ECUACIONES 002

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática Básica I
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Febrero del 2019
Ecuaciones de primer grado
1. Simbolización
Los problemas se resuelven estableciendo
relaciones entre los datos y los valores
desconocidos que queremos hallar.
Hallar tres números consecutivos cuya suma es
180.
Al número menor lo designamos con la letra x.
Por tanto, x + 1 será el mediano y x + 2 el mayor.
Podremos escribir la siguiente relación:
x + (x + 1) + (x + 2) = 180.
Una igualdad de este tipo se llama ecuación.
01. Escribe las relaciones entre los datos y los
valores desconocidos en estos problemas:
a) La séptima parte de un número sumada a sus dos
terceras partes da 51.
b) Tres niños deciden hacer un regalo por valor de
1 275 pesetas. Se sabe que el mayor paga la cuarta
parte de lo que paga el mediano y que éste paga 60
pesetas menos que el menor
c) Descompón el número 16 en dos partes cuyo
producto sea 60.
d) La edad de un padre es triple que la de su hijo y
hace 6 años era sólo el doble.
e) Suma un mismo número al numerador y
denominador de 2/3 para que resulte 5/6.
f) Si quitas 60 unidades al cuadrado de un número
resulta lo mismo que si le quitas 4 unidades a dicho
número.
g) Se reparten 1 400 soles entre tres niños. El
mayor recibe 200 soles más que el mediano y éste
150 más que el menor.
2. Soluciones de una ecuación
Una ecuación es una igualdad entre letras y
números relacionados por operaciones aritméticas.
x + 3x - 2 = 6, 3x - y = 5 son ecuaciones con una y
dos incógnitas, respectivamente.
Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de
las incógnitas (si los hay) que hacen cierta la
igualdad.
es solución de , pues
es solución de , pues
02. Relacione con la respuesta correcta.
Problema Respuesta
Resuelve la ecuación:
6

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En un rectángulo de perímetro 38
cm la base es 3 cm más larga que
la altura. Calcular la longitud de la
base.
8 cm
Hemos recorrido la séptima parte
de un camino y aún nos faltan 8
Km para llegar a la sexta parte.
¿Qué longitud tiene el camino?
336 km
Pepe tiene 5 años más que
Antonio y éste 7 años más que
Ángela. Entre los tres suman 103
años. Calcular la edad de Ángela.
28 años
Resuelve la ecuación:
11 27 1
2 2 3
x
 
  
 
3
Resuelve la ecuación:
 
2 34 5
23
2 7
x
x
  
    
 
-2
Resuelve la ecuación:
2 7
2
7 2
x x 
 
9
Por 4 pantalones y 3 camisetas
pagamos 7 € Si un pantalón
cuesta € más que una camiseta,
¿cuánto cuesta una camiseta?
9 euros
La suma de tres números
consecutivos es 84. Halla el
menor de los tres.
27
La superficie de una finca es de
156 Ha. Un Olivar ocupa la mitad
que un Encinar, y el Trigo ocupa
la tercera parte que el Encinar.
También hay una superficie de 2
Ha. Dedicada a Huerta. ¿Cuánto
ocupa el Encinar?
84 Ha
03. En una ferretería se venden tornillos en cajas de
tres tamaños: pequeña, mediana y grande. La caja
grande contiene el doble que la mediana y la
mediana 25 tornillos más que la pequeña. He
comprado una caja de cada tamaño y en total hay
375 tornillos, ¿cuántos tornillos hay en cada caja?
(Rpta. 75 tornillos)
04. Escribe dos ecuaciones con una incógnita x que
tengan por solución x = 5.
05. Escribe 2 ecuaciones con 2 incógnitas que
tengan por solución x = 2, y = -1.
3. Resolución de ecuaciones de primer grado con
una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado debemos
despejar la incógnita, es decir, dejarla sola en un
miembro. Para ello se convierte en otra más sencilla
con las mismas soluciones:
Resolver la ecuación –
Se resta 2x (regla de la resta) a los dos miembros:
– –
Se suma 3x (regla de la suma) a los dos miembros:
Se divide por 4 (regla del producto o división):
8
2
4
x  
Resolver la ecuación:
2 5 1
1
3 4 6
x x x
  
