Mgs sesión 17-taller de socializacion
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Demuestra o refuta
![“No solo leas; ¡lucha! Plantea tus propias
preguntas, busca tus propios ejemplos,
descubre tus propias demostraciones. ¿Es
necesaria la hipótesis? ¿Es verdadera la
[condicional] conversa? ¿Qué ocurre en el caso
específico?”
Paul Halmos (Twomey & Jacob, 2010, p. 171)](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
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- 1. TALLER DE SOCIALIZACIÓN Línea de razonamiento y justificación Sesión 17. Demuestra o refuta Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”
- 2. “No solo leas; ¡lucha! Plantea tus propias preguntas, busca tus propios ejemplos, descubre tus propias demostraciones. ¿Es necesaria la hipótesis? ¿Es verdadera la [condicional] conversa? ¿Qué ocurre en el caso específico?” Paul Halmos (Twomey & Jacob, 2010, p. 171)
- 3. 1. Demuestre la siguiente conjetura: si 𝑛 es un entero impar, entonces 3𝑛 + 7 es un entero par. Solución (1) Representemos al número 𝑛 en la forma más general posible: … … … … … … … Númeroparde filas … Número par de columnas
- 4. 1. Demuestre la siguiente conjetura: si 𝑛 es un entero impar, entonces 3𝑛 + 7 es un entero par. Solución (2) Ahora, representemos al número 3𝑛 + 7: Como se puede apreciar, el número 3𝑛 + 7 es par, por cuanto todas las figuras que lo representan se encuentran apareadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
- 5. 2. Demuestre la siguiente conjetura: para cada trío de enteros impares 𝑎, 𝑏 y 𝑐, el producto 𝑎𝑏𝑐 es impar (¿la proposición conversa es verdadera?) La solución pasa por interpretar a los números impares como las medidas correspondientes al largo, ancho y altura de un paralelepípedo. Luego, el producto de dichos números corresponde al volumen de dicho cuerpo sólido. Ayuda a la solución (exploración mediante Cabri geomètre)
- 6. 3. Demuestre la siguiente conjetura: si 𝑥 > 0, entonces 𝑥 + 1 𝑥 ≥ 2 (adaptado de Knuth, 2002, p. 488) Solución x 1/x x 1/x x 1/x x 1/x El área de cada rectángulo rojo es 𝑥. 1 𝑥 = 1. El área del cuadrado completo es 𝑥 + 1 𝑥 2 , la que es mayor que o igual a 4, pues incluye los cuatro rectángulos rojos más el área del cuadrado situado en medio. Luego, 𝑥 + 1 𝑥 debe ser mayor que o igual a 2. Se sigue, entonces, que 𝑥 + 1 𝑥 ≥ 2.
- 7. 4. Demuestra que un polígono de 5 lados puede ser reducido a un triángulo, con la misma área de aquel (¿puede resolverse el problema inverso?) ¿? (Exploración mediante Geogebra)
- 8. 4. Demuestra que un polígono de 5 lados puede ser reducido a un triángulo, con la misma área de aquel. El camino para la solución de este problema pasa por la aplicación de la siguiente propiedad de los triángulos: “Los triángulos con bases congruentes y alturas congruentes son equivalentes” (Kiselev, 2006, p. 215) “Si movemos el vértice B del triángulo ABC a lo largo de la paralela a la base AC, dejando la base inalterable, entonces el área del triángulo permanecerá constante”
- 9. 4. Demuestra que siempre se puede trazar un triángulo a partir de la unión de tres segmentos por sus extremos, cualquiera sea la longitud de aquellos. a b c (Exploración mediante Geogebra)
- 10. Referencias bibliográficas • Chartrand, G., Polimeni, A., & Zhang, P. (2013). Mathematical proofs: a transition to advanced mathematics. New Jersey, NJ: Pearson Education. • Kiselev, A. (2006). Geometry, Book 1, Planimetry. El Cerrito, CA: Sumizdat. • Knuth, E. (2002). Proof as a Tool for Learning Mathematics. Mathematics Teacher, 7 (95), 486 – 490. • Twomey, C. & Jacob, B. (2010). Young mathematicians at work: constructing algebra. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.