a > b =) a + c > b + c
Tomando su contrarrecíproco
(a + c > b + c ) =)
(a > b)
que equivalentemente es
a+c
Aquí el símbolo
a+c<b+c
i.
b + c =) a
b
lo utilizamos a …n de simpli…car la escritura de " < ó = "
=)
=)
=)
a+c+x=b+c
a+x=b
a<b
def. mayor que
prop. cancelativa
def. mayor que
ii. Si a + c = b + c; entonces a = b por la propiedad cancelativa.
La demostración de la propiedad número 3 se realizó en la base de la ley
cancelativa, de la cual se dará una demostración más adelante.
Principio de Buen Orden (PBO): Cualquier conjunto de números naturales que contenga al menos un elemento, contiene un elemento mínimo.
1.1.1 Teorema. No hay ningún natural entre 0 y 1.
Demostración.
Supongamos que existe un número a; con la siguiente propiedad, 0 < a < 1.
Entonces, existe un conjunto A no vacío de elementos menores que 1: Luego,
por PBO, A tiene elemento mínimo, llamémosle m; será tal que 0 < m < 1:
Mutiplicando toda la desigualdad por m, 0 < m2 < m: Entonces m2 es otro
natural del conjunto A, menor que el supuesto elemento mínimo de A. Esta
contradicción demuestra el teorema.
1.1.2 Teorema : Un conjunto H de enteros naturales que incluya al 1 y que
incluya al n + 1 siempre que incluya al n; incluye también a cualquier
entero natural.
10

11. Demostración.
La prueba consiste en demostrar que el conjunto H 0 de los naturales que
no están en H es vacío, esto es H 0 = fx 2 N : x 2 Hg = : Supongamos lo
=
contrario, esto es H 0 contiene al menos un elemento; luego por PBO, H 0 tiene
elemento mínimo m: Pero m 6= 1; por hipótesis 1 2 H; luego por el teorema
anterior m > 1; y m 1 > 1: Además 1 < m 1 < m; resulta que, como m
es elemento mínimo de H 0 ; m 1 debe estar en H. Según la hipótesis puede
deducirse que (m 1) + 1 = m 2 H. Lo que contradice nuestro supuesto.
1.2
Principio de Inducción Matemática (PIM)
1.2.1 Teorema. Principio de inducción Completa. Asociemos a cada
número natural n una proposición P (n), la cual puede ser verdadera o
falsa. Si, primero, P (1) es verdadera y, segundo, para cualquier k la
verdad de P (k) implica la de P (k + 1) ; entonces P (n) es verdadera para
todo natural n:
Demostración.
Una proposición P (n) ; es válida para todo número natural n si:
1. Es válida para n = 1
2. De su validez para un número natural cualquiera n = k se deduce su
validez para n = k + 1
Supongamos lo contrario, es decir, que la proposición no es válida para
cualquier número natural n: Entonces, existe un número natural n0 tal que,
la proposición es falsa; por la condición 1. n0 6= 1: Luego, existe un número
natural n1 tal que n0 = n1 + 1: A…rmamos que
n0 > n1
y Pn1 es falsa:
Porque n1 < n1 + 1 = n0 y si Pn1 es verdadera, entonces por la condición 2
la proposición Pn1 +1 = Pn0 sería verdadera, lo cual contradice nuestro supuesto.
(existe un número natural n0 tal que, la proposición es falsa). Aplicando a n1 el
mismo razonamiento que a n0 ; encontramos que existe un número natural n2 ;
tal que
n0 > n1 > n2 y Pn2 es falsa
continuando de esta manera obtenemos una sucesión in…nita decreciente de
números naturales
n0 > n1 > n2 > n3 >
11
> ni >

12. Lo cual es imposible puesto que cualquier subconjunto de números naturales
tiene elemento mínimo (PBO).
La demostración se ha podido completar en la base del PBO, así mismo,
tomando como fundamento el PIM puede probarse el PBO.
Ejemplos de algunas demostraciones usando PIM
1. Demuéstrese que para todo natural n, la suma de los primeros n términos es
n (n + 1)
2
Demostración.
n (n + 1)
2
Primeramente veri…camos el caso particular n = 1, esto es
1+2+3+
1=
+n=
2
1 (1 + 1)
= =1
2
2
Por tanto, P1 es válida.
Ahora, supongamos que Pk es válida. Entonces la hipótesis de inducción es:
k (k + 1)
2
Nuestro objetivo es demostrar la validez de Pk+1 ; esto es
1+2+3+
+k =
(k + 1) [(k + 1) + 1]
2
Reescribiendo el primer término de la igualdad y aplicando la hipótesis inductiva; como sigue:
1+2+3+
+ (k + 1) =
(1 + 2 + 3 +
+ k) + k + 1
(1 + 2 + 3 +
+ k) + (k + 1)
(1 + 2 + 3 +
+ k) + (k + 1)
(1 + +3 +
+ k) + (k + 1)
(1 + 2 + 3 +
+ k) + (k + 1)
=
=
=
=
k(k+1)
+ (k +
2
k(k+1)+2(k+1)
2
(K+1)(k+2)
2
(k+1)[(k+1)+1]
2
Con lo que se demuestra que Pk+1 es cierta.
12
1)
Agrupamos los primeros k términos
hipótesis de inducción
Suma de naturales
P. Distributiva
k + 2 = (k + 1) + 1

13. 2. Demuéstre la validez de la siguiente a…rmación:
2+4+6+
+ 2n = n(n + 1)
Demostración.
Para el caso particular n = 1
2 = 1(1 + 1) = 2
por tanto la proposición es verdadera para n = 1
Suponiendo la validez de la expresión para algún k 2 N. La hipótesis resulta
2+4+6+
+ 2k = k(k + 1)
Así, la tesis a probar es
2+4+6+
+ 2 (k + 1) = (k + 1) [(k + 1) + 1]
Luego
(2 + 4 + 6 +
(2 + 4 + 6 +
(2 + 4 + 6 +
(2 + 4 + 6 +
+ 2k) + 2 (k + 1)
+ 2k) + 2 (k + 1)
+ 2k) + 2 (k + 1)
+ 2k) + 2 (k + 1)
=
=
=
k(k + 1) + 2 (k + 1)
(k + 1) (k + 2)
(k + 1) [(k + 1) + 1]
Agrupamos los primeros k términos
hipótesis de inducción
P. Distributiva
k + 2 = (k + 1) + 1
Con lo que se demuestra que Pk+1 es cierta.
1.3
Números Naturales y Axiomas de Peano
Se de…ne el conjunto N de los números naturales como un conjunto que veri…ca
los cinco axiomas siguientes:
1. Existe un elemento de N al que llamaremos cero (0), esto es,
02N
2. Existe la aplicación siguiente, sig : N ! N :
sig : N ! N;
8n 2 N; sig (n) 2 N
3. El cero no es imagen por la aplicación siguiente:
8n 2 N;
13
sig (n) 6= 0

14. 4. La aplicación siguiente es inyectiva:
8n; m 2 N;
si sig (n) = sig (m) =) n = m
5. Se veri…ca la inducción completa: Si S
02S
8n 2 S
=) sig (n) 2 S
N y satisface
=) S = N
A partir de estos cinco axiomas, y usando sistemáticamente la inducción
completa, podemos probar todas las propiedades del conjunto N.
1.3.1 De…nición. De…nimos la suma de números naturales como una aplicación + : N N ! N; de forma tal que (n; m) ! n + m y se
cumple que:
1. 0 + m = m
2. sig(n) + m = sig (n + m)
Tomemos por ejemplo: n = 1 y m = 3 e ilustremos las dos condiciones
anteriores.
0+3 = 3
sig (1) + 3 = 2 + 3 = 5 = sig (1 + 3) = sig (4)
1.3.2 De…nición. De…nimos la multiplicación de números naturales como una
aplicación : N N ! N; de forma tal que (n; m) ! n m y se cumple
que:
1. 0 m = 0
2. m sig(n) = m n + m
Tomemos por ejemplo: n = 2 y m = 3 e ilustremos las dos condiciones.
0 3 = 0
3 sig (2) = 3 2 + 3 = 6 + 3 = 9
1.3.1 Teorema.
Se veri…can las propiedades asociativa, conmutativa y cancelativa para la
suma de números naturales:
1. Propiedad asociativa: 8a; b; c 2 N; (a + b) + c = a + (b + c)
14

15. 2. Propiedad conmutativa: 8a; b 2 N; a + b = b + a
3. Propiedad cancelativa: 8a; b; c 2 N; a + c = b + c =) a = b
Demostración:
1. Propiedad Asociativa. 8a; b; c 2 N; (a + b) + c = a + (b + c)
Haremos inducción sobre a:
Si a = 0; entonces
(0 + b) + c = b + c = 0 + (b + c)
podemos asumir, la hipótesis de inducción
(a + b) + c = a + (b + c)
Ahora debemos probar para sig(a) = a + 1, esto es
[sig (a) + b] + c = sig (a) + (b + c)
[sig (a) + b] + c
=)
=)
=)
=)
sig (a + b) + c
sig [(a + b) + c]
sig [a + (b + c)]
sig (a) + (b + c)
def.
def.
hip.
def.
de sig
de sig
inductiva
de sig
2. Propiedad Conmutativa: 8a; b 2 N; a + b = b + a
Haremos inducción sobre a:
Si a = 0, entonces
0+b=b=0+b
podemos asumir, la hipótesis de inducción
a+b=b+a
Ahora debemos probar para sig(a) = a + 1, esto es
sig (a) + b = b + sig (a)
sig (a) + b
=)
=)
=)
=)
=)
sig(a + b)
sig (b + a)
(b + a) + 1
b + (a + 1)
b + sig(a)
15
def. sig
hip. inductiva
def. sig
prop. asociativa
def. sig

16. 3. Propiedad Cancelativa: 8a; b; c 2 N; a + c = b + c =) a = b
Haremos esta demostración haciendo inducción sobre c:
Si c = 0; entonces
a + 0 = b + 0 =) a = b
Asumimos la hipótesis inductiva
a + c = b + c =) a = b
Ahora debemos probar para sig(c) = c + 1; esto es
a + (c + 1) = b + (c + 1) =) a = b
a + (c + 1) = b + (c + 1)
=) (a + c) + 1 = (b + c) + 1
=) sig (a + c) = sig (b + c)
=)
a+c=b+c
=)
a=c
prop. asociativa
def. siguiente
inyectividad de la aplicación sig
hipótesis inductiva
1.3.2 Teorema.
Se veri…can las propiedades asociativa, conmutativa, cancelativa y distributiva (respecto a la suma) para el producto de números naturales:
1. Propiedad asociativa: 8a; b; c 2 N; (ab)c = a(bc)
2. Propiedad conmutativa: 8a; b 2 N; ab = ba
3. Propiedad cancelativa: 8a; b; c 2 N; ac = bc =) a = b
4. Propiedad didtributiva: 8a; b; c 2 N; a (b + c) = ab + ac
1.4
Exponenciación en N
1.4.1 De…nición. Para cualesquiera números naturales a y n se tiene que:
i.
an
:
=a a a a
|
{z
n veces
ii.
a0 = 1
16
a
}

17. iii.
asig(n) = an a
1.4.1 Teorema. 8a; b 2 N y para cualquier m; n 2 N :
1.
am an = am+n
2.
n
(am ) = am n
3.
n
(ab) = an bn
Demostración:
1. Vamos a probar la primera parte del teorema 1.4.1, esto es: am an = am+n
i) Para n = 0; la propiedad es válida puesto que: am+0 = am = am 1 = am a0 :
ii) Ahora vamos a suponer que existen números a; m; n tales que no cumplen
la propiedad, es decir: am an 6= am+n
Por lo dicho en i) n 6= 0 y por lo tanto debe existir n1 de forma que n1 +1 = n:
Se sigue entonces que
n > n1 y am an1 6= am+n1
Esto último porque n1 < n1 + 1 = n y si am an1 = am+n1 ; entonces am an =
a a
= (am an1 ) a1 = (am+n1 ) a1 = am+(n1 +1) = am+n ; que contradice
nuestro supuesto inicial.
Aplicando el mismo razonamiento a n1 encontramos otro número natural n2
tal que
m n1 +1
n > n1 > n2
y am an1 6= am+n1
Continuamos de este modo para cada ni ; encontramos que existe una sucesión in…nita decreciente n > n1 > n2 > n3 > ::: > ni > ::: de números naturales.
Lo cual es imposible puesto que cualquier subconjunto de números naturales
tiene elemento mínimo (PBO). Por lo tanto, am an = am+n para cualesquiera
números naturales m; n y a:
17