Se reduce a común denominador:
m.c.m.(3, 4, 6)=12
8 3(5 1) 12 2
12 12 12 12
x x x
  
Se eliminan denominadores. Multiplicamos por 12:
8x - 3(5x - 1) = 12 + 2x

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Se quitan paréntesis:
8x - 15x + 3 = 12 + 2x
Se simplifica:
-7x + 3 = 12 + 2x
Se suma 7x:
3 = 12 + 9x
Se resta 12:
-9 = 9x
Se divide por 9:
x = -1
06. Resuelve las ecuaciones:
a) 3x - 6 = 4 b) -1 + 2x = 9 - 3x
c) -x + 3 + 6 = 5 - 3x d) 2x = 20 - 3x
07. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
3
6
2
x
 b)
4 6
2
3
x 
 
c) 4(2x - 1) + 15 = 6 - 2(x - 5)
d)
6 4 1
2
3 5
x x 
  e)
2 1 5
3-
6 4 2
x x x
 
08. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
1 2
7 11
4
x
x

  b)
3 2 3
0
5 2
x x 
 
c)
2 5 1 1 1
4 9 3 2
x x x  
  
d)  
3 10 5 2 3
4
6 3 8
x x
x
 
   
e)
 3 2 3 4
2
5 15 6
x x x 
  
4. Planteamiento de ecuaciones
Un ciclista recorre en su primera hora de viaje 1/3
de la distancia que separa dos ciudades; en la
segunda, las 2/5 partes de la misma distancia, y en
la tercera recorre los 32 km restantes. ¿Qué
distancia hay entre las dos ciudades? ¿Qué distancia
recorre en la primera hora? ¿Y en la segunda?
1.º Elegir la incógnita: asignamos la letra x a la
distancia entre las dos ciudades.
2.º Hacer una figura con datos e incógnitas:
| | | |
A 1/3 2/5 32 km B
3.º Establecer la relación:
1 2
32
3 5
x x x  
4.º Resolver la ecuación: 5x + 3 . 2x + 15 . 32 = 15x
 4x = 480  x = 120
Distancia entre las dos ciudades: 120 km
Distancia que recorre en la l.ª hora: 1/3 · 120 = 40
km
Distancia que recorre en la 2.ª hora: 2/5 · 120 = 48
km
5.º Comprobar el resultado: 40 + 48 + 32 = 120
09. Repartir 12 000 pesetas entre 3 personas de
modo que la segunda reciba 2 000 pesetas más que
la primera, y que la tercera reciba el triple de lo que
reciben las otras dos juntas.
10. Una niña gasta los 5/7 del dinero que tiene
ahorrado en material escolar y los 3/4 del resto en
celebrar su cumpleaños, quedándole 1 000 pesetas.
¿Cuánto dinero tenía ahorrado? ¿Cuánto gasta en
material escolar? ¿Y en celebrar su cumpleaños?
11. Halla dos números consecutivos tales que la
suma de la tercera parte del mayor y la quinta parte
del menor sea igual a la mitad del menor más uno.
12. El perímetro de un rectángulo es de 60 m.
Sabiendo que la base mide 2/3 de la longitud de su
altura, calcula la longitud de cada lado y el área del
rectángulo.

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13. Calcula la edad de una persona sabiendo que si
al triple de la edad le quito 2 y divido este resultado
por 5 me da la mitad de la edad más 2.
14. Se reparte un lote de discos entre tres alumnos.
El primero recibe la tercera parte más 4, el segundo
un sexto del resto y el tercero recibe 5 discos.
¿Cuántos discos se han repartido? ¿Cuántos recibe
cada uno?
15. Si del contenido de un depósito se extraen sus
2/7 y sus 3/5, quedan 12 litros. Halla el volumen
contenido en el depósito.
Ecuaciones de segundo grado
5. Ecuaciones incompletas
Toda ecuación de segundo grado se puede reducir a
la forma: ax2+ bx + c = 0 (a>0)
La ecuación es incompleta si b = 0 o c = 0 (observa
que si a = 0 la ecuación es de primer grado).

