1. I.E.S. CALDERÓN DE LA BARCA CURSO 2.010/2.011
MMAACCSS 2. BTO A DISTANCIA CAL
SEGUNDA EVALUACIÓN. solución
NOMBRE FECHA: 11/03/2011
GAUSS
INSTRUCCIONES: Deberá responder a 5 ejercicios. Los ejercicios 1 y 2 son obligatorios. Deberá elegir otros tres entre los
ejercicios 3, 4, 5 y 6
1. Las necesidades mínimas semanales de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas son, respectiva-
mente, 8, 12 y 9 unidades. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mez-
clando dos productos A y B, cuyos contenidos por kg. son los de la siguiente tabla:
Proteínas Hidratos Grasas euros/kg
A 2 6 1 6
B 1 1 3 4
a) Plantea el problema: función objetivo y restricciones. (0.5 puntos)
b) Dibuja la región factible (0.5 puntos)
c) ¿Cuántos kg. de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el coste de preparar la dieta sea
mínimo? (1 punto)
a) Se trata de minimizar la función sometida a las siguientes restricciones
b) La región factible es la que aparece sombreada en el siguiente gráfico
c) La siguiente tabla muestra los vértices de la región factible (no acotada, no hay máximo en este caso) junto a los
valores que toma la función objetivo en cada uno de ellos.
Vértice Decisión
A(0, 12) 48
B(1, 6) 30
C(3, 2) 26 Mínimo
D(9, 0) 54
El coste de preparar la dieta es mínimo, utilizando 3 kg. de producto A y 2 kg. de producto B. Dicho coste es de
26€.
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2. 2. La longitud de los cables de los auriculares que fabrica una empresa es una variable aleatoria que sigue una ley
Normal con desviación típica 4.5 cm. Para estimar la longitud media se han medido los cables de una muestra
aleatoria de 9 auriculares y se han obtenido las siguientes longitudes, en cm:
205, 198, 202, 204, 197, 195, 196, 201, 202.
a) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la longitud media de los cables. (1 punto)
b) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra de estos auriculares para que el error de estima-
ción de la longitud media sea inferior a 1 cm, con el mismo nivel de confianza del apartado anterior. (1 punto)
a) Si es la variable aleatoria que mide la longitud de los cables, tenemos (del enunciado) que y
La media muestral vale:
Un intervalo de confianza para la media poblacional es:
Como nos piden el intervalo del 97%, para calcular buscamos en la tabla de la N(0, 1) de forma que:
El intervalo de confianza es, pues:
b) El error de la estimación en nuestro (suponiendo una muestra de tamaño n) es:
debemos hallar el valor de n, para que
El tamaño de la muestra deberá ser , como mínimo, 96
3. El peso de las naranjas sigue una distribución normal de media 175 gramos y desviación típica 12 gramos. Si las
metemos en bolsas de 10 naranjas:
a. ¿Cuál es la distribución de la media de los pesos de las naranjas de las bolsas? (0.5 puntos)
b. ¿Cuál es la probabilidad de que en una de esas bolsas la media del peso de las naranjas esté comprendida
entre 170 y 180 gramos? (1.5 puntos)
a) La variable aleatoria asociada al peso de las naranjas y el peso medio de una bolsa de 10 naran-
jas es
b)
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3. 4. El 75% de los alumnos acude a clase en algún tipo de transporte y el resto andando. Llega puntual a clase el 60%
de los que utilizan transporte y el 90% de los que acuden andando. Calcular de forma razonada:
a) Si se elige un alumno al azar, la probabilidad de que no haya llegado puntual. (1 punto)
b) Si se elige al azar uno de los alumnos que ha llegado puntual a clase, la probabilidad de que haya acudido
andando. (1 punto)
a) Si representas los sucesos “ir en transporte” e “ir andando” y los sucesos “llegar puntual” o “no lle-
gar puntual” nos piden:
b)
5. Una caja contiene 10 tornillos de los que tres son defectuosos. Se extraen cuatro tornillos. Se pide:
a) La probabilidad de que los cuatro tornillos sean buenos. (1 punto)
b) La probabilidad de que al menos uno, de los cuatro tornillos, sea defectuoso. (1 punto)
a. En este ejercicio tenemos que considerar dos posibilidades. Que se extraiga un tornillo, se observe y se devuelva
a la caja, repitiendo el proceso 4 veces, es decir, con reemplazamiento; o que se vayan extrayendo los tornillos y
no se devuelvan a la urna (sin reemplazamiento).
Las probabilidades en cada caso serían:
Con reemplazamiento. En este caso existe independencia entre los resultados en cada una de las extracciones.
Como la probabilidad de obtener un tornillo bueno es: , tendremos
Sin reemplazamiento. Ahora los sucesos son dependientes (el resultado del 2º tornillo depende del resultado de
la primera extracción). La probabilidad será:
b. Observemos que el suceso “al menos uno sea defectuoso” es el suceso contrario de “ninguno sea defectuoso”
que es el mismo que “todos sean buenos” y la probabilidad de este suceso la hemos calculado en el apartado a,
por tanto
Esta probabilidad dependerá de que estemos tratando el caso con reemplazamiento o sin reemplazamiento
Con reemplazamiento
Sin reemplazamiento
6. Se dispone de la siguiente información relativa a los sucesos A y B:
a) Calcula las probabilidades de los sucesos
(0.75 puntos cada una)
b) ¿Son incompatibles? ¿Son independientes?. Razónese. (0.25 puntos cada razonamiento correcto)
a.
b. Los sucesos no son incompatible ya que al ser se tiene que
Son independientes pues
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