18. n
2. Continuaremos con la segunda parte del teorema: (am ) = am n
0
Particularmente, n = 0 tenemos la clara igualdad; (am ) = 1 = a0 = am 0
1
en el caso n = 1; también veri…camos que; (am ) = am = am 1
Así, asumimos que esto es cierto para algún número natural k; nuestra
k
hipótesis inductiva es entonces; (am ) = am k
k+1
debemos probar que es cierta para sig (k) = k + 1; i.e, (am )
= am(k+1)
Procedemos como sigue:
k+1
(am )
= am am am am
|
{z
(k + 1)
veces
am = (am am am
} |
{z
k
am ) am = (am )
}
k veces
am = amk am
esto por de…nición de potencia e hipótesis inductiva. Luego por la parte 1)
del teorema, tenemos lo siguiente:
amk am = akm+m = am(k+1)
n
que es lo que queriamos demostrar, por tanto (am )
8a; m; n 2 N:
= am n es válido,
La tercera parte, para completar el teorema, queda como ejercicio.
18

19. 1.5
Ejercicios resueltos sobre axiomas de Peano e Inducción.
1. De…nimos la relación "menor o igual que" ( ) de modo siguiente: 8a; b 2
N; a b () 9x 2 N : a + x = b:
Probar que ( ) es relación de orden, es decir, es re‡
exiva, antisimétrica y
transitiva.
Demostración.
i. Es re‡
exiva: 8a 2 N; 9 0 2 N : a + 0 = 0 + a = a =) a
ii. Antisimétrica: 8a; b 2 N; a
b^b
a
a =) a = b
Si a b =) 9 x 2 N : a + x = b; luego, Si b a =) 9 y 2 N : b + y = a;
Escribamos ahora: a + x = b = b + (y + x) =) y = x = 0 y de aquí a = b
iii. Transitiva: Si a
b^b
c =) a
c:
Si a b =) 9 x 2 N : a + x = b ^ si b c =) 9 y 2 N : b + y = c; entonces
c = b + y = (a + x) + y = a + (x + y) ; es decir existe el número (x + y) = z 2 N;
tal que c = a + z =) a c:
2. Ningún número natural coincide con su siguiente: 8n 2 N; n 6= sig (n)
Demostración.
Sea A = fn 2 N : n 6= sig (n)g : Veamos que tal conjunto coincide con N:
0 2 A; puesto que por axioma 3 0 6= sig (0)
8n 2 A; n 6= sig(n) =) sig(n) 6= sig(sig(n)) , por axioma 4 (inyectividad
de la función siguiente). Luego sig(n) 2 A
Y del axioma quinto, se sigue que A = N:
3. Todo número natural es estrictamente menor que su siguiente: 8a 2 N; a <
sig (a)
Demostración.
sig (a) = sig (0 + a) = sig (0)+a =) 9 sig (0) 2 N : a+sig (0) = sig (a) =)
a sig (a) ; por el ejercicio anterior tenemos que n 6= sig(n); por tanto:
a sig (a) ^ a 6= sig(a) =) a < sig (a)
19

20. 4. Demuéstrese en N;
a 6= b =) a + n 6= b + n
Hacemos inducción sobre n y tenemos:
a. n = 1 =) a + 1 = sig (a) 6= a 6= b 6= sig (b) = b + 1; de aquí que a + 1 6= b + 1:
Luego nuestra hipótesis de inducción a 6= b =) a + h 6= b + h; 8h 2 N
b. a + h 6= b + h =) a + sig (h) 6= b + sig (h) : Procedemos como sigue: a + h 6=
b + h =) sig (a + h) 6= sig (b + h) =) a + sig (h) 6= b + sig (h) :
Demostraciones por inducción.
1. Pruébese la validez de la siguiente suma:
Sn =
1
1
1
n
1
+
+
+ ::: +
=
1 2 2 3 3 4
n (n + 1)
n+1
Casos particulares n = 1; n = 2
S1 =
S2 =
1
(evidente)
2
1
1
1 1
3+1
4
2
n
2
2
+
= + =
= =
por otro lado tenemos;
=
=
1 2 2 3
2 6
6
6
3
n+1
2+1
3
Hipótesis inductiva, para n = k,
Sk =
1
1
1
+
+
+
1 2 2 3 3 4
+
1
k
=
k (k + 1)
k+1
donde k es un número natural.
Demostremos que, también es válida para n = k + 1; i:e
Sk+1 =
k+1
k+2
En efecto,
Sk+1 =
1
1 2
+
1
2 3
+
1
3 4
+
+
1
1
+
k (k + 1)
(k + 1) (k + 2)
por consiguiente podemos escribir
Sk+1 = Sk +
1
(k + 1) (k + 2)
20

21. que por hipótesis de inducción reescribimos como
Sk+1 =
k
1
k 2 + 2k + 1
k+1
+
=
=
k + 1 (k + 1) (k + 2)
(k + 1) (k + 2)
k+2
hemos demostrados ambas condiciones, ahora en virtud del PIM podemos
a…rmar que la proposición anterior es verdadera.
2. Pruébese que todo número natural impar es de la forma
Pn = 2n
1
Caso particular n = 1; n = 2
P1 = 2 (1)
1=1
P2 = 2 (2)
1=3
lo que veri…ca la primera parte de la inducción.
Hipótesis inductiva, para n = k,
Pk = 2k
1
Demostremos, entonces que, la fórmula debe ser válida para (k + 1) ; esto es
Pk+1 = 2 (k + 1) 1 es impar.
Pk+1 = 2 (k + 1)
1 = 2k + 1
Para obtener el (k + 1)-ésimo número impar basta agregar 2 al k
número impar:
Pk+1 = Pk + 2
pero, por hipótesis, Pk = 2k
1 de modo que
Pk+1 = (2k
1) + 2 = 2k + 1
como queríamos demostrar.
3. Calcúlese la suma de los n primeros números impares.
21
esimo

22. Llamemos Sn a la suma buscada:
Sn = 1 + 3 + 5 +
+ (2n
1)
Tomenos sucesivos valores para n; hasta obtener información su…ciente para
poder enunciar una hipótesis acertada, para posteriormente demostrarla por
inducción.
S1
S5
S7
= 1; S2 = 1 + 3 = 4; S3 = 1 + 3 + 5 = 9;
S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16;
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25; S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36;
= 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
Resulta de manera casi natural que
S1
S5
= 12 ; S2 = 22 = 4; S3 = 32 = 9; S4 = 42 = 16;
= 52 = 25; S6 = 62 = 36 y S7 = 72 = 49
Sobre esta base podemos suponer que
Sn = n 2
Demostremos que esta hipótesis es verdadera
De los cálculos anteriores resulta que la hipótesis es válida para n = 1:
Hipótesis inductiva, para n = k,
2
Sk+1 = (k + 1)
Probaremos que también debe ser válida para n = k + 1;
En efecto,
Sk+1 = Sk + (2k + 1)
2
pero Sk = k ; de modo que
2
Sk+1 = k 2 + (2k + 1) = (k + 1)
como queriamos demostrar.
22

23. 4. Demuéstrese la desigualdad de Bernoulli
n
(1 + ) > 1 + n
donde
> 0 y n es un número natural mayor que 1.
Demostración.
La desigualdad es válida para n = 2 puesto que:
2
=
2
> 1+2
(1 + )
(1 + )
2
1+2 +
y
2
> 0 de aquí se deduce que
Hipótesis inductiva, para n = k;
k
(1 + ) > 1 + k
( )
Demostremos entonces que la desigualdad también se cumple para n = k +1;
o sea, que
k+1
(1 + )
> 1 + (k + 1)
En efecto, por hipótesis, se tiene
1+
>0
de modo que es válida la desigualdad
k+1
(1 + )
> (1 + k ) (1 + )
que se obtiene multiplicando por (1 + ) ambos miembros de la igualdad ( )
luego reescribiendo la última desigualdad tenemos
k+1
(1 + )
descartando el sumando k
emos
2
> 1 + (k + 1)
+k
2
de la derecha de la última desigualdad, obtenk+1
(1 + )
> 1 + (k + 1)
que es lo queríamos probar.
23

24. 1.6
Misterios de los Números Naturales.
Observe la siguiente relación numérica
100 = 13 + 23 + 33 + 43
Cien como la suma de los primero cuatro naturales elevados al cubo. Otra
relación interesante es la del número de días del año, es decir, 365
102 + 112 + 122 = 365
Resulta ser la suma de los cuadrados de tres números consecutivos empezando con 10:
Pero también es
132 + 142 = 365
la suma de los cuadrados de los siguentes números.
En otra forma
102 + 112 + 122 + 132 + 142
= 365
2
Ahora, observe si elevamos a la quinta potencia todas las cifras 54748 y
sumamos el resultado
55 + 45 + 75 + 45 + 85 = 54 748
Y, no menos curiosa la siguiente relación
13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13 = 666
1.7
Ejercicios Propuestos Sobre Números Enteros
1. Pruébese que, si a > b; entonces ac > bc
2. Demuéstre el principio de buen orden (PBO)
3. Demuéstre el teorema 1.4.1 parte 3
4. Demuéstrese que la suma de los cuadrados de los n primeros números
naturales es igual a:
12 + 22 + 32 +
+ n2
n
X
i2
i=1
24
=
=
n (n + 1) (2n + 1)
; i:e
6
n (n + 1) (2n + 1)
6

25. 5. El producto 1 2 3
n se indica por n! (se lee ene factorial) : Donde
1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24: Calcúlese
Sn = 1 1! + 2 2! + 3 3! +
+ n n!
y pruébese por inducción.
6. ¿Para qué valores naturales de n se cumple la desigualdad 2n > 2n + 1?
Pruebe la desigualdad a partir del n encontrado
7. Demúestrese que
p
1
+ p > 2n
2
n
1
1
p + p +
2
2
1
2
para todo natural n > 1:
8. Demuéstrese el teorema: La media geométrica de varios números naturales
no pasa de la media aritmética de los mismos, es decir, siendo a1 ; a2 ; : : : ; an
unos número naturales, se tiene
p
n
a1 + a2 + : : : + an
n
a1 ; a2 ; : : : ; an
9. Demuéstrese: n planos que pasan por un mismo punto, sin que contengan
nunca tres una recta común, dividen el espacio en
An = n (n
1) + 2
partes.
10. Demuéstrese que
n
n
(1 + i) = 2 2 cos
donde i =
p
n
n
+ i sin
4
4
1:
11. Demuéstrese el Binomio de Newton.
n
(a + b) =
n
X n
an
k
k=0
25
k k
b

26. 2
Números Enteros y Los números Primos
"Dios puede que no juega a los dados con el universo, pero algo extraño está
pasando con los números primos"
Paul Erdös.
Desarrollaremos aquí las ideas más fundamentales de la aritmética: la divisibilidad, el máximo común divisor, mínimo común múltiplo y la de…nición
de número primo, entre otros. Además de tratar el teorema fundamental de la
aritmética y algunas de sus aplicaciones en la matemática.
2.1
Divisibilidad de Números Enteros
El conjunto
Z=f
3; 2; 1; 0; 1; 2; 3
g
es llamado el conjunto de números enteros; los números
Z+ [ 0 = f0; 1; 2; 3;
g
enteros no negativos; y los números
Z+ = f1; 2; 3;
g
enteros positivos.
Usualmente denotamos a los números enteros con letras latinas mínusculas
a; b;
;n
; x; y; z
algunas veces para referirnos a una subclase de los enteros usamos la misma
notación, así que, basta con indicar a cual hacemos referencia. (positivos, negativos, etc.)
2.1.1 De…nición de divisibilidad. Diremos que d divide a n y escribiremos
djn; si n = cd para un c 2 Z: Diremos también que n es un múltiplo
de d; que d es un divisor de n; o que d es un factor de n: Si d no
divide a n escribiremos d - n:
2.1.1 Teorema. La divisibilidad veri…ca las siguientes propiedades:
a. njn (propiedad re‡
exiva)
b. djn ^ njm; entonces djm (propiedad transitiva)
26

27. c. djn ^ djm; entonces dj (an + bm) (propiedad lineal)
d. djn () adjan y a 6= 0 (propiedad de multiplicación)
e. 1jn
(1 divide a todos los enteros)
f. djn ^ djm =) djn + m
g. djn + m ^ djn =) djm
Demostración.
a. njn (propiedad re‡
exiva)
n=n
=)
=)
=)
n
njn
=
1 n
re‡
exividad de la igualdad
identidad multiplicativa en Z
por de…nición de divisibilidad
b. djn ^ njm; entonces djm (propiedad transitiva)
djn =)
njm =)
n
m
m
m
m
)
=
=
=
=
=
d c
n c;
(d c) c;
d (c c; )
d c;;
djm
def. divisibilidad
def. divisibilidad
sustituyendo n = d c
Prop. asociativa de la multiplicación
es ley de composición interna
def. divisibilidad
c. djn ^ djm; entonces dj (an + bm) (propiedad lineal)
djn =)
djm =)
n
m
an
bm
an + bm
an + bm
an + bm
)
=
=
=
=
=
=
=
d c
d c;
d c a
d c; b
d (c a) + d (c; b)
d x+d y
d (x + y)
dj (an + bm)
def. divisibilidad
def. divisibilidad
multiplicando por a ambos lados
multiplicando por b ambos lados
Sumando miembro a miembro
+ y son leyes de composición interna
Prop. distributiva
def. divisibilidad
d. djn () adjan y a 6= 0 (propiedad de multiplicación)
djn
()
()
()
n
an
adjan
=
=
d c
(ad) c
def. divisibilidad
multiplicado ambos lados por a
def. divisibilidad
e. 1jn, es evidente, puesto que n = 1 n
27

28. f. djn ^ djm =) djn + m
djn
djm
=)
=)
=)
=)
=)
n
m
n+m
n+m
djn + m
=
=
=
=
d c
d c0
d (c + c0 )
dz
def. divisibilidad
def. divisibilidad
sumando ambas igualdades
c + c0 = z
def. divisibilidad
g. djn + m ^ djn =) djm
djn + m
djn
2.2
=)
=)
=)
=)
=)
n+m
n
(n + m)
m
djm
n
=
=
=
=
d c
d c00
d (c c00 )
dz 0
def. divisibilidad
def. divisibilidad
restando ambas igualdades
c + c00 = z 0
def. divisibilidad
Máximo Común Divisor
2.2.1 Teorema. El algoritmo de la división. Dados dos enteros cualesquiera n y m; con m > 0; existen los enteros únicos q y r tales que
n = mq + r; 0 r < m
Demostración.
Sea A el conjunto de enteros no negativos dado por
A = fx : x = n
my; y 2 Z; x
0g
Es un conjunto no vacío de enteros no negativos, en virtud del PBO admite
mínimo, que designaremos n mq: Entonces n = mq + r y r
0: Ahora
demostraremos que r < m: Supongamos r m: Entonces 0 r m < r: Pero
r m 2 A ya que r m = n m(q + 1): Por lo tanto r m es un elemento de
A menor que su elemento mínimo r. Esta contradicción demuestra que r < m:
Los números q; r son únicos, ya que si existiesen otros con estas condiciones
q ; ; r; ; entonces mq + r = mq ; + r; ; de donde m jq q ; j = jr; rj : Luego si
jq q ; j > 0; entonces jq ; qj
1; por lo que jr; rj = m jq q ; j
m ( ):
Ahora tenemos que r
0; implica r
0 y así r; r
r; < m luego
r < m
m + r; =) m < r; r: Entonces m < r; r < m; es decir
;
jr
rj < m; lo que constituye una contradicción para ( ) ; lo cual completa la
demostración.
28

29. 2.2.1 De…nición. Un número entero positivo d se denomina divisor común
de los números enteros positivos n1 ; n2 ; n3 ;
; ni si y solo si d es
divisor de n1 ; n2 ; n3 ;
; ni : Puesto que solamente existe un número
…nito de divisores de cualquier entero diferente de cero, solamente
existen un número …nito de divisores comunes de n1 ; n2 ; n3 ;
; ni ;
luego el mayor de los divisores comunes se llama máximo común divisor (mcd) de n1 ; n2 ; n3 ;
; ni ; y se denota mcd (n1 ; n2 ; n3 ;
; ni )
o simplemente (n1 ; n2 ; n3 ;
; ni ) : Si el máximo común divisor es 1
decimos que los números son coprimos.
2.2.2 Teorema. Algoritmo de Euclides. Se dan dos enteros positivos
n y m, tales que m - q. Se escribre r0 = n; r1 = m; y aplicando
repetidamente el algoritmo de la división obteniendo un conjunto de
restos r2 ; r3;
; rn ; rn+1 de…nidos sucesivamente por las relaciones
r0 = r1 q 1 + r2
r1 = r2 q 2 + r3
.
.
.
0 < r2 < r1 ;
0 < r3 < r2 ;
.
.
.
rn
rn
0 < rn < rn
rn+1 = 0
2
1
= rn 1 q n 1 + rn
= rn qn + rn+1
1;
Entonces rn ; es el último resto no nulo de este proceso, es mcd (n; m) ; el
máximo común divisor de n y m:
Demostración.
Existe un momento en que rn+1 = 0 puesto que los ri son decreciente y no
negativos. La última relación, rn 1 = rn qn demuestra que rn jrn 1 : La anterior
a la última prueba que rn jrn 2 : Por inducción vemos que rn divide a cada ri :
En particular rn jr1 = m y rn jr0 = n; luego rn es un divisor común de n y m:
Ahora sea d otro divisor común de n y m: La de…nición de r2 prueba que djr2 :
La relación que le sigue prueba que djr3 : Por inducción, d divide a cada ri luego
djrn : Por lo tanto rn es el mcd requerido.
2.2.3 Teorema. Si d es el máximo común divisor de n y m, entonces existen
los enteros a y b tales que d = mcd (n; m) = an + bm
Demostración.
Partiendo del teorema 2.2.2 tenemos
n = mq1 + r2
m = r2 q 2 + r 3
.
.
.
0 < r2 < r1 ;
0 < r3 < r2 ;
.
.
.
rn
rn
0 < rn < rn
rn+1 = 0
2
1
= rn 1 q n 1 + rn
= rn qn + rn+1
29
1;

30. Al considerar las ecuaciones en el orden propuesto, se obtiene r2 como combinación lineal de n y m :
r2 = n mq1
sustituyendo en la segunda ecuación se obtiene r3 como combinación lineal
de n y m :
r3
r3
= m
= m
r2 q 2
q2 (n
mq1 )
Si reiteramos este procedimiento, entonces en la penúltima ecuación obtenemos rn ; que es el mcd de n y m; como combinación lineal de estos números.
2.2.4 Teorema. El mcd posee las siguientes propiedades:
a. (n; m) = (m; n)
b. (n; (m; s)) = ((n; m) ; s)
c. (cn; cm) = jcj (n; m)
d. (n; 1) = (1; n) = 1
e. Si djn y djm y d > 0; entonces
entonces
n m
g; g
n m
d; d
=
(n;m)
d :
A demás, si (n; m) = g;
= 1:
Demostración.
a. Si d = (n; m), es claro que (n; m) = (m; n) : puesto que independientemente
del orden d dividirá a n, m y podrá expresarse como combinación lineal
de ellos.
b. Si d = (n; (m; s)) ; llamemos d0 = (m; s) ; por el teorema 2.2.3 se tiene que
d0 = mx + sy luego d = an + (mx + sy) b: De aquí se sigue que d =
[an + m (xb)] + s (yb) ; eligiendo a = kx; se tiene d = [n (kx) + m (xb)] +
s (yb) = [nk + mb] x+s (yb) : Finalmente tomando d1 = (n; m) = nk +mb;
se obtiene d = d1 (x) + s (yb) ; por lo tanto d = (d1 ; s) = ((n; m) ; s)
c. Sea d = (n; m) y sea e = (cn; cm) : Queremos demostrar que e = jcj d:
Escribimos d = nx + my; por el teorema 2.2.3. Entonces tenemos cd =
ncx + mcy ( ) : Por lo tanto cdje puesto que cd divide a nc y mc: Además,
la ecuación ( ) prueba que ejcd puesto que ejnc y ejmc: Por lo tanto
jej = jcdj ; ó e = jcj d
30

31. 2.2.5 Teorema. Lema de Euclides. Si njmc y si (n; m) = 1; entonces njc
Demostración. Puesto que (n; m) = 1 podemos escribir 1 = na + mb (por
el teorema 2.2.3). Por consiguiente c = nac + mbc: Pero njnac y njmbc; luego
njc (por teorema 2.1.1.f)
2.2.1
Ecuaciones Lineales Diofánticas.
Una ecuación lineal diofántica es una ecuación de la forma
na + mb = c
donde n; m y c son números enteros y a; b variables que recorren todo Z:
2.2.6 Teorema. Si (n; m) jc entonces la ecuación lineal diofántica na + mb = c
siempre tiene solución entera.
Demostración. Supongamos que la ecuación na + mb = c tiene como
solución a1 y b1 y que d = (n; m) no divide a c y sean a0 y b0 una solución para
na + mb = c:
De esta manera tenemos
na1 + mb1 = c
na0 + mb0 = d
Por el algoritmo de la división tenemos c = qd + r con 0 < r < d puesto que
d no divide a c:
Entonces
na1 + mb1
=
=
=
qd + r
q (na0 + mb0 ) + r
n (qa0 ) + m (qb0 ) + r
y por tanto
n (a1
qa0 ) + m (b1
qb0 ) = r
Lo anterior es una contradicción, puesto que hemos obtenido una combinación lineal de n y m y 0 < r < d; esto contradice que d era la combinación
lineal mínima (es decir, d no era el máximo común divisor). La contradicción
suirgió de suponer que na + mb = c podía tener solución aunque d - c; por lo
que hemos demostrado el teorema.
31

32. 2.2.7 Teorema. La ecuación na + mb = c tiene solución si y sólo si d = (n; m)
divide a c: Además, las soluciones son los números de la forma.
a = a0 +
mt
;
d
nt
d
b = b0
donde a0 y b0 son soluciones particulares y t es cualquier entero.
Ejemplo. Encontrar los valores x y y que satisfaga
243x + 198y = 9 ( )
Primeramente veri…camos que tenga solución, esto es que (243; 198) divida
a 9: Como (243; 198) = 9 ( ) tiene solución.
243x + 198y = 9
27x + 22y = 1 ( )
dividiendo por 9 obtenemos
que es equivalente a ( )
Una solución particular para ( ) es x = 9 y y =
22 ( 11) = 1: Así la soluciones para ( ) son
x = 9 + 22t;
y=
11
En particular para t = 1 tenemos; x = 31; y =
198 ( 38) = 9:
2.3
11; puesto que, 27 (9) +
27t
38 que veri…can 243 (31) +
Mínimo Común Mútiplo
2.3.1 De…nición. Los números enteros positivos n1 ; n2 ; n3 ;
; ni ; tienen un
múltiplo común b si nj jb para j = 1; 2; 3; : : : ; i: (Nótese que existen
múltiplos comunes; por ejemplo, el producto n1 n2 n3
ni )
El menor de los múltiplos comunes positivos recibe el nombre de
mínimo común múltiplo y se denota por [n1 ; n2 ; n3 ;
; ni ] :
2.3.1 Proposición: El mínimo común multiplo cumple con las siguientes
propiedades.
a. njm; si [n; m] = jmj
b. c > 0 implica [cn; cm] = c [n; m]
c. d > 0; djn y djm implica
n m
d; d
=
[n;m]
d
32

33. 2.3.1 Teorema. Si b es cualquier múltiplo común de n1 ; n2 ; n3 ;
; ni ; entonces [n1 ; n2 ; n3 ;
; ni ] jb: Esto equivale a decir que si h denota a
[n1 ; n2 ; n3 ;
; ni ] ; entonces 0; h; 2h 3h; ::: incluyen todos los
múltiplos comunes de n1 ; n2 ; n3 ;
; ni :
Demostración. Sea b cualquier múltiplo común, divídase b entre h. Por el
teorema 2.2.1, existen un cociente q y un residuo r, tales que, b = qh + r; 0
r < h: Debe probarse que r = 0: Si r 6= 0 se argumenta del modo siguiente.
Para cada i = 1; 2; :::; j se sabe que ni jh y ni jb; de modo que ni jr: Así que, r es
un múltiplo común positivo de n1 ; n2 ; n3 ;
; ni contrario al hecho de que h es
el menor positivo de todos los múltiplos comunes. Por tanto debe ser r = 0 y
hjb:
2.3.2 Teorema. Si c > 0, [cn; cm] = c [n; m] : También [n; m] (n; m) = jn mj
Demostración. Recordemos que, si ajb ^ bja =) a = b: Ya que [cn; cm] es
un múltiplo de cn; con mayor razón es múltiplo de c y por tanto, puede escribirse
en la forma ch1 : Denotando [n; m] por h2 ; se observa que njh2 ; mjh2 ; cnjch2 y
cmjch2 ;entonces, ch1 jch2 : De donde h1 jh2 : Por otra parte, cnjch1 ; cmjch1 ; njh1 ; mjh1
y así h2 jh1 : Se concluye que h1 = h2 y así se establece la primera parte del teorema.
Empecemos con el caso especial donde (n; m) = 1: Ahora bien, [n; m] es
un múltiplo de n, digamos cn: Entonces mjcn y (n; m) = 1; así por el teorema
2.2.5, mjn: De aquí que m c; mn cn: Pero nm; siendo un múltiplo común
positivo de n y m, no puede ser menor que el mínimo común múltiplo y, por
tanto, nm = mn = [n; m] :
Regresemos al caso general, donde (n; m) = g > 1; se tiene n ; m = 1: Al
g g
aplicar el resultado del párrafo precedente, se obtiene
n m
;
g g
n m
;
g g
=
n m
g g
Al multiplicarse por g 2 y usando el teorema 2.2.4.e y la proposición 2.3.1,
así como la primera parte del presente teorema, se obtiene [n; m] (n; m) = nm
2.4
Números Primos
2.4.1 De…nición. Un entero n se llama primo si n > 1 y si los únicos divisores
positivos de n son 1 y n: Si n > 1 y no es primo, entonces n se llama
compuesto.
Ejemplos: Los números primos menores que 100 son:
33

