Este documento trata sobre la cinemática en una y dos dimensiones. Explica conceptos básicos como partícula, punto de referencia, sistema de referencia, trayectoria, reposo y movimiento. Luego define y explica cantidades cinemáticas como posición, desplazamiento, distancia recorrida, velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media e instantánea. Finalmente, presenta gráficas posición-tiempo, velocidad-tiempo y aceleración-tiempo.

1. Cinemática en
una y dos
dimensiones
1
Mg. Marcos Guerrero

2. 2

3. 3
¿Qué es la mecánica?
Parte de la Física que estudia los fenómenos de reposo y movimiento
que tienen los cuerpos u objetos.
Cinemática.
Se clasifica en:
Dinámica.
¿Qué es la cinemática?
Parte de la mecánica que estudia los fenómenos de reposo y movimiento
que tiene los cuerpos u objetos sin importar las causas que lo producen.
¿Qué causa el reposo y el movimiento de los cuerpos?
Las fuerzas.

4. 4
Partícula.
Definición:
Es un cuerpo u objeto cuyas dimensiones no afectan el estudio de su
reposo y su movimiento, es decir, tiene dimensiones que comparadas con
otros que intervienen en un fenómeno resulta despreciable.
Ejemplo:
Imaginemos que tenemos un vehículo que se mueve en una trayectoria
rectilíneo, tal como se muestra en la figura y que además consideraremos 3
puntos A, B y C que pertenecen al vehículo.

5. 5
Conclusión:
Nos podemos dar cuenta que los puntos A, B y C recorren la misma
distancia, realizan el mismo desplazamiento, tienen la misma rapidez, etc..
Por lo tanto basta con analizar un solo punto y se estudia todo el
fenómeno.
Es importante indicar que esta definición es una idealización del
fenómeno del reposo y del movimiento.

6. 6
Punto de referencia.
Definición:
Es un punto u objeto material que describe el reposo y el
movimiento que tiene una partícula, así como también el tipo de
trayectoria que realiza.

7. 7
Pregunta de opción múltiple

8. 8
Sistema o marco de referencia.
Definición:
En mecánica clásica es un sistema de coordenadas en una, dos o
tres dimensiones que describe la posición de una partícula en un
momento dado.
En mecánica relativista es un sistema de coordenadas de posición y
tiempo que describe a una partícula.

9. 9
Antes de describir un movimiento, se debe fijar un sistema de
coordenadas, definiendo el origen y seleccionando una dirección
positiva.

10. 10

11. 11
Trayectoria.
Definición:
Es un conjunto de todas las posiciones que realiza una partícula en
movimiento.
Tipos de
trayectorias:
Rectilínea: Si la partícula describe su recorrido una
línea recta.
Curvilínea: Si la partícula describe su recorrido una
línea curva.

12. 12
Reposo y movimiento.
Reposo: una partícula está en reposo si no cambia de posición con
respecto a un sistema de referencia en el tiempo.
Movimiento: una partícula está en movimiento si cambia de posición con
respecto a un sistema de referencia en el tiempo.
El reposo y el movimiento son relativos, es decir, dependen de un sistema
de referencia.

13. 13
Tiempo (t).
Definición:
Es un escalar, sobre el cual no tenemos ninguna influencia y que
transcurre en forma independiente.
Las unidades de t en el S.I.: s.
¿El tiempo es una cantidad física relativa o absoluta?
Desde el punto de vista de la mecánica clásica el tiempo es absoluto, en
cambio, desde el puntos de vista de la mecánica relativista el tiempo es
relativo.

14. !
x
14
Vector posición ( ).
Definición:
Es una cantidad vectorial, cuya dirección va del origen de coordenadas
hasta donde se encuentra la partícula en un momento dado.
!
xen el S.I.: m.
Las unidades de

15. 15
!
r
!
x
Simbología utilizada por lo general en
dos y tres dimensiones.
Simbología utilizada por lo general en
una dimensión.

16. VECTOR POSICIÓN
Segmento orientado desde el punto de referencia al
punto que ocupa la partícula en un instante t.
Z
r (t)
Y
X
En un sistema de coordenadas cartesianas establecido
convencionalmente por el observador que describe el
movimiento
!
ˆ
ˆ
r (t ) = x i + y ˆ + z k
j

17. FUNCIÓN POSICIÓN VS TIEMPO
Generalmente, la función posición puede expresarse
por una o por una combinación de las funciones reales
de variable real más conocidas en el análisis
matemático.
!
"
ˆ
r (t ) = (x(t ) )i + ( y(t ) ) ˆ + (z (t ))k
j
!
"
2
ˆ
r (t ) = (5t + 1)i + 8t + 4t ˆ + (cos 5t )k
j
(
)

18. 18
Pregunta de opción múltiple

19. 19
Vector desplazamiento ( ).
!
Δx
Definición:
Es una cantidad vectorial, cuya magnitud es la distancia más corta
entre una posición inicial y una posición final y que se dirige desde
la posición inicial a la posición final.
!
Las unidades de Δxen el S.I.: m.

20. 20
!
!
!
Δr = rF − rO
!
!
!
Δx = xF − xO
Simbología utilizada por lo general en
dos y tres dimensiones.
Simbología utilizada por lo general en
una dimensión.

21. 21
!
ˆ
ˆ
rO = xOi + yO ˆ + zO k
j
!
ˆ
ˆ
rF = xF i + y F ˆ + z F k
j
! !
!
Δr = rF − rO
!
ˆ
ˆ
Δr = ( xF − xO )i + ( yF − yO ) ˆ + ( zF − zO )k
j
!
ˆ
Δr = Δxiˆ + Δyˆ + Δzk
j
Marcos Guerrero

22. 22
Distancia recorrida ( e ).
También llamado espacio recorrido.
Definición:
Es una cantidad escalar, que se define como la longitud de la
trayectoria.
Las unidades de e en el S.I.: m.

