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TEMA II: Ejercicios de Límites

1. Calcular los siguientes límites (directos):




e) Funciones racionales con polinomios: descomponemos en factores y simplificamos.




2. Calcular los siguientes límites (con indeterminaciones para analizar):
 a)                   b)                  c)                 d)




e)                      f)                       g)                         h)




a)



b)



c)



d)



e)




                                                  1
f)




g)




h)




3. Analizar la continuidad y calcular las asíntotas de las siguientes funciones:
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos
una de las variables (x o y) tienden al infinito. Son límites de las funciones.
Asíntotas Verticales: Nos indican a que tiende la función cuando la x no está definida, son rectas
paralelas al eje OY. Se escriben x = valor de la asíntota horizontal. El número máximo de asíntotas
verticales que puede tener una función es dos.


Asíntotas Horizontales: Nos indican a que tiende la función cuando la x es muy grande o muy pequeña,
son rectas paralelas al eje OX. Se escriben y = valor de la asíntota horizontal. Las funciones racionales
tienen asíntota horizontal cuando el numerador y el denominador son del mismo grado y cuando el grado
del denominador es mayor que el grado del numerado.



                                                    2
a)                   b)                    c)                           d)



a)


Para saber si la función tiende a uno por arriba o por abajo damos valores "grande y pequeño" a x,




b)



Hay asíntota horizontal en y=0 que es la ecuación del eje OX.

c) Asíntotas oblicuas: una función racional tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del
numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. Las asíntotas horizontales y
oblicuas son incompatibles. Si hay unas no puede haber de las otras.

Como el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador tiene asíntota oblicua.


                             Hay una asíntota oblicua. Calculamos su ecuación




Ecuación: y = x - 1 (para representarla damos valores)

d)


                                                   La ecuación de la asíntota es: y = x - 1




                                                    3
4. Estudiar la continuidad de la función en los puntos x =2 y x = 5.



Continuidad de la función en el punto x = 2




Vemos que se cumplen las 3 condiciones luego la función es continua en el punto x=2

Continuidad de la función en el punto x = 5




La función en x = 5 tiene una discontinuidad de salto infinito. Las funciones racionales tendrán una
discontinuidad de salto infinito en aquellos valores de x donde no estén definidas.




5. Estudiar la continuidad de la función f(x) en x=1




                                                      4
6. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
a)                                 b)                                       c)




a)




6b). Estudiar la continuidad de la función




El valor de la función no coincide con el valor del límite. En el punto x = 1 la imagen f(x) toma valor f(1)=3 y
el límite vale 1. Discontinuidad evitable.

c) Continuidad en x=-2




Se cumplen las 3 condiciones y por lo tanto la función es continua en x = -2
                                                       5
Continuidad en x = 1




Como los límites laterales son distintos la función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 1

7. Calcular el valor de a para que la siguiente función sea continua:




8. Calcula los siguientes límites:




Soluciones


9. Calcular:




                                                  6
10. De la siguiente función se pide:




11. Calcular los siguientes límites:




12. Estudiar si existe algún valor de k que haga continua a las siguientes funciones:




13. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:




                                                 7
14. Representar la siguiente función y razonar si es continua en los puntos que se indican:




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  • 1. TEMA II: Ejercicios de Límites 1. Calcular los siguientes límites (directos): e) Funciones racionales con polinomios: descomponemos en factores y simplificamos. 2. Calcular los siguientes límites (con indeterminaciones para analizar): a) b) c) d) e) f) g) h) a) b) c) d) e) 1
  • 2. f) g) h) 3. Analizar la continuidad y calcular las asíntotas de las siguientes funciones: Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Son límites de las funciones. Asíntotas Verticales: Nos indican a que tiende la función cuando la x no está definida, son rectas paralelas al eje OY. Se escriben x = valor de la asíntota horizontal. El número máximo de asíntotas verticales que puede tener una función es dos. Asíntotas Horizontales: Nos indican a que tiende la función cuando la x es muy grande o muy pequeña, son rectas paralelas al eje OX. Se escriben y = valor de la asíntota horizontal. Las funciones racionales tienen asíntota horizontal cuando el numerador y el denominador son del mismo grado y cuando el grado del denominador es mayor que el grado del numerado. 2
  • 3. a) b) c) d) a) Para saber si la función tiende a uno por arriba o por abajo damos valores "grande y pequeño" a x, b) Hay asíntota horizontal en y=0 que es la ecuación del eje OX. c) Asíntotas oblicuas: una función racional tiene asíntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. Las asíntotas horizontales y oblicuas son incompatibles. Si hay unas no puede haber de las otras. Como el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador tiene asíntota oblicua. Hay una asíntota oblicua. Calculamos su ecuación Ecuación: y = x - 1 (para representarla damos valores) d) La ecuación de la asíntota es: y = x - 1 3
  • 4. 4. Estudiar la continuidad de la función en los puntos x =2 y x = 5. Continuidad de la función en el punto x = 2 Vemos que se cumplen las 3 condiciones luego la función es continua en el punto x=2 Continuidad de la función en el punto x = 5 La función en x = 5 tiene una discontinuidad de salto infinito. Las funciones racionales tendrán una discontinuidad de salto infinito en aquellos valores de x donde no estén definidas. 5. Estudiar la continuidad de la función f(x) en x=1 4
  • 5. 6. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: a) b) c) a) 6b). Estudiar la continuidad de la función El valor de la función no coincide con el valor del límite. En el punto x = 1 la imagen f(x) toma valor f(1)=3 y el límite vale 1. Discontinuidad evitable. c) Continuidad en x=-2 Se cumplen las 3 condiciones y por lo tanto la función es continua en x = -2 5
  • 6. Continuidad en x = 1 Como los límites laterales son distintos la función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 1 7. Calcular el valor de a para que la siguiente función sea continua: 8. Calcula los siguientes límites: Soluciones 9. Calcular: 6
  • 7. 10. De la siguiente función se pide: 11. Calcular los siguientes límites: 12. Estudiar si existe algún valor de k que haga continua a las siguientes funciones: 13. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 7
  • 8. 14. Representar la siguiente función y razonar si es continua en los puntos que se indican: 8