34. 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89 y 97.
2.4.1 Teorema. Cada entero n > 1 ó es primo o es producto de primos.
Demostración. Sea n > 1: Supongamos que no es divisible por ningún
primo. En particular, n mismo no puede ser primo pues sería divisible por si
mismo. Como n no es primo, tiene algún divisor positivo d1 distinto de 1 y n;
es decir 1 < d1 < n. Pero d1 no puede ser primo por que dividiría a n: Entonces
existe un d2 que divide a d1 tal que 1 < d2 < d1 < n: Como d2 no puede ser
primo porque divide a n; repetimos el argumento con d2 para obtener d3 tal que
1 < d3 < d2 < d1 < n: Como d3 no puede ser primo existe un d4 que divide a d3
y así sucesivamente. Esto lleva a una contradicción pues no es posible continuar
inde…nidamente este proceso ya que entre 1 y n sólo hay un número …nito de
términos. Por tanto, n debe ser divisible entre algún primo.
2.4.2 Teorema. (Euclides)Existen in…nitos números primos.
Demostración. Sea n un número natural arbitrario. Sabemos que n y
n + 1 son números enteros positivos consecutivos, deben ser coprimos. Entonces
el número N2 = n(n+1) debe tener, como mínimo, dos factores primos distintos.
Análogamente, los números enteros n(n + 1) y n(n + 1) + 1; son consecutivos y,
por tanto, coprimos . En consecuencia, el número N3 = n(n + 1) [n(n + 1) + 1]
debe tener, como mínimo, tres factores primos diferentes. Este proceso puede
ser continuado inde…nidamente, así que el conjunto de los números primos es
in…nito.
2.4.3 Si un primo p no divide a n; entonces (p; n) = 1
Demostración. Sea d = (p; n) : Entonces djp; como p es primo se tiene que
ó d = 1 ó d = p: Pero djn luego por hipótesis debe ser d 6= p: En consecuencia
d = 1:
2.4.4 Teorema. Si un primo p divide a nm; entonces pjn ó pjm: En general,
si un primo p divide a un producto n1 n2 n3
ni ; entonces p divide a uno,
por lo menos, de los factores.
Demostración. Supongamos que pjnm y p - n: Veremos que pjm: Por el
teorema 2.4.3, (p; n) = 1; luego por el lema de Euclides (teorema 2.2.5), pjm:
La generalización para el producto n1 n2 n3
ni queda a modo de ejercicio.
34

35. 2.4.5 Teorema. Existen arbitrariamente grandes vacíos en la serie de los
primos. Dicho de otra manera, dado cualquier entero k; existen k enteros
compuestos consecutivos.
Demostración. Recordemos el factorial de un número. Sea k un entero el
factorial de k ó k! es: k! = 1 2 3
k
Considérense los enteros
(k + 1)! + 2; (k + 1)! + 3;
; (k + 1)! + k; (k + 1)! + k + 1:
Cada uno de estos es compuesto porque j divide a (k + 1)!+j si 2
j
k+1:
Los números primos están espaciados irregularmente, tal y como lo sugiere
el último teorema. Si denotamos el número de primos que no excede a x por
(x) ; podría preguntarse acerca de la naturaleza de esta función. Uno de los
resultados más impresionantes de la teoría avanzada de números, es
(x) log x
=1
x
Este resultado notable se llama el teorema del número primo, y su
demostración se la debemos a J. Hadamard y C.J de la Vallée Poussin quienes
independientemente lo demostraron en 1896.
lim
x !1
2.5
El teorema Fundamental de la Aritmética.
2.5.1 Teorema fundamental de la aritmética. Cada entero n > 1 se puede
representar como producto de factores primos en forma única, salvo el
orden de los factores.
Demostración. Usaremos la inducción sobre n: El teorema es verdadero
para n = 2: Suponemos, entonces, que es verdadero para todo entero mayor que
1 y menor que n: Probaremos que es verdadero también para n: Si n es primo
no hay nada que probar. Por lo tanto suponemos que n es compuesto y que
admite dos descomposiciones, que son
n = p1 p2
pi = q 1 q 2
qj
( )
Queremos demostrar que i = j y que cada p es igual a algún q: Dado que p1
divide al producto q1 q2
qj debe dividir a uno, por lo menos, de los factores.
Ordenaremos los q1 q2
qj de forma que p1 jq1 : Entonces p1 = q1 ya que p1 y q1
son primos. En ( ) podemos dividir por p1 obteniendo
n
= p2
p1
pi = q 2
35
qj

36. n
Si i > 1 ó j > 1; entonces 1 < p1 < n: La hipótesis de inducción nos dice
n
que las dos descomposiciones de p1 son idénticas, prescindiendo del orden de los
factores. Por consiguiente i = j las descomposiciones de ( ) son también idénticas, si prescindimos del orden de los factores. Esto completa la demostración.
En la descomposición de un número n; un cierto primo p puede aparecer más
de una vez. Si los factores primos distintos de n son p1; p2 pr y si pi aparece i
veces como factor, escribiremos
pj j
n = p1 1
o más compactamente
n=
j
Y
pi i
i=1
pj j , entonces todos
Si la descomposición en factores primos de n es p1 1
los divisores de n son los números de la forma
d = p 1 1 p2 2
pj j ; 0
1
1; 0
2
2; : : : ; 0
j
j
Por ejemplo.
15925 = 52 72 13
1800 = 23 32 52
2.5.1 De…nición. Por [x] denotamos la función parte entera de x. Se de…ne
para todos los valores reales de x y representa el entero mayor, no
superior a x:
[x] : R ! Z
Ejemplos.
[5] = 5;
[2:3] = 2;
[ 3:25] =
4
2.5.2 Teorema. El exponente, con el que un número primo p …gura en el
producto n!; es igual a
n
n
n
+ 2 + 3 +
p
p
p
36
+
n
pi

37. Demostración. En efecto, el número de factores en el producto n! que son
h i
h i
n
múltiplos de p; es igual a n ; entre ellos, múltiplos de p2 hay p2 ; entre estos
p
h i
n
últimos, múltiplos de p3 hay p3 ; etc. La suma de los números indicados da
precisamente el exponente buscado, puesto que cada factor en el producto n!
que sea múltiplo de pm ; pero no de pm+1 ; se cuenta del modo indicado m veces,
como múltiplo de p; p2 ; p3 ; : : : y, …nalmente, de pm :
Ejemplo. El exponente con el que el número 5 …gura en el producto 35! es
igual a
35
35
+
=7+1=8
5
25
2.6
Ejercicios Resueltos sobre divisibilidad y factores primos.
1. Probar que cualquiera que sea n 2 N
11j32n+2 + 26n+1
Solución. Procederemos haciendo inducción en n:
Para n = 1; 32(1)+2 + 26(1)+1 = 209 = 19 11
2k+2
Hipótesis inductiva 11j3
+26k+1
2(k+1)+2
Tésis de inducción 11j3
+26(k+1)+1
32(k+1)+2 +26(k+1)+1
32k+2 32 +26k+1 26
32k+2 32 +26k+1 26 +0
32k+2 32 +26k+1 26 +32 26k+1 32 26k+1
32k+2 32 +32 26k+1 + 26k+1 26 32 26k+1
32 32k+2 + 26k+1 +26k+1 26 32
32 32k+2 +26k+1 +26k+1 55
2(k+1)+2
) 11j3
+26(k+1)+1
reescribiendo la tésis
elemento neutro de (Z; +)
0 = 32 26k+1
32 26k+1
Asociatividad
Prop. distributiva
2
11j3 32k+2 + 26k+1 hipótesis y 55 = 11 5
2
6k+1
11j3 32k+2 + 26k+1 ^11j2
55
luego divide a suma
2. Probar que 34n+2 +2 43n+1 es múltiplo de 17
Solución. Procederemos haciendo inducción en n:
Para n = 1; 34(1)+2 + 2 43(1)+1 = 1241 = 73 17 Múltiplo de 17
Hipótesis inductiva 17j 34k+2 + 2 43k+1
Tesis de inducción 17j 34(k+1)+2 + 2 43(k+1)+1
37

38. 34(k+1)+2 +2 43(k+1)+1 = 34k+2 34 +2 43k+1 43 (reescribiendo la tesis)
34k+2 34 +2 43k+1 43 +0 elemento neutro de (Z; +) ; 0 = 2 34 43k+1
2 34 43k+1
34k+2 34 + 2 34 43k+1 + 2 43k+1 43
2 34 43k+1
3k+1
3k+1
4
4
4k+2
3
3 3
+2 4
+2 4
4 3
(Prop. asociativa y distributiva)
34 34k+2 +2 43k+1 +2 43k+1 ( 17) (17 divide a ambos sumandos, luego 17 divide a la suma.)
) 17j 34(k+1)+2 + 2 43(k+1)+1
3. Probar que, si 2n
1 es primo, entonces n es primo.
Demostración.
Procederemos por contrarrecíproco, esto es:
Si n es compuesto, entonces 2n
1 es compuesto.
Como n es compuesto entonces n = n0 p; además 2n
podemos factorizar como sigue:
2n 1n = 2(n0 p)
esto último tenemos
n0
(2p )
n0
(1p )
n0
n0
(1p )
1(n0 p) = (2p )
h
n
1p ) (2p ) 0
= (2p
1
n0
n0
(1p )
= (2p )
n0 1
+ (2p )
1 = 2n
n0 2
(1p ) + (2p )
luego el factor (2p 1p ) > 1; de aquí se deduce que 2n
porque admite dicha descomposición.
1n ; luego
y apartir de
2
(1p ) +
n0 1
+ (2p ) + (1p )
1 es compuesto
4. Sean a; b; c tres números enteros positivos tales que 2a + 2b = 2c : Demostrar
que a = b:
Demostración. Tómese 2c y apliquemos la de…nición de potencia así:
2c = (2 2 2
{z
|
c veces
Como el factor (2 2 2
|
{z
k veces
2c = (2 2 2
|
{z
c veces
0
2) = 2 (2 2 2
}
|
{z
k veces
2)
}
2) es par, entonces puede expresarse así:
}
k veces
z
}|
B (2 2 2
B
2) = 2 B
}
2
@
{
2)
k veces
z
}|
(2 2 2
+
2
1
{
k veces
k veces
}|
{ z
}|
{
2) C z
C
2)+(2 2 2
2)
C = (2 2 2
A
luego, queda demostrado que la única forma en que se puede escribir una
potencia de dos como suma de potencias de dos, es que el exponente de los
sumandos sea el mismo, de aquí que a = b: En general, este resultado puede
escribirse como: 2c 1 + 2c 1 = 2c
Por ejemplo. 24 + 24 = 16 + 16 = 32 = 25
38
i

39. 5. Probar que
21n+4
14n+3
es irreducible para todo n:
Solución. Si 21n+4 es irreducible, esto signi…ca que mcd 21n + 4 y 14n + 3
14n+3
es1:
Procediendo según teorema 2.2.2 tenemos
21n + 4
14n + 3
=
=
(14n + 3) (1) + (7n + 1)
(7n + 1) (2) + 1
Así el último resto distinto de cero es 1; por tanto (21n + 4; 14n + 3) = 1 y
21n+4
de aquí se sigue que 14n+3 sea irreducible.
6. Determinar el máximo común divisor de 210 y 495, y expresarlo como una
combinación lineal de ambos.
Solución. Usando el algoritmo de Euclides.
495
210
75
60
=
=
=
=
2 210 + 75
2 75 + 60
1 60 + 15
15 4 + 0
Entonces el último resto distinto de cero es el mcd; (210; 495) = 15:
Ahora:
15
60
75
=
=
=
75 (1 60)
210 (2 75)
495 (2 210)
A partir de esto podemos escribir las siguientes igualdades:
15
=
=
=
=
=
=
[495 (2 210)] [210 (2 75)]
495 + ( 2 210 210) + 2 75
495 210 (2 + 1) + 2 (495 (2 210))
495 3 210 + 2 495 4 210
(495 + 2 495) + ( 3 210 4 210)
3 (495) 7 (210)
7. ¿Existen enteros a; b tal que sumados den 500 y (a; b) = 7 ?
Solución. No. Si (a; b) = 7; entonces 7ja y 7jb; de aquí que 7ja + b: Pero
7 - 500
39

40. 8. ¿Los números n y n + 1 tiene algún divisor común distinto de 1?
Solución. No. Algún divisor común de n y n+1 debe dividir a (n + 1) n =
1: Así dos números consecutivos siempre son coprimos.
9. Demuestre que 4n + n4 no es primo si n > 1
Demostración. Si n es par, es claro que 4n + n4 es par y mayor que 2,
luego no es primo.
Para el caso n impar utilizamos la identidad de Sophie Germain.
x4 + y 4 = x2 + y 2 +
p
2
2xy
x2 + y 2
p
2
2xy
p
4
Entonces, si n = 2k + 1; 4n = 42k+1 = 42k 4 = 2 2 2k ; así que podemos
escribir
p
4
4n + n4 = 2 2 2k + n4 = 2n + n2 + 2k+1 n 2n + n2 2k+1 n
Comprobemos …nalmente que el menor de los dos factores anteriores no es
igual a 1.
2
2n + n2 2k+1 n = 22k+1 + (2k + 1)
2k+1 (2k + 1) = 2 22k
2
2
22k (2k + 1) + (2k + 1) = 2k
(2k + 1)
2
+ 22k
5 pues k > 0:
10. Hallar todos los números naturales n tales que
n2 + 1; n2 + 3; n2 + 7; n2 + 9; n2 + 15
sean todos primos.
Solución.
N 1 = n2 + 1 N 2 = n2 + 3 N 3 = n2 + 7 N 4 = n2 + 9 N
Veamos que el único natural válido es n = 2
Claramente n = 1 no es solución, pues sólo sería primo N1 :
5
= n2 + 15
Si n = 2; N1 = 5; N2 = 7; N3 = 11; N4 = 13; N5 = 19 que son todos primos.
Evidentemente, si los cinco números primos han de ser primos n ha de ser
par, pues todos los primos mayores que dos son impares.
Examinemos los números pares n > 2 elevados al cuadrado:
Si n acaba en 2, n2 acaba en 4 con lo que N1 acaba en 5; siendo múltiplo
de 5. N1 no es primo.
Si n acaba en 4, n2 acaba en 6 con lo que N4 acaba en 5, siendo múltiplo
de 5. N4 no es primo
Si n acaba en 6, n2 acaba en 6 con lo N4 acaba en 5, siendo múltiplo de
5. N4 no es primo.
40

41. Si n acaba en 8, n2 acaba en 4 con lo que N1 acaba en 5, siendo múltiplo
de 5. N1 no es primo
Si n acaba en 0, n2 acaba en 0 con lo que N5 acaba en 5, siendo múltiplo
de 5. N5 no es primo.
Por tanto, sea cual sea el valor par de n > 2 siempre encontraremos al menos
uno de los 5 números múltiplo de 5.
11. (divisibilidad por 2) El entero N es divisible por 2 si el dígito de las unidades
es par.
Dicho en otras palabras para un entero de cuatro cifras N = abcd es
divisible por 2 si d es divisible por 2;es decir
2jd =) 2jN
Solución.
Aunque la prueba la haremos para números de 4 cifras, tiene validez general.
Escribamos el númeroN = abcd en la forma:
N = 1000a + 100b + 10c + d
Es claro que 2 es divisor de 10; 100 y 1000, por teorema 2.1.1.c se tiene que
2j (1000a + 100b + 10c) y por hipótesis 2jd, entonces por el mismo resultado se
sigue que, 2j (1000a + 100b + 10c + d) ; es decir 2jN
12. Encontrar todos los divisores de 756:
Solución. Del teorema 2.5.1 tenemos que 756 = 22 33 7; de aquí tenemos
que los divisores sean:
20
20
20
20
20
30
30
31
31
32
70 = 1
71 = 7
70 = 3
7 = 21
70 = 9
20
20
20
21
21
32
33
33
30
30
7 = 63
70 = 27
7 = 189
70 = 2
7 = 14
21
21
21
21
21
31
31
32
32
33
41
70 = 6
71 = 42
70 = 18
7 = 126
70 = 54
21
22
22
22
22
33
30
30
31
31
7 = 378
70 = 4
7 = 28
70 = 12
7 = 84
22
22
22
22
32
32
33
33
70 = 36
7 = 252
70 = 108
7 = 756

42. 2.7
¿
Dónde están los enteros y los primos?
Los números primos y la naturaleza.
No solo los seres humanos utilizamos los números primos para protegernos,
existe una especie de cigarra que se vio obligada a protegerse de un cierto
parásito, y para ello no encontró mejor herramienta que los números primos.
El siguiente ejemplo nos lo presenta Simon Singh en su libro “El enigma de
Fermat”
Las cigarras periódicas, muy especialmente la Magicicada septendecim, tiene
el ciclo vital más largo de todos los insectos. Su único ciclo vital empieza bajo
tierra, donde las ninfas absorben pacientemente los zumos de las raíces de los
árboles. Entonces, después de 17 años de esperar, las cigarras adultas emergen
de la tierra en gran número e invaden temporalmente nuestro paisaje. Unas
semanas después se aparean, ponen los huevos y se mueren. La cuestión que
inquietaba a los zoólogos era: ¿por qué el ciclo vital de las cigarras es tan largo?
¿Qué quiere decir que el ciclo vital sea un número primo de años? Otra especie,
la Magicicada tredecim, aparece cada 13 años, lo que indica que los ciclos vitales
que son números primos dan algún tipo de ventaja para la conservación de la
vida.
Según una teoría, la cigarra tiene un parásito que también recorre un ciclo
vital, y que la cigarra está intentando evitar. Si el parásito tiene un ciclo vital,
pongamos de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo de vital que sea
divisible por 2, si no el parásito y la cigarra coincidirán regularmente. De esta
manera parecida, si el parásito tiene un ciclo vital de tres años, entonces la
cigarra querrá evitar un ciclo vital que sea divisible por 3, si no el parásito y la
cigarra volverán a coincidir. Al …n, si quiere evitar encontrarse con su parásito,
la mejor estrategia de la cigarra es darse un ciclo de vida largo, que dure un
número primo de años. Como nada dividirá al 17, la Magicicada septendecim
42

43. raramente se encontrará con su parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años
solo se encontrara cada 34, y si tiene un ciclo vital más largo, de 16 años por
ejemplo, solo se encontrarán cada 272 años.
El parásito, en su lucha por sobrevivir, solo tiene dos ciclos vitales que incrementan las frecuencias de las coincidencias: El ciclo anual o el mismo de 17
años que la cigarra. Ahora bien, es poco probable que el parásito pueda sobrevivir y reaparecer 17 años seguidos, porque durante las primeras 16 apariciones
no habrá cigarras a las cuales parasitar. De otro modo, si quieren conseguir el
ciclo de 17 años, las generaciones de parásitos tendrán que evolucionar primero
durante un ciclo vital de 16 años. Esto signi…caría que, en algún estadio evolutivo de su vida, el parásito y la cigarra no coincidirían durante ¡
272 años! En
cualquier caso el largo ciclo vital de las cigarras y el número primo de años, las
protege.
¡
Esto podría explicar por qué el supuesto parásito no ha sido encontrado
nunca! En la lucha por coincidir con la cigarra, el parásito probablemente ha
continuado alargando su ciclo vital hasta conseguir traspasar la barrera de los
16 años. Entonces dejará de coincidir durante 272 años; mientras tanto, su falta
de coincidencia con la cigarra lo habrá llevado a la extinción. El resultado es
una cigarra con el ciclo vital de 17 años; ciclo que ya no le hace falta porque su
parásito ya no existe.
Algo sobre la distribución de los primos.
Cuenta la leyenda que el matemático y físico polaco Stanislaw Marcin Ulam
(1909-1981) (quien trabajó en el proyecto Manhattan), asistía a una aburrida
conferencia en 1963, entonces garabateando en una hoja de papel, dispuso la
serie de números naturales en forma de una espiral; empezando con el 1, a la
derecha el 2, hacia arriba el 3, a la izquierda de este el 4, más a la izquierda el
5, luego hacia abajo el 6, etc. Como se muestra en la …gura.
43

44. Posteriormente destacó en este arreglo a los números primos y observó cierto
patrón, que cumplían los primos en la espiral, estos tienden a aparecer en diagonales alternas y en las que no hay primos están los números pares.
44

45. 2.8
Ejercicios Propuestos
1. Determínese cuáles de las siguientes a…rmaciones son verdaderas y cuáles
falsa.
a. Si un número es divisible entre 6, es divisible entre 3___
b. Si un número es divisible entre 3, es divisible entre 6___
c. Si un número es divisible entre 2 y divisible entre 3, es divisible entre 6___
d. Si un entero no es divisible entre entre 6, no es divisible entre 9___
e. Si un número es divisible entre 6, no es divisible entre 9___
2. Demuéstrese que la suma de los cubos de tres números naturales sucesivos
es divisible por 9.
3. Pruébese que la suma 11n+2 + 122n+1 es divisible por 133 cualquiera que sea
el número entero n 0
4. Pruébese las siguientes a…rmaciones
i. 6j2n3 + 3n2 + n
ii. 169j33n+3
iii. 72n+1
26n
48n
27
7 es divisible por 288
iv. 3 52n+1 23n+1 es divisible por 17
5. Demuéstrese la regla de divisibilidad por 3. El entero N es divisible por 3 si
la suma de sus dígitos es divisible por 3. Dicho de otra manera para un
entero de cuatro cifras
N = abcd es divisible por 3; si a + b + c + d es divisible por 3, es decir
3j(a + b + c + d) ) 3jN
6. Establézcase una demostración o un contraejemplo para cada una de las
a…rmaciones siguientes.
i. Si an jbn =) ajb
ii. Si nn jmm =) njm
iii. Si an j2bn y n > 1 =) ajb
7. Pruébese los incisos d y e del teorema 2.2.4.
8. Pruébese la proposición 2.3.1
45

46. 9. Pruébese el teorema 2.2.7
10. Encuéntrese el mcd de 576 y 73 y números x y y tales que 576x + 73y =
(576; 73)
11. Hállese dos números sabiendo que su máximo común divisor es 120 y la
diferencia de sus cuadrados 345600
12. Hállese dos números naturales sabiendo que su producto es 3024 y su mínimo común múltiplo 504.
13. Determínese dos números naturales cuyo máximo común divisor es 18, sabiendo que uno de ellos tiene 21 divisores y el otro tiene 10.
14. Si dos números son coprimos y su mínimo común múltiplo es 22829, hállese
dichos números.
15. Pruébese que no existen los números x y y que satisfagan x + y = 100 y
(x; y) = 3
16. Encuéntrese los valores de x y y (si existen) que satisfagan.
i. 71x
50y = 1
ii. 43x + 64y = 1
iii. 93x
81y = 3
17. Dados dos números primos distintos p y q, encuéntrese el número de diferentes divisores positivos de:
a. pq
b. p2 q
c. p2 q 2
d. pn q m
18. Encuéntrese el menor número natural n tal que n! es divisible por 990
19. Pruébese que si un número tiene un número impar de divisores, entonces
este es un cuadrado perfecto.
p
20. Probar que si n es compuesto tiene un divisor primo que satisface p
n
46

47. 3
Números de Fibonacci
Es como preguntar por qué la novena sinfonía de Beethoven es bella. Si no ve
que es así, nadie se lo puede explicar. Yo sé que los números son bellos. Si no
lo son nada lo es.
Paul Erdös.
El conjunto de los números de Fibonacci es muy particular por encontrarse
vinculado a muchas de las actividades del hombre, sobre todo aquellas que
implican armonía. En este capítulo estudiaremos las principales caraterísticas
aritméticas de estos números como: la divisibilidad, máximo común divisor,
paridad entre otras. También mostraremos algunas de sus aplicaciones.
3.1
La Sucesión de Fibonacci
Existe un conjunto de números muy particular y con mucha belleza, estos
números son conocidos como números de Fibonacci en honor a su descubridor Leonardo de Pisa, alias Fibonacci (hijo de Bonacci). Leonardo hizo muchos
aportes notables a las matemáticas especialmente en la aritmética, alrededor del
año 1202 escribió el libro sobre el ábaco. Este era una inmensa obra compiladora
de los conocimientos matemáticos de los pueblos que vivían en las costas del
Mediterráneo. En este libro se encuentra un problema que reveló el canon de la
naturaleza:
“¿Cuántas parejas de conejos nacen, en el transcurso de un año, de una
pareja inicial?”
Probablemete alguien observó la naturaleza reproductoria de los conejos y
obtuvo las siguientes premisas: Cada pareja produce otra al cabo de un mes y
una pareja inicial de conejos puede parir a los dos meses de haber nacido. De
esto y con el supuesto de un área cercada, podemos deducir que:
A partir de una pareja de conejos bebés en el primer y segundo mes tendríamos un par de conejos, pues la hembra será adulta hasta el segundo mes,
donde podrá reproducirse; tendría un par de bebés en el tercer mes, así serán
dos pares de conejos, luego en el cuarto mes los bebés habrán crecido y reproducido y tendremos tres parejas de conejos; los originales y sus dos crías y las
primeras crías de estos. Siguiendo este razonamiento encontramos que para el
duodécimo mes tendremos 377 parejas de conejos.
Así encontramos un conjunto de números enteros muy particulares estos son:
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34 : : : esta se conoce como sucesión de Fibonacci donde cada
término es la suma de los dos anteriores, así esta es una sucesión recurrente.
47