Se despeja x
3x2 = 0
x2 = 0
x = 0

Se despeja x
2x2–8=0
x2=4
2
4
2
x
x
x

   
 

Se despeja x
2x2–8=0
x2=4
2
4
2
x
x
x

   
 
16. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 3x2 - 27 = 0 b) 3x2 + 10 = 1
c) 4x2 - 25 = 0 d) x(x + 5) - 8x = 0
e) 3(x2 - 1) + 5 = x2 + 2
f) 4x2 + 9x = x2 -3x
6. Ecuaciones completas
Para resolver estas ecuaciones se emplean las
siguientes fórmulas:
2 4
1 2
b b ac
x
a
  
 ,
2 4
1 2
b b ac
x
a
  

Si b2 - 4ac > 0
Tiene dos soluciones
X2 - 5x + 6 = 0
(a = 1, b = -5, c = 6)
35 25 24 1
22
2
x
x
x
  
  

Si b2 - 4ac = 0
Tiene una solución
2x2 - 4x + 2 = 0
(a = 2, b = -4, c = 2)
4 0
1
4
x

 
Si b2 - 4ac < 0
No tiene solución
X2 + 2x + 3 = 0
(a = 1, b = 2, c = 3)
2 4 12
2
x
  

17. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo
grado:
a) x2 - 4x + 3 = 0 b) 3x2 + 3x - 6 = 0
c) x2 - 6x + 9 = 0 d) 3x2 - 5x + 2 = 0
e) 6x2 + 2x + 1 = 0 f)
 11
2 3
x xx 


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7. Ecuaciones reducibles a ecuaciones de segundo
grado
Ecuaciones bicuadradas: son ecuaciones que se
reducen a la forma: Ax4 + bx2 + c = 0.
Ejemplo: Para resolver x4 - 8x2 - 9 = 0 se sustituye
x2 por z: z2 - 8z - 9 = 0
Se resuelve:
98 64 36 8 10 1
12 2
2
z
z
z
   
   
 
Para calcular x se hallan las raíces cuadradas:
2 9 9 3
2 1 1
x x
x x
      

      
1 no da lugar a ninguna solución.
Las soluciones de la ecuación:
x4 - 8x2 - 9 = 0 son x = 3 y x = -3.
Ecuaciones radicales: son aquellas en las que la
incógnita aparece bajo el signo radical.
Resolver la ecuación 4 2x x  
Se aísla la raíz: 2 4x x  
Se elevan al cuadrado los dos miembros:
x + 2 = (x - 4)2
Se resuelve esta ecuación:
x + 2 = x2 - 8x + 16; x2 - 9x + 14 = 0 
2
7
x
x
x

 

Se comprueban las soluciones en la ecuación
radical: x = 7 es solución, pero x = 2 no lo es.
18. Resuelve las ecuaciones:
a) x4 - 40x2 + 144 = 0 b) 4x4 + 3x2 - 1 = 0
c) x4 - 18x2 + 32 = 0
19. Resuelve las ecuaciones:
a) 2 1 2x x   b) 2
2 9 3x x x   
c) 36 2x x   d) 4 2 2x x   
8. Planteamiento de ecuaciones
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 4
cm más que el cateto menor, mientras que el otro
cateto mide 2 cm menos que la hipotenusa. ¿Cuál es
la longitud de cada lado?
1. ª Hacer el dibujo:
2. ªIdentificar las cantidades conocidas y las
desconocidas: llamamos x al cateto menor.
3. º Buscar relaciones entre los datos y las
incógnitas: aplicamos el teorema de Pitágoras:
X2 + (x + 2)2 = (x + 4)2
 2x2 + 4x + 4 = x2 + 8x + 16  x2 – 4x – 12 = 0
4. º Resolver: x2 – 4x – 12 = 0  x1 = 6, x2 = -2 no
válida.
El cateto menor mide 6 cm, el cateto mayor mide 8
cm y la hipotenusa mide 10 cm.
20. Luis tiene 6 amigos más que Javier y la suma de
los cuadrados del número de amigos de cada uno es
468. ¿Cuántos amigos tiene Luis? ¿Y Javier?
21. Halla un número tal que si a la novena parte de
su cuadrado se le resta cuatro se obtiene dicho
número.
22. Se reparten 300 pesetas entre varios niños. Si
hubiera dos niños menos, cada uno tocaría a 40
pesetas más. ¿Cuántos niños son?
23. La décima parte del producto de números
consecutivos coincide con el doble del menor
menos 7. ¿Cuáles son tales números?
24. El perímetro de un rectángulo es 54 cm, y su
área 180 cm2. Calcula sus dimensiones.
xx + 4
x + 2

