2. NIELS HENRIK ABEL
Fue un matemático Noruego, nació el 5 de agosto de 1802, en la isla de Finnoy. Es célebre
fundamentalmente por haber probado en 1824 que no hay ninguna fórmula para hallar los ceros de
todos los polinomios generales de grados en términos de su coeficiente y en el de las
funciones elípticas, ámbito que se desarrollo un método general para la construcción de funciones
periódicas recíprocas de la integridad elíptica.
En 1815 ingresó la escuela de la catedral Cristianía (hoy Oslo) en donde tres años después
probaría sus aptitudes para las matemáticas con sus brillantes soluciones a los problemas originales
propuestos por BERNT HOLMBOE.
En esa misma época, su padre, un pastor protestante pobre, murió y su familia sufrió graves
penurias económicas; sin embargo, una pequeña beca del Estado permitió que Abel ingresara a la
Universidad de Cristianía en 1821.
El primer trabajo relevante de Abel consistió en demostrar la imposibilidad de resolver las
ecuaciones de quinto grado usando raíces, fue esta en1824 su primera investigación publicada,
aunque la demostración era difícil y abstrusa. Posteriormente se publicó de modo más elaborado en
el primer volumen del Diario de Crelle.
La financiación estatal le permitió visitar Alemania y Francia en 1825.Abel conoció
al astrónomo Schumacher (1780-1850) en Altona cerca de Hamburgo cuando residió seis meses
en Berlín, en donde colaboró en la elaboración para su publicación del diario matemático de
Agust Leopold Crelle. Este proyecto fue respaldado con entusiasmo por Abel, que fue en gran parte

3. responsable del éxito de la iniciativa. De Berlín se trasladó a Friburgo en donde llevó a cabo su
brillante investigación sobre la teoría de las funciones, en la que estudió sobre todo la elíptica y la
hiperelíptica, e introduciendo un nuevo tipo de funciones que hoy se conocen como funciones
Abelianas, y que fueron objeto de un profundo estudio por su parte. En 1826 Abel viajó a París,
permaneciendo allí unos diez meses; allí conoció a los matemáticos franceses más importantes,
aunque ni él ni su trabajo (poco conocido) fueron especialmente valorados. A ello contribuyó también
su modestia, que lo llevó a no hacer públicos los resultados de sus investigaciones.
Al principio de su instrucción, Abel se mostraría como un estudiante indiferente, más bien mediocre y
sin que incluso las matemáticas le despertaran atracción alguna. Era notorio su malestar en la
escuela. No obstante, un inesperado cambio produjo a raíz de la muerte de un condiscípulo ante los
malos tratos de un maestro brutal que se accedía con castigos corporales a sus alumnos. En
maestro fue entonces relevado en 1818 por un joven matemático de mayor competencia, Bernt
Holmboe 1795-1850, quien incentivó a sus alumnos a resolver por sí mismo problemas de algebra y
de geometría, escogiendo pronto algunos especiales para Abel, a la vista de su pasmoso avance de
aptitud.
La prematura muerte, a los 26 años, de este genio de las matemáticas terminó con una brillante y
prometedora carrera. Sus investigaciones aclararon algunos de los aspectos más oscuros del
análisis y abrieron nuevos campos de estudio, posibilitando numerosas ramificaciones en el
conocimiento matemático y alcanzando un notable progreso. La parte más profunda y original del
trabajo de Abel se publicó en el Diario de Crelle del que era editor Holmboe. Una edición más
completa de sus trabajos se publicó en 1881por parte de Lodwin Sylow y Sophus Lie. El adjetivo
abeliano, que se ha popularizado en los escritos matemáticos deriva de su nombre y suele indicarse
en minúsculas.
Dos días después de su muerte, una carta de Augusto crelle, anunciaba que la universidad de Berlín
lo había nombrado profesor de matemáticas. Gauss y Humboldt solicitaría también una catedral para
Abel, Legendre, poisson y Laplace, escribieron asimismo al rey de Suecia para que ingresara en la
academia se Estocolmo
Hay varios mitos sobre su persona. Algunos le caracterizan como el Mozart de la ciencia. Un
monumento fue erigido por los amigos de Abel en su tumba. Entre los muchos honores conferidos al
joven sabio noruego, figuran: un cráter lunar lleva su nombre.
Teorema de Abel-Ruffini (Niels Henrik Abel)
En el teorema postula que no pueden resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas
generales de grado igual o superior a cinco.
Es decir, no es posible encontrar las soluciones de la ecuación general:

4. de grado superior o igual a cinco, aplicando únicamente un número finito de suma, resta,
multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces a los coeficientes de la ecuación.
Aclaración:
El contenido de este problema es generalmente mal entendido:
1. El teorema no afirma que las ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior no tengan
soluciones o que no puedan ser resueltas. De hecho, si la ecuación polinómica tiene
coeficientes reales o compuestos permitimos soluciones complejas, entonces cualquier
ecuación polinomial tiene soluciones; éste es el teorema fundamental del álgebra. Aunque
estas soluciones no siempre pueden ser calculadas exactamente con un número finito de
operaciones aritméticas, pueden serlo hasta cualquier grado de exactitud deseado usando
métodos numéricos tales como el método de Newton-Raphson o el Método laguerre, y de
ese modo no son diferentes de las soluciones de las ecuaciones polinómicas de segundo,
tercero y cuarto grados.
2. El teorema solo se refiere a la forma que una solución debe tomar. El contenido del teorema
es que la solución de una ecuación de grado cinco o superior no puede siempre ser
expresada comenzando por los coeficientes y usando solo finitamente las operaciones de
suma, Multiplicación y radicación.
3. El teorema es falso para ecuaciones de grados inferiores a cinco. Por ejemplo, las soluciones
de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 pueden ser expresadas en términos de
adición, multiplicación y extracción de raíces como:
Formas análogas para las ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado, usando raíces
cúbicas y cuartas, han sido conocidas desde el siglo XVI.
4. Para grados superiores o iguales a cinco, el teorema especifica que no puede resolverse por
radicales cualquier ecuación pero hay ecuaciones particulares que sí pueden resolverse por
radicales. Así, el teorema Sauch-ruffini dice que hay algunas ecuaciones de quinto grado
cuya solución no puede ser expresada de ese modo como por ejemplo la ecuación x5 - x + 1
= 0. Sin embargo, algunas otras ecuaciones de quinto grado pueden ser resueltas mediante
radicales, por ejemplo x5 - x4 - x + 1 = 0.
5. El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante
radicales de aquellas que no fue dado por Évariste Galois y es parte de la Teoría de Galois:
una ecuación polinómica puede ser resuelta mediante radicales si y sólo si su grupo de
Galois es un Grupo Resoluble. En el análisis moderno, la razón por la que las ecuaciones
polinomiales de segundo, tercero y cuarto grado pueden ser resueltas mediante radicales
mientras que las ecuaciones de grado superior no, es simplemente el hecho algebraico de

5. que los grupos simétricos S2, S3 y S4 son grupos resolubles, mientras que Sn no es
resoluble para n ≥ 5.