48. Pasemos ahora de los conejos a los números y consideremos la sucesión
numérica
3.1.1 De…nición. La sucesión (vn ) ; llamada de Fibonacci, cuyos términos son
1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34 : : : y en la cual cada término es la suma de los dos
inmediatos anteriores, está de…nida por
vn = vn
1
+ vn
; con v1 = v2 = 1
2
Los números de Fibonacci poseen una serie de propiedades interesantes e
importantes, las cuales veremos en este capítulo.
Enpecemos calculando la suma de los n primeros números de Fibonacci. Así
podemos enunciar el teorema siguiente
3.1.1 Teorema. La suma de los primeros n números de Fibonacci esta dada
por
n
X
vi = v1 + v2 +
+ vn = vn+2 1
i=1
Demostración. Claramente, tenemos de la de…nición de la sucesión de
Fibonacci que
v1
v2
=
=
.
.
.
.
.
.
vn
vn
1
v3
v4
=
=
vn+1
vn+2
v2
v3
.
.
.
vn
vn+1
Sumando miembro a miembro estas igualdades, encontramos
v1 + v2 +
+ vn = v3
v1 + v2 +
Por tanto,
n
X
v2 + v4
+ vn = vn+2
vi = v1 + v2 +
v3
1
+ vn+1
vn + vn+2
vn+1
(recordando que v2 = 1)
+ vn = vn+2
1
i=1
Hemos de…nido los números de Fibonacci mediante la ecuación recurrente,
es decir, empleando la inducción según el índice. Pero resulta que todo número
de Fibonacci puede de…nirse de un modo más directo, esto es, como función de
su índice.
48

49. Con este …n, observemos el comportamiento de las distintas sucesiones v1 ; v2 ; : : : ; vn ; : : :
que satisfacen la ecuación
vn = vn
1
+ vn
(1)
2
Diremos que todas estas sucesiones son soluciones de la ecuación (1) : De
aquí en adelante indicaremos por V; V 0 y V 00 las sucesiones
v1 ; v2 ; v3; : : :
0
0
0
v1 ; v2 ; v3; : : :
00 00 00
v1 ; v2 ; v3; : : :
3.1.1 Lema. Si V es una solución de la ecuación (1) y c es una constante, también la sucesión cV (es decir, la sucesión cv1 ; cv2 ; cv3; : : :) es una solución
de esta ecuación.
Demostración. Multiplicando por c ambos miembros de la igualdad
vn = vn
1
+ vn
2
obtenemos
cvn = cvn
1
+ cvn
2
lo que prueba el lema.
3.1.2 Lema. Si las sucesiones V 0 y V 00 son soluciones de la ecuación (1) ;
0
00 0
00 0
00
También la suma V 0 +V 00 (esto es, v1 + v1 ; v2 + v2 ; v3 + v3 : : :) es solución
de esta ecuación.
Demostración. Por hipótesis, tenemos que
0
0
vn = vn
1
0
+ vn
00
00
vn = vn
y
2
1
00
+ vn
2
Sumando estas igualdades miembro a miembro, encontramos
0
00
0
vn + vn = vn
1
00
+ vn
1
0
+ vn
2
00
+ vn
2
la última igualdad prueba el lema.
Consideremos ahora V 0 y V 00 dos soluciones no proporcionales de la ecuación
(1) ( es decir, dos soluciones de la ecuación (1) tales que cualquiera que sea la
v0
constante c habrá un número n para el que vn 6= c).
00
n
49

50. 3.1.1 Proposicion. Toda sucesión V; solución de la ecuación (1) ; puede ser
representada así
V = c1 V 0 + c2 V 00
(2)
donde c1 y c2 son constantes. A la ecuación (2) se estila llamar solución
general de la ecuación (1) :
Probaremos primero que siendo V 0 y V 00 dos soluciones no proporcionales
de la ecuación (1) ; se tiene
0
0
v1
v2
00 6= v 00
v1
2
(3)
(La no proporcionalidad es visible ya en los primeros términos de las sucesiones V 0 y V 00 )
Demostración (3). Supongamos que para dos soluciones no proporcionales
V 0 y V 00 de la ecuación (1) se tiene
0
0
v2
v1
= 00
00
v1
v2
Formemos la siguiente proporción
0
0
0
v1 + v2
v2
= 00
00
00
v1 + v2
v2
recordando que V 0 y V
00
son soluciones de la ecuación (1) ;
0
0
v3
v2
= 00
00
v3
v2
Análogamente comprobamos (¡
haciendo inducción en n !) que
0
0
v3
v4
00 = v 00 =
v3
4
Si esto ocurre, se tiene que V 0 y V
luego (3) es verdadera.
=
00
0
vn
=
00
vn
son proporcionales lo que es absurdo,
Tomemos ahora una sucesión V; solución de la ecuación (1) : Según hemos
visto ya al inicio de este apartado, esta sucesión queda perfectamente determinada si se indican sus dos primeros términos v1 y v2 :
Busquemos los valores de c1 y c2 de modo que sea
0
00
c1 v1 + c2 v2
0
00
c1 v1 + c2 v2
= v1
= v2
50
(4)

51. La suma c1 V 0 + c2 V 00 coincidirá con V , esto lo garantiza los lemas 3:1:1 y
3:1:2: El sistema de ecuaciones (4) tiene solución respecto a c1 y c2 en virtud de
la proposición 3.1.1, para cualesquiera que sean los números v1 y v2 :
00
v1 v2
0 00
v1 v2
c1 =
00
v2 v1
00 0
v1 v2
y
c2 =
0
v1 v2
0 00
v1 v2
0
v2 v1
00 0
v1 v2
Sustituyendo en (2) los valores obtenidos para c1 y c2 encontramos la representación requerida para la sucesión V:
Es decir, para describir todas las soluciones de la ecuación (1) basta encontrar dos soluciones no proporcionales de la misma. Encontremos estas soluciones
entre las progresiones geométricas. De acuerdo al lema 3:1:1, basta considerar
las progresiones cuyos primeros términos son 1. Tomemos la progresión
1; x; x2 ; : : :
Para que sea una solución de la ecuación (1) ; es su…ciente que para todo n
se cumpla la igualdad
xn
dividiendo por xn
2
2
+ xn
1
= xn
;
1 + x = x2
(5)
Las raíces de esta ecuación, es decir, los números
razones buscadas de las progresiones.
p
1+ 5
2
y
1
p
2
5
; serán las
Llamémoslas por y ; respectivamente. Los números y ; como raíces
de la ecuación (5) ; satisfacen las relaciones 1 + = 2 , 1 + = 2 y
= 1:
Así hemos encontrado dos progresiones geométricas, soluciones ambas de
(1) : Por eso, toda sucesión del tipo
c1 + c2 ; c1 + c2 ; c1
2
+ c2
2
;:::
(6)
Son soluciones de la ecuación (1) : Además las progresiones encontradas
tienen distintas razones y, por ende, no son proporcionales, esto es, la fórmula
(6) debe coincidir con la sucesión de Fibonacci.
Para ello, como hemos explicado, hay que determinar c1 y c2 de las ecuaciones
c1 + c2 = v1
y c1 + c2 = v2 ;
Es decir, del sistema
c1 + c2
c1
p
1+ 2 5
2
+ c2
51
1
p
2
2
=
5
1
=
1

52. Resolviéndolo, encontramos
p
1+ 25
p
c1 =
225
y
1
c2 =
p !
2
5
p
2
2 5
de manera que
vn
=
=
n 1
c1
p
1+ 2 5
p
225
p
2
1+ 5
2
es decir,
p
1+ 2 5
2
vn =
n 1
+ c2
p
2
1 p 5
225
n 1
n
p
2
1
p
2
5
1
p
2
5
n 1
2
n
2
5
Esta última expresión lleva el nombre de fórmula de Binet en memoria del
matemático que la encontró (Jacques Philippe Marie Binet a mediados del siglo
XIX).
3.1.2 Teorema. El número de Fibonacci vn es el entero más próximo al
n
número p5 , o sea, es el entero más próximo al n-ésimo término an de la
2
progresión geométrica cuyo primer término es p5 y cuya razón es :
2
Demostración. Basta demostrar que el valor absoluto de la diferencia entre
1
vn y an es siempre menor que 2 : Esto es
n
n
jvn
an j =
p
2
n
n
p
2
5
=
5
n
p
2
5
n
n
j j
= p
2
5
n
Puesto que = 0:618033 : : : ; se tiene j j < 1; es decir j j < 1 para todo
p
n
n; con mayor razón jpj5 < 1 ya que 2 5 > 2: lo que prueba el teorema.
2
2
Por ejemplo, calculemos para n = 13
13
p =
2
5
p
1+ 2 5
2
p
2
5
13
=
521:0019
= 232:9957
2: 236 1
El número entero más próximo a 232:9957 es 233 que corresponde a v13 en
la sucesión de Fibonacci.
52

53. 3.2
Propiedades Aritméticas de los Números de Fibonacci.
Estudiaremos algunas propiedades sobre la divisibilidad, máximo común divisor
y otras caracterizaciones aritméticas de los números de Fibonacci.
3.2.1 Lema. Probar la válidez de la siguiente fórmula para los número de
Fibonacci
vn+m = vn 1 vm + vn vm+1
3.2.1 Teorema. Si n es divisible por m; también vn es divisible por vm :
Demostración. Supongamos que n es divisible por m; esto es, n = mk:
Haremos nuestra demostración haciendo inducción en k:
Para k = 1 se tiene n = m y es evidente que vn es divisible por vm : Supongamos que vn=mk es divisible por vm y consideremos vm(k+1) : Pero vm(k+1) =
vmk+m ; en virtud del lema 3.2.1
vm(k+1) = vmk+m = v(mk)
1 vm
+ vmk vm+1
Es claro que vm divide el primer sumando del tercer miembro. El segundo
sumando es múltiplo de vmk ; esto es, también es divisible por vm según la
hipótesis inductiva. De aquí se deduce que la suma de estos dos sumando, o
sea, vm(k+1) ; es divisible por vm : Que era lo que queriamos demostrar.
Por ejemplo, tomemos m = 5 y n = 15; es claro que mjn: Por otra parte
los números vm = v5 = 5 y vn = v15 = 610; también es claro que vm jvn : Puesto
que v15 = v5 122:
3.2.2 Teorema. Los números de Fibonacci consecutivos son coprimos.
Demostración. Supongamos, en contra de la a…rmación que vn y vn+1
tienen un divisor común d > 1: La diferencia vn+1 vn es divisible por d: Pero
como vn+1 vn = vn 1 ; resulta que d divide también vn 1 : Análogamente se
demuestra (¡
haciendo inducción!) que d divide vn 2 ; vn 3 ; : : : ; etc: y …nalmente
a v1 : Pero v1 = 1 y no puede ser divisible por d > 1: Por tanto los número vn y
vn+1 son coprimos.
Ejemplos
mcd (144; 233) = 1
mcd (21; 34) = 1
Observemos los siguientes casos
53

54. (1; 2) = 1; (2; 8) = 2; (3; 21) = 3; (5; 55) = 5
Cabe hacernos la siguiente pregunta, ¿El máximo común divisor de dos
números no consecutivos de Fibonacci, es otro número de Fibonacci?
3.2.3 Teorema. Para los números de Fibonacci, tiene lugar la igualdad siguiente
(vm ; vn ) = v(m;n)
Esto es, el máximo común divisor de dos números de Fibonacci es el número
de Fibonacci que corresponde al mcd de los índices de los números dados.
Demostración. Supongamos que m > n y apliquemos el algoritmo de
Euclides a los números m y n:
m = nq0 + r1
n = r 1 q 1 + r2
r 1 = r 2 q 2 + r3
.
.
.
rt
2
donde
donde
donde
.
.
.
= rt 1 q t 1 + rt
rt 1 = r t q t
0
0
0
donde 0
r1 < n
r2 < r 1
r3 < r 2
.
.
.
rt < r t
1
Luego por teorema 2.2.2 resulta que rt es el máximo común divisor de m y
n: Puesto que m = nq0 + r1 ; resulta que
(vm ; vn ) = (vnq0 +r1 ; vn )
esto es, por el lema 3.2.1,
(vm ; vn ) = (vnq0
r1 vr1
+ vnq1 vr1 +1 ; vn )
recordando que (a; b) = (a + c; b) ; podemos escribir
(vm ; vn ) = (vnq0
r1 vr1 ; vn )
de igual forma teniendo presente que (a; bc) = (a; b) ; se sigue
(vm ; vn ) = (vr1 ; vn )
Análogamente podemos escribir que
(vr1 ; vn )
(vr2 ; vr1 )
.
.
.
vrt 1 ; vrt
2
=
=
.
.
.
(vr2 ; vr1 )
(vr3 ; vr2 )
.
.
.
=
vrt ; vrt
54
1