23. 23
Diferencias entre distancia recorrida y desplazamiento.
Para comparar el vector desplazamiento y la distancia recorrida, tenemos
que considerar la magnitud del vector desplazamiento.
Distancia recorrida
Desplazamiento
Cantidad escalar
Cantidad vectorial
Me interesa trayectoria
No me interesa
trayectoria

24. 24
Conclusión:
Siempre
!
e ≥ Δr

25. 25
Distancia recorrida en trayectorias
circulares. encontrar la distancia recorrida por el punto P
Imaginemos que deseamos
que pertenece a un disco sólido en rotación en un cierto intervalo de tiempo.
Si conocemos el radio R de la
trayectoria circular y el ángulo θ
barrido por la partícula podemos
utilizar la ecuación:
e = θR
Unidades en el S.I.:
Factor de conversión importante:
πrad = 1800
e(m)
θ(rad)
R(m)

26. 26
!
Vm
Velocidad media ( ).
También llamado velocidad promedio.
Definición:
Es una cantidad vectorial, que se define como el cociente entre el
vector desplazamiento y el intervalo de tiempo trascurrido en dicho
desplazamiento.
!
!
Δx
Vm =
Δt
!
!
!
x − xO
Vm = F
t F − tO
!
Las unidades deVm en el S.I.: m/s.
Simbología utilizada por lo general
en una dimensión.

27. 27
!
!
Δr
Vm =
Δt
!
!
!
r − rO
Vm = F
t F − tO
Simbología utilizada por lo general en
dos y tres dimensiones.
!
!
Δr
Vm =
Δt
Magnitud de la velocidad media.
!
!
Δx
Vm =
Δt

28. 28
Significado físico.
Si una partícula esta en movimiento, el significado físico de la velocidad
media es: cuanto se desplaza en promedio la partícula por cada intervalo
de tiempo.
Para la gran mayoría de los movimiento la velocidad media no es real, a
excepción del reposo y del movimiento rectilíneo uniforme.
La velocidad media es un vector. ¿Qué dirección tiene?
La misma dirección del vector desplazamiento

29. 29
Rapidez media (R ).
m
También llamado rapidez promedio.
Definición:
Es una cantidad escalar, que se define como el cociente entre la
distancia recorrida y el intervalo de tiempo trascurrido en dicho
distancia.
e
Rm =
Δt
Las unidades deRm en el S.I.: m.s-1.
Marcos Guerrero
29

30. 30
Conclusión:
Siempre
!
Rm ≥ Vm

31. 31
!
Vi
Velocidad instantánea ( ).
!
También llamado velocidad ( V ).
La velocidad instantánea es real.
Definición:
Es una cantidad vectorial, que se define como el límite del cociente
entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo trascurrido
en dicho desplazamiento, cuando el intervalo de tiempo tiende a
cero .



Δr
∂r
Vi = lim
=
Δt
∂t
Δt→0
!
!
Vi = limVm
Δt →0
!
Las unidades de Vi en el S.I.: m.s-1.

32. 32
Imaginemos que una partícula se mueve del punto A hasta el punto B por la
trayectoria mostrada en la siguiente figura.
y
Trayectoria
E
D
La dirección de la velocidad
instantánea en un punto de su
trayectoria es tangente.
G
C
F
!
Δr
B
H
!
Vi
A
A
x
La velocidad instantánea es un vector. ¿Qué dirección tiene?
La misma dirección del vector desplazamiento

33. 33

34. 34
! !
Δr → 0 ,sin
Podemos observar que conforme Δt → 0 también
!
embargo el cociente Δr
nos da el valor de la velocidad instantánea.
Δt
A la magnitud de la velocidad instantánea o velocidad se le llama rapidez
instantánea o rapidez.
!
Vi = Rapidez instantánea.
!
V = Rapidez .

35. Velocidad Instantánea
!
! dr
v=
dt
⌢
⌢
⌢
"
v = vx i + v y j + vz k
dx
vx =
dt
dy
vy =
dt
dz
vz =
dt

36. Problema
36

37. Solución.
37

38. Solución.
38

39. 39
Aceleración media ( ).
!
am
También llamado aceleración promedio.
Definición:
Es una cantidad vectorial, que se define como el cociente entre el vector
variación de velocidad y el intervalo de tiempo transcurrido en dicha
variación .
!
am =
!
am
!
ΔV
Δt
!
!
VF − VO
=
t F − tO
!
Las unidades de a men el S.I.: m.s-2.

40. 40

am =

ΔV
Magnitud de la aceleración media.
Δt
Significado físico.
Si una partícula esta en movimiento, el significado físico de la aceleración
media es: cuanto varía la velocidad en promedio la partícula por cada
intervalo de tiempo.
Para la gran mayoría de los movimiento la aceleración media no es real, a
excepción del reposo, movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento
rectilíneo uniformemente variado.

41. 41
La aceleración media es un vector. ¿Qué dirección tiene?
La misma dirección del vector variación de velocidad.

42. 42
Aceleración instantánea ( ).
!
ai
!
También llamado aceleración ( a ). La aceleración instantánea es real.
Definición:
Es una cantidad vectorial, que se define como el límite del cociente
entre el vector variación de velocidad y el intervalo de tiempo
trascurrido en dicha variación de velocidad, cuando el intervalo de
tiempo tiende a cero .
!
!
!
ΔV
∂V
ai = lim
=
∂t
Δt →0 Δt
!
!
ai = lim am
Δt →0
!
ai en el S.I.: m.s-2.
Las unidades de

43. 43
! !
ΔV → 0 ,sin
Podemos observar que conforme Δt → 0 también
!
embargo el cociente ