ecuaciones

1. lasmatemáticas.eu – Pedro Castro Ortega
materiales de matemáticas
Igualdades notables. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 3º ESO
Examen de Matemáticas – 3º de ESO
Instrucciones: en todos y cada uno de los ejercicios es obligatorio hacer un desarrollo o procedimiento,
por breve que sea, que lleve a la solución.
1. Desarrolla las siguientes expresiones utilizando las igualdades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una
diferencia y suma por diferencia): (1,5 puntos; 0,5 puntos por apartado)
a)  
22 3
2 3x y b)  
22
3 4a b c)    2 3 2 3
2 2x y x y  
2. Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo factor común y utilizando las igualdades notables: (0,5
puntos)
3 2
3
4 4
4
x x x
x x
 

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: (2 puntos; 1 punto por apartado)
a)      7 8 2 4 3 3 3 7 0x x x       b)
2 3 2 5 5 4 7 11
2 4 6 3
x x x x   
  
4. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado: (2 puntos; 1 punto por apartado)
a) 22 5
2 0
5 2
x x   b)
  2
1 3 2 2 1
2 4 6 3
x x x x x   
  
5. Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado sin utilizar la fórmula: (1 punto)
    2
1 1 2 13x x x   
6. Resuelve el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de sustitución: (1 punto)
3 4 5
4 2
x y
x y
   

  
Problemas:
7. Si al doble de un número le restamos 6 unidades obtenemos su mitad. ¿Cuál es ese número? (1 punto)
8. Un deportista ha comprado 3 camisetas y 4 pantalones. Las camisetas cuestan 12 € más que los pantalones. Si en
total se gastado 176 €, ¿cuánto cuesta cada prenda? (1 punto)

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Igualdades notables. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 3º ESO
Soluciones:
1. a)         
2 2 22 3 2 2 3 3 4 2 3 6
2 3 2 2 2 3 3 4 12 9x y x x y y x x y y      
b)         
2 222 2 2 2 2 4
3 4 3 2 3 4 4 9 24 16a b a a b b a ab b      
c)        
2 22 3 2 3 2 3 4 6
2 2 2 4x y x y x y x y      
2.
 
 
 
  
223 2
3 2
4 4 24 4 2
4 2 2 24
x x x x xx x x x
x x x x x xx x
    
  
   
3. a)      7 8 2 4 3 3 3 7 0 7 8 8 6 9 21 0x x x x x x               
28
28 14 0 14 28 2
14
x x x x

          

b)        
2 3 2 5 5 4 7 11
6 2 3 3 2 5 2 5 4 4 7 11
2 4 6 3
x x x x
x x x x
   
          
12 18 6 15 10 8 28 44 6 33 18 52x x x x x x             
58 58
18 33 52 6 15 58
15 15
x x x x

           

4. a)
2
2 22 5 20 20 4 4 25
2 0 4 20 25 0
5 2 2 4
x x x x x
    
         

20 400 400 20 0 20 5
8 8 8 2
     
     (una única solución)
b)
 
       
2
21 3 2 2 1
6 1 3 3 2 2 2 4 1
2 4 6 3
x x x x x
x x x x x
   
           
2 2 2
6 6 9 6 2 4 4 4 4 11 6 0x x x x x x x            
 
2
1
2
16
2
11 11 4 4 6 11 121 96 11 25 11 5 8
6 32 4 8 8 8
8 4
x
x
x

          
      
   

5.     2 2 2 2 2 2
1 1 2 13 1 2 26 2 26 1 25x x x x x x x x                 
12
2
5
25 25
5
x
x x
x

     
 

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Igualdades notables. Ecuaciones. Sistemas de ecuaciones 3º ESO
6.
3 4 5
4 2
x y
x y
   

  
Despejando la incógnita x de la primera ecuación tenemos:
4 5
3 4 5 3 4 5
3
y
x y x y x

       
Sustituyendo este valor en la segunda ecuación podremos despejar la incógnita y :
4 5 16 20
4 2 4 2 2 16 20 3 6
3 3
y y
x y y y y y
  
             
 
26
13 26 2
13
y y y      .
Sustituyendo ahora el valor de y, obtenemos el de x :
4 5 4 2 5 8 5 3
1
3 3 3 3
y
x x
   
     
7. Llamemos x al número que queremos encontrar. Entonces, según el enunciado:
2 6 4 12 3 12 4
2
x
x x x x x         .
Así pues el número que se pide es el 4 .
8. Supongamos que los pantalones cuestan x euros. Entonces las camisetas cuestan 12 x euros. El deportista se
ha comprado 4 pantalones y 3 camisetas, con lo que el importe total de los pantalones es 4x euros, y el de las
camisetas  3 12 x euros. Por tanto, como se ha gastado en total 176 euros:
 
140
4 3 12 176 4 36 3 176 7 140 20
7
x x x x x x x            
Entonces cada pantalón cuesta 20 euros y cada camiseta 12 euros más, o sea, 32 euros.