55. Comparando estas igualdades, encontramos
(vm ; vn ) = vrt ; vrt
1
Como rt divide a rt 1 ; luego por el teorema 3.2.1, debe ser que vrt jvrt 1 ; debe
ser por lo tanto vrt ; vrt 1 = vrt y recordando, …nalmente, que rt = (m; n) ;
obtenemos (vm ; vn ) = v(m;n)
3.2.1 Proposición. Un número de Fibonacci es par si, y sólo si, su índice es
divisible por 3, esto es
2jvn () 3jn
Demostración. ((=) Si 3jn =) 2jvn : Si 3jn entonces n = 3k; luego
haciendo inducción en k; resulta para k = 1; n = 3 y v3 = 2 es claro que 2jv3 :
Asumamos la validez de 2jv3k para algún k y probemos la validez para k + 1;
esto es, 2jv3(k+1) : Si tenemos n = 3 (k + 1) ; entonces vn = v3(k+1) = v3k 1 v3 +
v3k v4
recordando que v3 = 2; tenemos vn = v3(k+1) = 2v3k 1 + v3k v4 ; es claro que
el primer sumando es par, y el segundo es divisible por 2 por hipótesis inductiva.
Luego 2jv3(k+1) :
(=)) Si 2jvn =) 3jn: Haremos esta prueba por contrarrecíproco, esto es,
si 3 - n =) 2 - vn : Si 3 - n, entonces n = 3k + r donde 0 < r < 3: Haciendo
inducción sobre k; tenemos para k = 1
n = 3 + r; pero r solo puede ser 1 o 2, lo cual nos da los casos v4 = 3 y
v5 = 5 que en ningún caso es par. Suponemos la validez de 3 - n = 3k+r =) 2 vn=3k+r para algún k: y probemos la validez para k+1: Luego si n = (3k + 1)+r;
entonces podemos escribir
vn = v(3k+1)+r = v(3k+r)+3 = v(3k+r)
1 v3
recordemos que v3 = 2 y v4 = 3; así tenemos
vn = 2 v(3k+r)
1
+ 3 v3k+r
como 2 - 3 y 2 - v3k+r esto garantiza que 2 - vn :
Por ejemplo, si n = 9 tenemos v9 = 34 y 2j34:
Por otro lado, 2jv12 = 144 y 3j12:
55
+ v3k+r v4

56. 3.3
Números de Fibonacci y Las Fracciones Continuas
Consideremos la expresión
q0 +
1
q1 +
(1)
1
q2 +
1
..
. + q1
n
donde q1 ; q2 ; : : : ; qn son enteros positivos y q0 es un entero no negativo, esto
es q0 puede se cero.
Las expresiones del tipo (1) se denominan fracciones continuas y el proceso
de conversión de un número en una fracción continua se denomina desarrollo en
fracción continua.
Aprendamos cómo obtener los cocientes incompletos de este desarrollo para
el caso de una fracción ordinaria a :
b
Consideremos para este …n el algoritmo de Euclides aplicado a los números
a y b:
a = bq0 + r1
b = r1 q 1 + r2
r1 = r 2 q 2 + r 3
.
.
.
rn
2
= rn 1 q n 1 + rn
rn 1 = rn q n
donde
donde
donde
.
.
.
0
0
0
r1 < b
r2 < r1
r3 < r2
.
.
.
donde 0
rn < rn
(2)
1
De la primera igualdad es claro que
a
r1
1
= q0 +
= q0 + b
b
b
r
1
Pero de la segunda igualdad del sistema (2) se deduce que
b
r2
1
= q1 +
= q1 + r1
r1
r1
r2
y Ahora teniendo presente la tercera igualdad del sistema (2)
r1
r3
1
= q2 +
= q2 + r2
r2
r2
r3
Tomando en cuenta estas igualdades y haciendo las sustituciones adecuadas
obtenemos
56

57. a
1
= q0 +
1
b
q1 + q + r1
2
2
r3
continuando este proceso hasta el …n resulta obvia la expresión
q0 +
1
q1 +
1
q2 +
1
..
. + q1
n
3.3.1 Teorema. Los concientes incompletos correspondientes de dos fracciones
continuas iguales, son iguales
Demostración. Tomemos dos fracciones continuas y 0 : Sean q0 ; q1 ; q2 ; : : :
0
0
0
y q0 ; q1 ; q2 ; : : : sus cocientes incompletos respectivamente. Probemos que la
0
0
0
igualdad = 0 implica las igualdades q0 = q0 ; q1 = q1 ; q2 = q2 ; etc. En
0
0
efecto, q0 es la parte entera del número y q0 es la parte entera de ; de aquí la
0
única posibilidad es que q0 = q0 : Ahora bien, podemos representar las fracciones
0
continuas y en la forma
q0 +
1
1
1
0
y q0 +
0
1
0
donde 1 y 0 también son fracciones continuas. Puesto que = 0 y q0 = q0 ;
1
0
debe ser 1 = 1 : Pero en tal caso son iguales las partes enteras de los números
0
0
1 y 1 ; o sea, q1 y q1 : Continuando este razonamiento encontramos que q2 =
0
0
q2 ; q 3 = q3 ; : : :
Sea
= q0 +
1
q1 +
1
q2 +
1
..
. + q1
n
una fracción continua. Consideremos los números
q0 ; q 0 +
1
1
; q0 +
q1
q1 +
1
q2
;:::
estos números expresados como fracciones irreducibles
P0
Q0
P1
Q1
P2
Q2
.
.
.
Pn
Qn
q0
=
1
=
q0 + q1
1
1
= q0 + q + 1
1
q2
.
.
.
.
.
.
=
57

58. se denominan reducidas de la fracción continua : De la secuencia anterior
P
P
se ve que Qk+1 se obtine de Qk sustituyendo el único cociente incompleto de
k+1
k
esta reducida, o sea, qk ; por qk+1 :
3.3.1 Lema. Para toda fracción continua
Pk+1
Qk+1
Pk+1 Qk
se cumplen las relaciones siguientes
= Pk qk+1 + Pk
= Qk qk+1 + Qk
Pk Qk+1
1
1
k
=
( 1)
(1)
(2)
(3)
Haremos la demostración del lema 3.3.1 probando simultáneamente las tres
igualdades y aplicando inducción sobre k.
Para k = 1: Tenemos:
1
q0 q1 + 1
P1
= q0 +
=
Q1
q1
q1
Puesto que los números q0 q1 + 1 y q1 son coprimos, la fracción q0 q1 +1 es
q1
P
irreducible; al mismo, la fracción Q1 es irreducible. Pero los numeradores y
1
los denominadores de dos fracciones irreducibles iguales son iguales. Esto es
P1 = (q0 q1 + 1) y Q1 = q1 :
Tenemos, luego,
P2
1
= q0 +
Q2
q1 +
1
q2
=
q0 (q1 q2 + 1) + q2
q1 q2 + 1
recordando aquí que; (a; bc) = (a; b) = (a + c; b) tenemos
(q0 (q1 q2 + 1) + q2 ; q1 q2 + 1) = ((q1 q2 + 1) + q2 ; q1 q2 + 1) = (q2 ; q1 q2 + 1)
y por la misma razón pasa que
(q2 ; q1 q2 + 1) = (q2 ; 1) = 1
de aqui se siguie que
P1
Q1
=
q0 q1 +1
q1
sean irreducibles, de modo que
P2 = q0 (q1 q2 + 1) + q2 = (q0 q1 + 1) q2 + q0 = P1 q2 + P0
y
Q2 = q1 q2 + 1 = Q1 q2 + Q0
…nalmente la igualdad
P2 Q1
P1 Q2 = (q0 (q1 q2 + 1) + q2 ) (q1 )
58
1
(q0 q1 + 1) (q1 q2 + 1) = ( 1)

59. Hasta aquí tenemos la validez para k = 1; y la base de la inducción para
algún entero k; bien ahora consideremos el caso para k + 1:
Consideremos la fracción
Pk+1
Pk qk+1 + Pk
=
Qk+1
Qk qk+1 + Qk
1
1
P
P
Como hemos dicho ya Qk+2 se obtine de Qk+1 sustituyendo en ésta qk+1
k+2
k+1
1
por qK+1 + qk+2 ; puesto que qk+1 no …gura en las fórmulas para Pk ; Qk ; Pk 1 y
Qk 1 ; tenemos
Pk qK+1 +
Pk+2
=
Qk+2
Qk qK+1 +
1
qk+2
+ Pk
1
1
qk+2
+ Qk
1
recordando las hipótesis inductivas (1) y (2)
Pk+1 qk+2 + Pk
Pk+2
=
Qk+2
Qk+1 qk+2 + Qk
(4)
Demostraremos que el segundo miembro de (4) es una fracción irreducible,
para ello basta probar que su numerador y denominador son coprimos.
Supongamos que los números Pk+1 qk+2 + Pk y Qk+1 qk+2 + Qk poseen un
divisor común d > 1: En este caso, la expresión
(Pk+1 qk+2 + Pk ) Qk+1
( Qk+1 qk+2 + Qk ) Pk+1
también será divisible por d: Pero, según la hipótesis inductiva (3) ; esta
k+1
expresión es igual a ( 1)
y d no puede dividirla.
Por lo tanto, el segundo miembro de (4) es irreducible de modo que (4) es
una igualdad entre dos fracciones irreducibles. Luego,
Pk+2 = Pk+1 qk+2 + Pk y Qk+2 = Qk+1 qk+2 + Qk
Para …nalizar la demostración falta demostrar que
k+1
Pk+2 Qk+1
Pk+1 Qk+2 = ( 1)
Pero de los resultados ya obtenidos
Pk+2 Qk+1
Pk+1 Qk+2
= (Pk+1 qk+2 + Pk ) Qk+1 (Qk+1 qk+2 + Qk ) Pk+1
= Qk+1 Pk+1 qk+2 + Pk Qk+1 Pk+1 Qk+1 qk+2 Qk Pk+1
= (Qk+1 Pk+1 qk+2 ) + (Pk Qk+1 Qk Pk+1 ) (Pk+1 Qk+1 qk+2 )
= (Qk Pk+1 + Pk Qk+1 ) ( 1)
=
k+1
( 1)
con lo cual queda demostrado el lema.
59

60. 3.3.2 Teorema. Si una fracción incompleta tiene n cocientes incompletos,
todos iguales a 1; esta fracción es igual a vn+1
vn
Demostración. Sea n la fracción continua de n cocientes incompletos
iguales a 1. Podemos escribir entonces
1; 2; 3; : : : ; n
las fracciones reducidas de la fracción n :
Sea
Pk
k =
Qk
Puesto que
1
1
y 2 =1+ =2
1
1
debe ser P1 = 1 y P2 = 2: Además Pn+1 = Pn qn+1 + Pn 1 ; por lo probado
en el lema 3.3.1; como todos los cocientes son iguales a 1; se tiene que qn+1 = 1:
Por tanto podemos escribir
1
=1=
Pn+1 = Pn + Pn
1
Pn = Pn
2
de donde tenemos que
1
+ Pn
esta última fórmula coincide con la de…nición para los números de …bonacci,
por tal razón
Pn = vn+1
Análogamente tenemos Q1 = 1; Q2 = 1 y Qn+1 = Qn qn+1 + Qn
luego
Qn+1 = Qn + Qn 1
1
de modo que Qn = vn : Por consiguiente
n
=
vn+1
vn
Toda la discusión sobre fracciones continuas …nitas, es aplicable de forma
natural al caso de fracciones continuas in…nitas.
Determinemos el valor de la fracción continua in…nita
1+
1
1+
1
1+
1
..
60
.+
1
..
. +1

61. sabemos ya que este valor es igual a lim n ; donde n = vn+1 : Calculemos
vn
n*1
este límite
n
Por el teorema 3.1.2 sabemos que vn es el entero más próximo a p5 ; es decir,
2
para todo n se tiene
n
vn = p +
2
5
1
:
2
donde j n j <
n
Luego tenemos
n+1
lim
n*1
n
n
p
2
vn+1
= lim
= lim
n*1 vn
n*1
+
5
n
p
2
5
n+1
+
n
= lim
n*1
p
2
n+1
n
+
1+
n
p
2
lim
5
5
n
=
n*1
lim
n*1
+
1+
p
2
n+1
n
n
p
2
n
p
Pero n+1 2 5 es una magnitud acotada (su valor absoluto es menor que 2) y
crece inde…nidamente cuando n tiende al in…nito (porque > 1). Por tanto
p !
p
2
2
n+1 5
n+1 5
+
lim
= + lim
=
n
n
n*1
n*1
y
lim
1+
n*1
n
p !
2
5
= 1 + lim
n
n*1
n
p
2
5
n
=1
Finalmente
lim
n*1
recordemos que
=
n
=
p
1+ 2 5
2 ;
Por ejemplo, la razón
tenemos, entonces
p
1+ 25
1: 6180
lim n =
n*1
2
v5
v4
=
5
3
= 1: 666 7 y para
61
v14
v13
=
377
233
= 1: 618:
5
5

62. 3.4
¿
Dónde están los números de Fibonacci?
Fibonacci en la Naturaleza.
Fibonacci y los vegetales: El ejemplo que quizás sea el más sencillo, es el
caso de la orientación de las espirales en una piña, si contamos las espirales en
un sentido y luego en el otro (sentido) encontramos los números 8 y 13 en otras
especies aparecen 5 y 8, en ambos casos números de Fibonacci consecutivos.
Fibonacci y las ‡
ores: Si por curiosidad contamos los pétalos de una ‡
or
cualquiera que esta sea, en un 95% encontraremos números de Fibonacci para
estos, así por ejemplo, las margaritas tienen en general 21 ó 34 pétalos y algunas
tienen 55 e incluso alcanzan 89 todos números Fibonacci.
Fibonacci y los animales: Además del ya mencionado problema de los
conejos, también encontramos números de Fibonacci en el árbol genealógico de
las abejas machos. En toda colmena existe una abeja hembra llamada “reina”
,
que es la única capaz de producir huevos. Las abejas “obreras” también son
hembras, pero no producen huevos, solo trabajan. En la colmena también existen abejas “machos” que no trabajan y su única función es aparear a la reina
,
(zánganos). Estos provienen de huevos de la abeja reina no fertilizados, y por
lo tanto tienen madre, pero no tienen padre, por lo que él (1) tiene una madre
(1; 1), dos abuelos – padres de la reina– (1; 1; 2), tres bisabuelos -por que
los
el padre de la reina no tuvo padre-(1; 1; 2; 3), cinco tatarabuelos, (1; 1; 2; 3; 5)
62