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25. Dos pintores pintan una habitación en 2 horas.
¿En cuánto tiempo la pintaría cada uno por
separado sabiendo que uno de ellos tarda 3 horas
menos que el otro?
Sistemas de ecuaciones
9. Ecuaciones con dos incógnitas
5x + 2y = 7 es una ecuación de primer grado con
dos incógnitas, la x y la y.
Los coeficientes de las incógnitas son 5 y 2; el
término independiente es 7.
El par de valores x=1, y=1, es una solución de la
ecuación porque 5·1 + 2·1 = 7.
Para obtener una solución basta dar a una de las
incógnitas el valor que se desee y resolver la
ecuación resultante.
Ejemplo: Si x = 0 queda: 2y = 7  y = 7/2. Por
tanto el par x = 0, y = 7/2 es solución.
Este proceso se puede repetir las veces que se
quiera, por lo que toda ecuación de primer grado
con dos incógnitas tiene tantas soluciones como se
desee.
26. En un concierto benéfico se venden todas las
entradas y se recaudan 23 mil dólares. Los precios
de las entradas son 50 dólares las normales y 300
dólares las vip. Calcular el número de entradas
vendidas de cada tipo si el aforo del
establecimiento es de 160 personas.
27. Comprueba si los siguientes valores de x e y son
solución de las ecuaciones:
a) x = 0, y = 2 en la ecuación 3x + 7y = 14
b) x = -1, y = 1 en la ecuación -2x + 5y = 3
28. Halla una solución de la ecuación:
2(x + 3) - y = 3 en la que x = 2.
29. Para y = -3, halla x para que el par de valores
sea solución de la ecuación 5(x - 1) + 2(y - 2) = 5.
30. Obtén dos soluciones distintas para cada una de
las siguientes ecuaciones:
a) 9x - 4y = 1 b) 1
4 6
x y
 
10. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Resolver el sistema
3 2 5
2 2
x y
x y
  

  
Método de sustitución
1.º Se despeja y en la segunda ec.:
3 2 5
2 2
x y
y x
  

 
2. º Se sustituye este valor en la primera:
3x – 2(2x + 2) = -5  -x – 4 = -5
3. º Se resuelve la ec. que resulta: x = 1
4. º Se sustituye x = 1 en la segunda ecuación ya
despejada: y = 2·1 + 2  y = 4
Método de reducción
1. º Se multiplica por –2 la segunda ecuación, para
que la incógnita y tenga coeficientes opuestos:
3 2 5
4 2 4
x y
x y
  

 
2. º Se suman las dos ecuaciones: -x = -1  x = 1
3. º Se repite el mismo proceso para la incógnita x o
bien se sustituye el valor de x en una de las
ecuaciones y = 4.
Por cualquiera de los métodos empleados se
obtiene la solución x = 1, y = 4
31. Dado el sistema
4 13
5 7 16
x y
x y
 

  
, obtén otro equivalente que tenga
la y de la primera ecuación despejada.

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32. Dado el sistema
3 4 5
13
2
2
x y
x y
  


 
, obtén otro
equivalente que tenga los coeficientes de x
opuestos.
33. Dado el sistema
11
3 5 1
x y
x y
 

 
, obtén otro
equivalente en cuya segunda ecuación haya
desaparecido la x.
34. Resuelve los siguientes sistemas por el método
de sustitución:
a)
3 7
5 2 16
x y
x y
 

  
b)
4 3 1
3 5 8
x y
x y
 

 
c)
2 7 1
4 16
x y
x y
 

 
d)
5( 1) 3 3
2 7( 1) 12
x y
x y
  

  
e)
2
2 3
3 3 1 17
2 3 3
x y
x y

 

  

