1. PREPARACIÓN GLOBAL 3ª EVALUACIÓN
1. Dada la función
Determina los siguientes límites:
2. Dada la función
Estudie el comportamiento cuando
3. Calcula los siguientes límites

2. 4. Dada la función
a) Determina el valor de a para que la función sea continua en
b) Para ese valor de a la función ¿es derivable en ?
c) ¿Es derivable en ?
a) Para que la función sea continua en x = -1 tiene que verificarse que
Para que exista el tienen que existir los limites laterales y ser iguales.
Como
tiene que ser .
b) Para , la función queda
y la función derivada será
Para que sea derivable en x = -1, tiene que ser
Como , , las derivadas laterales coinciden luego la función es
derivable en x = -1, siendo
c) Veamos si es derivable en x = 1. Para que sea derivable debe ser obligatoriamente continua. Pero
como los límites laterales
son distintos, entonces la función no tiene límite en x = 1 y no es continua en ese punto y, por tanto,
tampoco es derivable.
5. Sea la función
a) Calcule m para que la función sea continua en x = 1.
b) Para ese valor de m, ¿es derivable la función en x = 1?
Para que la función sea continua en x = 1 tiene que verificarse que
Para que exista el tienen que existir los limites laterales y ser iguales.
Como

3. tiene que ser .
La función derivada, para ese valor de m, es
Para que sea derivable en x = -1, tiene que ser
Como , , las derivadas laterales no coinciden luego la función no es
derivable en x = 1.
6. Sea la función
determine los valores de los parámetros a y b, para que sea continua y derivable
La función es continua y derivable en cada uno de los trozos por tratarse de funciones polinómicas.
El único punto donde podemos tener dudas es el punto x=0.
Para que sea continua en x=0 tiene que ser:
Calculamos los límites laterales y los igualamos
Tiene que ser
La función derivada (salvo en x=0) es
Para que sea derivable, es necesario que las derivadas laterales sean iguales
Luego, tendrá que ser
1. Se considera la función real de variable real definida por:
a) Represéntese gráficamente la función f.
b) Hállese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

4. a)
b) La ecuación de la recta tangente en el punto 1 es:
La ecuación será:
7. Se considera la curva de ecuación cartesiana:
Calcúlense las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva propuesta es paralela a
la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene de ecuación , luego su pendiente es 1.
Se trata de hallar los puntos en los que la pendiente de la recta a la curva que nos dan, se 1. La pendiente de
la recta tangente a nuestra curva en un punto viene dada por , es decir, habrá de ser .
Como
Se trata del punto de abscisa y de ordenada
Solución:
8. Se considera la función real de variable real definida por: . Calcúlense a,

5. b para que la función f tenga un máximo relativo en x = 1 y un mínimo relativo en x = 2.
Como en los puntos la función tiene puntos singulares, es necesario que en esos puntos se anule la
derivada primera. Como , tiene que ser:
Resolviendo el sistema se obtiene que
9. Una empresa produce cable de fibra óptica, que vende a un precio de x euros por metro. Se estima
que la venta diaria de cable (en miles de metros) se expresa en términos del precio mediante la
función:
.
a) Obténgase la función I(x) que determina los ingresos diarios de la empresa en función del precio x.
b) Calcúlese el precio x que ha de fijarse para que el ingreso diario sea máximo y calcúlese dicho
ingreso máximo.
c) Determínense las asíntotas de I(x) y esbócese la grafica de la función I(x).
Los ingresos diarios vienen dados por función producto de los metros fabricados por el precio de un metro,
es decir:
Para hallar el máximo de la función , igualamos la derivada primera a cero.
Desechamos la solución (es absurdo que el precio sea negativo).
Como , la función pasa de creciente a decreciente, luego en alcanza un
máximo, que vale
Como
la recta es asíntota horizontal. No tiene asíntotas verticales (la función nunca se hace ∞) ni tampoco
asíntotas oblicuas. La gráfica sería

6. 10. Dada la función , determine:
a. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos de la función.
b. Los intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.
Hallamos la derivada primera
-∞ -2 2 +∞
positiva 0 negativa positiva
crece decrece crece
crece en ∞ ∞ , decrece en . Alcanza un mínimo relativo en x=2 y un máximo relativo en x=-2
Hallamos la derivada segunda
Anulamos la derivada segunda:
-∞ 0 +∞
negativa 0 positiva
∩
f es cóncava en ∞ , f es convexa en ∞ . Tiene un punto de inflexión en x = 0.
11.
Como
la recta es asíntota horizontal.
Como la función se hace infinito cuando , las rectas y , son asíntotas verticales.
No tiene asíntotas oblicuas.
-∞ 0 +∞
positiva 0 negativa
crece decrece
La función crece en ∞ , decrece en ∞ . Alcanza un máximo relativo en , que vale