63. y ocho tataratatarabuelos, (1; 1; 2; 3; 5; 8), en de…nitiva sigue estrictamente la
sucesión de números de Fibonacci.
En las dimensiones del hombre.
La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del
codo a los dedos.
La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
La relación entre el primer hueso de los dedos (metacarpiano) y la primera
falange, o entre la primera y la segunda, o entre la segunda y la tercera,
p
si dividimos todo es 1+2 5 .
63

64. 3.5
Ejercicios Propuestos
1. Calcúlese los primeros 50 números de Fibonacci.
2. Pruébese el lema 3.2.1
3. Encuéntrese una expresión que de la suma para los números de Fibonacci de
índices impares y pruébese su validez para todo n:
3. Pruébese que para los números de Fibonacci es válida la igualdad siguiente
2
2
v1 + v2 +
2
v3 = vn vn+1
4. Pruébese el siguiente teorema.
Teorema. Cualquiera que sea el número entero m, entre los m2 1 primeros
números de Fibonacci habrá al menos uno divisible por m:
5. Calcúlese el mcd para los siguientes conjunto de números
(v7 ; v9 ) ;
(v5 ; v15 ) ;
(v4 ; (v7 ; v9 )) ;
((v21; v12 ) ; (v7 ; v9 ))
6. Demuéstrese los siguientes criterios de divisibilidad para números de Fibonacci
6.1 Un número de Fibonacci es divisible por 3 si, y sólo si, su índice es divisible
por 4.
6.2 Un número de Fibonacci es divisible por 4 si, y sólo si, su índice es divisible
por 6
6.3 Un número de Fibonacci es divisible por 5 si, y sólo si, su índice es divisible
por 5
6.4 Un número de Fibonacci es divisible por 7 si, y sólo si, su índice es divisible
por 8
7. Considérese los números primos de Fibonacci, con índices mayor a 3; ¿qué
puede decirse de los índices?
8. Desarróllese en fracciones continuas los siguientes números racionales
22
7
355
113
102595
32657
103993
33102
1461
4
9. Calcúlese las primeros 5 términos de la sucesión de Fibonacci usando la
fórmula de Binet y pruébese que ésta es válida para todo n:
10. Un saltador puede desplazarse en una sóla dirección a lo largo de una franja
cuadriculada saltando cada vez a la casilla inmediata o por encima de ella
a la siguiente. ¿cuántos modos de desplazarse en n 1 casillas y, en
particular, de la primera a la n esima tiene el saltador? (dos modos son
idénticos si en cada uno de ellos el saltador se posa en la misma casilla?
64

65. 4
Funciones Aritméticas
Con números se puede demostrar cualquier cosa.
Thomas Carlyle
En este apartado estudiaremos las funciones más importantes de la teoría
de número; daremos sus de…niciones, algunas aplicaciones y su importancia en
la aritmética.
4.1.1 De…nición. Una función real o compleja de…nida sobre los enteros positivos se llama una función aritmética o una función de teoría de números.
Empezaremos con la función parte entera que ya antes habíamos mencionado
en el capítulo 2.
4.1.1 Teorema. Sea x y y números reales. Entonces se tiene que
a. [x + m] = [x] + m; si m 2 Z
b. [x] + [y]
[x + y]
0
c. [x] + [ x] =
d.
h
[x]
m
i
=
x
m
[x + y] + 1
si x es entero,
1 en cualquier otro caso
; si m es un entero positivo
e. x + 1 es el entero más próximo a x: Si dos enteros son igualmente próximos
2
a x; es el mayor de los dos.
Demostración. La parte a) es evidente, puesto que si m 2 Z entonces
[m] = m: De aquí que, [x + m] = [x] + m; puesto que x no es necesariamente
entero.
Para la parte b) se escribe x = n + "; y = m + ; donde m y n son enteros y
0
< 1, 0
< 1.
Entonces
[x] + [y] = n + m
[n + " + m + ] = n + m + [" + ]
n+m+1
[x + y] + 1
Una vez más, para la parte c); escribiendo x = n + "; también se tiene
x = n 1 + 1 "; 0 < 1 " 1:
Entonces
[x] + [ x] = n + [ n
1+1
"] = n
65
n
1 + [1
"] =
0
1
si v = 0
si v > 0

66. y se tiene c):
A modo de ejemplo, veamos una aplicación para el teorema anterior
Probar que
n!
a1 !a2 ! ar !
es un entero. Si ai
0; a1 + a2 + a3 +
+ ar = n: Para hacerlo debe
demostrarse que todo número primo divide al numerador para la pontencia
más alta que divide al denominador. Aplicando el teorema 2.5.2 solamente es
necesario probar
X n
pi
X a1
X a2
+
+
pi
pi
+
X ar
pi
aplicando repetidamente el teorema 4.1.1b, resulta
a1
a2
+ i +
pi
p
+
ar
pi
a1 + a2 + a3 +
pi
+ ar
=
n
pi
Sumando esta expresión sobre i se tiene el resultado deseado.
Veamos este resultado particularmente
8 + 6 + 7 + 12 = 33; Luego
33!
; debe ser entero
8!6!7!12!
Por el teorema 2.5.2 tenemos las siguientes descomposiciones en factores
primos
=
231 315 57 74 113 132 17 19 23 29 31
(27 32 5 7)(24 32 5)(24 32 5 7)(210 35 52 7 11)
=
231 315 57 74 113 132 17 19 23 29 31
225 311 55 73 11
=
33!
8!6!7!12!
26 34 52 7 112 132 17 19 23 29 31
que resulta ser entero, nótese que tal como lo predijo el resultado anterior el
exponente que …gura en el numerador es mayor o igual al del denominador por
cada factor primo.
66

67. (n) se de…ne como sigue:
4.1.2 De…nición. La función de Möbius
(1) = 1;
pk k : Entonces
Si n > 1; escribimos n = p1 1
k
(n) = ( 1) si 1 =
(n) = 0 en otro caso.
2
=
=
k
= 1;
Observemos algunos ejemplos;
1
1
1
1
(2) =
21 ; como
1
= 1; se tiene ( 1) =
(3) =
31 ; como
1
= 1; se tiene ( 1) =
(4) =
22 ; como
n:
(n) :
1
1
1
= 2 6= 1; por de…nición
(4) = 0
Luego
4.1.2 Teorema. Si n
2
1
3
1
4
0
5
1
6
1
7
1
8
0
9
0
10
1
1 tenemos
X
(d) =
djn
1
=
n
1
0
si n = 1
si n > 1
Demostración. La expresión es claramente cierta para n = 1; puesto que
si n = 1; d debe ser también 1 y por de…nición de se sigue que (1) = 1:
Suponemos, entonces, que n > 1 y escribimos n = p1 1
pk k : En la expresión
P
(d) los únicos términos no nulos proceden de d = 1 y de los divisores de n
djn
que son productos de primos distintos. Entonces
X
(d) = (1)+ (p1 )+ + (pk )+ (p1 p2 )+ + (pk
1 pk )+
djn
Ahora observemos con cuidado
(p1 ) +
(p1 p2 ) +
(p1 p2 p3 ) +
+ (pk )
+ (pk
+ (pk
=
1 pk )
=
2 pk 1 p k )
=
67
k
( 1)
1
k
2
( 1)
2
k
3
( 1)
3
+ (p1 p2
pk )
( )

68. podemos seguir con estos arreglos hasta …nalizar con
tuyendo en la expresión ( ), nos resulta
X
(d) = 1 +
djn
k
k
2
( 1) +
( 1) +
1
2
n
P
Si recordamos el binomio de Newton,
n n
a
k
k=o
que
X
+
(p1 p2
pk ) ; susti-
k
k
( 1)
k
n
k k
b = (a + b) ; tenemos
k
(d) = (1
1) = 0:
djn
Particularizando el teorema 4.1.2.
Por ejemplo, si n = 24, luego todos los divisores positivos de 24 serían
f1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24g, entonces
(1)
(2)
(3)
22
(2 3)
23
=
=
=
=
=
=
1
22 3
=
0
=
0
3
2
3
1
1
0
1
0
Finalmente,
X
(d)
=
(1) + (2) + (3) +
22 + (2 3) +
23 +
22 3 +
dj24
=
=
1
0
1
1+0+1+0+0+0
4.1.3 De…nición. La función indicatriz de Euler ' (n) : Si n 1 la indicatriz de Euler es el número de enteros positivos menores que n que son
coprimos con n; así
' (n) =
n
X
1; donde (k; n) = 1
k=1
68
23 3

69. Por ejemplo; si n = 12; entonces, se tiene que:
(7; 12) = 1; (11; 12) = 1 y luego,
(1; 12) = 1; (5; 12) = 1;
' (12) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
En la siguiente tabla se muestran algunos valores para ' (n) ;
n:
' (n) :
4.1.3 Teorema. Para n
1
1
2
1
3
2
4
2
5
4
6
2
7
6
8
2
9
6
10
4
1 tenemos
' (n) =
X
(d)
djn
n
d
Demostración. La suma que de…ne a ' (n) se puede escribir en la forma
' (n) =
n
X
1 = ' (n) =
n
X
k=1
k=1
1
;
(n; k)
en donde k recorre todos los enteros k n: Ahora utilizaremos el teorema
4.1.2 sustituyendo n por (n; k) y obtenemos
0
1
n
n
X
X
XX
@
' (n) =
(d)A =
(d)
k=1
k=1 djn
djk
dj(n;k)
Para un divisor d de n …jo podemos sumar respecto de todos los k tales que
1
k
n son múltiplos de d: Si escribimos k = qd entonces 1
k
n si, y
sólo si, 1 qd djn: Por lo tanto la última suma que da ' (n) se puede escribir
' (n) =
n n=d
XX
(d) =
k=1 q=1
X
(d)
n=d
X
1=
q=1
djn
X
djn
(d)
n
:
d
Lo que demuestra el teorema.
Acontinuación tenemos una expresión que conecta a ' (n) y a los divisores
primos de n:
4.1.4 Teorema. Para n
1 tenemos
' (n) = n
Y
pjn
69
1
1
p

70. Demostración. Para el caso n = 1 el producto es vacío puesto que no
existe ningún primo que divida a 1, en este caso podemos indicar ' (1) = 1:
Suponemos, entonces, que n > 1 y que p1 ; p2 ; : : : ; pr son los divisores primos
distintos de n. El producto se puede escribir
Y
1
p
1
pjn
r
Y
=
1
i=1
1
pi
Observemos con más detalle este producto, considérese los primeros tres
productos, esto es
3
Q
1
i=1
1
pi
=
1
p1
1
p1 1
p1
=
1
p2
1
1
p3
1
p2 1
p2
p3 1
p3
=
p1 +p2 +p3 p1 p2 p1 p3 p2 p3 +p1 p2 p3 1
p1 p2 p3
=
p1
p2
p3
p1 p2 p3 + p1 p2 p3 + p1 p2 p3
=
1
p1 p2
=
1
=
1
1
p1
P
1
p2
1
p2
1
pi +
1
p3
p1 p2
p1 p2 p3
1
1
1
p1 + p1 p3 + p2 p3
p1 p3
p1 p2 p3
1
pi pj
1
p1 p2 p3
1
p1 p2 p3 +1
1
1
1
1
p3 + p1 p2 + p1 p3 + p2 p3
P
p2 p3
p1 p2 p3
p1 p2 p3 + p1 p2 p3
1
p1 p2 p3
1
p1 p2 p3
Si extendemos este producto hasta i = r encontramos que
r
Y
1
i=1
1
pi
=1
X 1
X 1
+
pi
p i pj
X
1
+
p i pj pk
r
+
( 1)
p1 p2
pr
( )
P En la parte derecha de ésta última expresión vemos que un término como
1
pi pj se consideran todos los posibles productos pi pj de factores primos distintos de n; lo mismo ocurre para los casos pi pj pk ; pi pj pk pl;
Obsérvese que cada uno de los términos de la derecha en ( ) es de la forma
1
d ; en donde d es un divisor de n que es 1 o producto de primos distintos. El
numerador 1 es claramente (d) : Así podemos escribir entonces
r
Y
i=1
1
1
pi
=1
X 1 X 1
X 1
+
+
pi
pi p j
p i pj pk
70
r
+
( 1)
=
p1 p 2
pr
(d) X (d)
+
+
1
di
+
(d)
dr