35. Resuelve las siguientes ecuaciones por el
método de reducción:
a)
2 5
4 13
x y
x y
 

 
b)
2 5 12
7 2 11
x y
x y
  

  
c)
2 3 14
4(3 ) 0
x y
x y
  

 
d)
2 5( 2) 5
3( 2) 7 1
x y
x y
  

  
e)
5 3
4
4 3
x y
x y
  


 
11. Planteamiento y resolución de sistemas
En la panadería, Pedro pagó 500 pesetas por 5
barras de pan y 3 ensaimadas. Si Irene pago 190
pesetas por 2 barras y una ensaimada, ¿cuál es el
precio de la barra de pan? ¿y el de la ensaimada?
1. º Entender el enunciado y las relaciones que
describe:
Al comprar diferentes cantidades de los mismos
productos, el precio total será también diferente.
Conocemos el precio total para dos compras.
2. º Identificar las cantidades desconocidas y
asignar una letra a cada una:
Debemos calcular el precio de cada barra: x, y de
cada ensaimada: y.
3. º Separar las condiciones del problema:
a) Pedro pagó 500 pesetas por 5 barras y 3
ensaimadas
b) Irene pagó 190 pesetas por 2 barras y una
ensaimada.
4. º Transformar las condiciones en ecuaciones:
De la primera condición: 5x + 3y = 500
De la segunda condición: 2x + y = 190
5. º Resolver el sistema: x = 70 e y = 50
6. º Comprobar si el resultado tiene sentido y es
correcto:
El resultado deben ser números enteros, positivos
y no excesivamente grandes.
Además 5·70 + 3·50 = 500 y 2·70 + 50 = 190
36. En un triángulo isósceles de 14 cm de
perímetro, el lado desigual es tres veces menor que
el otro lado. ¿Cuánto mide cada lado?
37. Un maestro compra 30 objetos, entre lápices y
bolígrafos, con un coste de 1240 pesetas. Si los
lápices cuestan 25 pesetas y los bolígrafos 60
pesetas, ¿cuántos bolígrafos compró? ¿Cuántos
lápices?
38. Un ramo de flores compuesto de 5 rosas y 8
margaritas cuesta 4 100 pesetas. Si está formado
por 2 rosas y 6 margaritas su precio es 2 200

8. Página 8 de 11
pesetas. ¿Cuál es el precio de una rosa? ¿Y de una
margarita?
39. En una tienda de anticuario hay 12 candelabros
de dos y tres brazos. Si para utilizarlos se necesitan
31 velas, ¿cuántos candelabros hay de cada tipo?
40. Un padre quiere repartir el dinero que lleva en
el bolsillo entre sus hijos. Si a cada hijo le da 700
pesetas, le sobran 200 pesetas; pero si da a cada
uno 800 pesetas, le faltan 200 pesetas. ¿Cuánto
dinero lleva en el bolsillo? ¿Cuántos hijos tiene?
41. En el recreo, los alumnos de dos aulas se pasan
de una a otra. Si pasan 4 de la primera a la segunda,
hay en ésta un alumno más que en la primera. Pero
si pasan 4 de la segunda a la primera serán doble en
la primera que en la segunda. ¿Cuántos alumnos
tiene cada clase?
42. Hoy, la edad de un hijo es un año menos que 1/3
de la edad de su madre. Si dentro de cinco años la
edad de la madre será 10 años mayor que el doble
de la de su hijo, ¿qué edad tienen?
12. Resolución gráfica de sistemas
Cada una de las ecuaciones de un sistema se puede
representar como una recta.
Las coordenadas de los puntos de la recta son las
soluciones de la ecuación.
Resolver gráficamente el sistema
3 8
8 2 2
x y
x y
 

  
, despejamos y en las dos
ecuaciones
3 8
4 1
y x
y x
  

 
Tomamos dos puntos de y=-3x + 8; A(0,8), B(1,5) y
trazamos la recta que los une.
Tomamos dos puntos de y= 4x + 1; M(0,1), N(1,5)
y trazamos la recta que los une.
El punto de intersección de las dos rectas es (1, 5),
luego la solución es: x = 1, y = 5.
43. Resuelve gráficamente el sistema
4 3
6 5 11
x y
x y
 

  
44. Resuelve gráficamente el sistema
3 4 8
7 6 12
x y
x y
  

 
45. Indica cuál es la representación gráfica del
sistema
3 4
2 6
x y
x y
 

 
X
Y
1
5
A
M
B = N = (1,5)
y = 4x + 1
y =-3x + 8

9. Página 9 de 11
Desigualdades e inecuaciones
13. Desigualdades
Si a los dos miembros de una desigualdad se les
suma o resta un mismo número, se obtiene otra
desigualdad con el mismo sentido:
2 < 6, sumando 3 se tiene: 5 < 9 -6 < -2,
sumando 8 se tiene: 2 < 6
2 < 6, restando 3 se tiene: -1 < 3 -6 < -2,
restando 8 se tiene: -14 < -10
Si los dos miembros de una desigualdad se
multiplican o dividen por un número mayor que
cero, se obtiene otra desigualdad con el mismo
sentido:
2 < 6, multiplicando por 4 se tiene: 8 < 24
-3 < -1, multiplicando por 4 se tiene: -12 < -4
Si los dos miembros de una desigualdad se
multiplican o dividen por un número menor que
cero, la desigualdad cambia de sentido:
2 < 6, multiplicando por -4 se tiene: -8 > -24
-3 < -1, multiplicando por -4 se tiene: 12 < 4
46. Pon en los recuadros siguientes el símbolo <, =,
> que convenga:
a) -4  3 b) -8  -7 c) 6  -12
d) -3  0 e) 0  03 f) (-1)3 (-3)3
g) 2/3  4/5 h) 40  (-1)4 i) 16/6  8/3
47. Escribe las desigualdades que se obtienen al
hacer las siguientes operaciones:
a) Suma 8 en: 3 < 7
b) Resta 3 en: 8 > 5
c) Multiplica por 4 en: -2 < 2
d) Suma 7 en: -4 < 1
e) Resta 6 en: -3 > -7
f) Multiplica por (-3) en: 6 < 10
g) Multiplica por (-2) en: -5 < -4
h) Multiplica por (-5) en: -8 < -5
48. Escribe como intervalos las siguientes
desigualdades y represéntalos en la recta real:
a) -3 < x < 4 b) -4 < x  2 c) 4  x < 8
d) -6  x  -3 e) x < 5
14. Soluciones de una inecuación
Las soluciones de una inecuación son los números
reales tales que al sustituirlos por las incógnitas
hacen que la desigualdad sea cierta.
x = 2 es solución de 3 - x < 2 porque es cierto que
3 - 2 < 2
x = 0 no es solución de 3 - x < 2 porque es falso que
3 - 0 < 2
Si damos a x otros valores obtenemos:
Las soluciones de esta inecuación son todos los
números mayores que 1.
Las soluciones forman el intervalo (1, +).
Ecuación asociada a una inecuación es la que
resulta de sustituir el símbolo de desigualdad por el
símbolo de igualdad. Su solución ayuda a resolver la
inecuación.
Ejemplo: La ecuación asociada a -x + 4 < 6 + x es -x
+ 4 = 6 + x
49. Averigua para cuáles de los números -4 y 3 son
ciertas las siguientes desigualdades:
a) 3x - 7 < 1 + 2x b) 2x - 8 > -4x + x2
c) x2 + 4  0 e) x2 + x + 1 > 0
d) -2x < x + 9 f) x - 3 > 4 + x
50. Indica gráficamente el signo del valor numérico
de las siguientes expresiones para los diferentes
valores posibles de x.
a) x - 8 b) 5x + 20

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51. Escribe y resuelve las ecuaciones asociadas a las
siguientes inecuaciones:
a) 9 + x < 3 - 2x b) 2 + 3(x - 1) < x + 5
15. Transformación de inecuaciones. Reglas de la
suma y del producto
Regla de la suma: Si a los dos miembros de una
inecuación se les suma o resta un mismo número o
expresión algebraica, se obtiene otra inecuación
con las mismas soluciones.
Resolver la inecuación 5x – 3  6x + 5
Se resta 5 a los dos miembros: 5x – 8  6x
Se resta 5x a los dos miembros: -8  x
La solución de la inecuación dada es –8  x o el
intervalo [-8,+).
Regla del producto: Si a los dos miembros de una
inecuación se les multiplica o divide por un mismo
número:
- mayor que cero, se obtiene otra inecuación con las
mismas soluciones.
x/4 < 2 multiplicando por 4 se tiene x < 8
3x < 9 dividiendo por 3 se tiene x < 3
- menor que cero, se cambia el sentido de la
desigualdad para que tenga las mismas soluciones.
-x/7 < 2 multiplicando por (-7) se tiene x > -14
-5x < 10 dividiendo por (-5) se tiene x > -2
52. Resuelve, paso a paso, las siguientes
inecuaciones:
a) 6x - 4 < 5x + 3 b) 4 - 3x  -2x – 2
c) 5 + 2x > 3x + 8
53. Representa gráficamente las soluciones de las
siguientes inecuaciones:
a) 3x + 4 < 1 + 4x b) 5x + 1  -1 + 4x
c) 7x + 14 > 6x + 14
54. Resuelve, paso a paso, las siguientes
inecuaciones:
a) 2x + 5 < 4x - 3
b)
3 3
3 7
2
x
x

   3x
55. Resuelve, paso a paso, las siguientes
inecuaciones:
a)
3
3 2 4
2
x
x   b)
3 2 4 2 1
6 3 4
x x x  
 
56. Resuelve y representa gráficamente las
soluciones de las siguientes inecuaciones:
a) -3x + 4 < -5x + 6 b)
3 5 2
2 3
x x 

(Multiplica por 6) c) 4 - x < -6x – 11
16. Resolución de inecuaciones de primer grado.
En la resolución de inecuaciones conviene seguir el
mismo orden que se sigue en las ecuaciones.
Resolver la inecuación
3 1 1
4 2 6
x x x  
 
Se quitan denominadores multiplicando por 12 =
m.c.m. (4, 2, 6):
3(x - 3) + 6(1 - x)  2(x + 1)
Se quitan paréntesis:
3x- 9 + 6 - 6x  2x + 2
Se simplifica:
-3x- 3  2x + 2
Se trasponen términos:
-2 - 3  2x + 3x
Se reducen los términos semejantes:
-5  5x
Se despeja la incógnita:
-1  x
La solución es -1  x o el intervalo [-1, +).

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57. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) x - 3 < 5(x - 2) – 1 b) 3x - 2 > x + 3(1 – x)
c) x2 < x·(x - 1)
d) (x - 3)(x + 2) < (4 - x)(1 - x)
58. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 1
7 3 21
x x x
   b)
2 1 3
0
4 8
x x 
 
c)
1 3 5 2 4 1
3 2 6
x x x  
 
d)
3 12 5
2
2 9 6
x x x
x

  
e)
4 5 1
14
22 11
x x 
 
59. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a)
3 1
1
6 2
x x
x
 
  
b)
2 1 3 2 1
4 6 3
x x x  
 
c)
2 3
2 0
5 3
x x
x
 
   
d)
3 1 3 2 11
2
4 2 4
x x
x
 
  
e)
2 7 1 4 3
2
9 3 27
x x x  
  
17. Resolución gráfica de inecuaciones
Dada una inecuación de la forma ax + b < 0, o ax +
b  0, o ax + b > 0, o ax + b  0, llamamos recta
asociada a la inecuación a la gráfica de la función
lineal y = ax + b.
Dicha gráfica permite obtener la solución de la
inecuación con tal de observar para qué valores de
x se verifica: y < 0, o y  0, o y > 0, o y  0, según
sea el caso.
Resolver la inecuación 10x + 3 > 2x - 5
Se deja un miembro igual a 0: 10x - 2x + 3 + 5 > 0
Al simplificar resulta la inecuación x + 1 > 0
Dibujamos su recta asociada:
y = x + 1
Buscamos
los valores
de x que
hacen la y
positiva (y
> 0). Por
tanto,
la solución
es x > -1,
igual al intervalo (-1, +).
60. Resuelve las siguientes inecuaciones dibujando
su recta asociada:
a) 7x - 3  0 b) 9 - 4x  0
61. Interpretar gráficamente las soluciones de las
siguientes inecuaciones:
a) 4x - 1 < 2x + 3 b) 4 - 3x > 7 - 4x
Bibliografía
Anfossi, A. (1947). CURSO DE ALGEBRA. MEXICO,
D. F.: PROGRESO.
BALDOR, A. (2009). ÁLGEBRA. MEXICO, D. F.:
PATRIA.
Referencia
https://www.youtube.com
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/ma
teriales_didacticos/EDAD_2eso_ecuaciones/2esoqu
incena6.pdf
X
Y
1
1
-1
y < 0 y > 0
y = x + 1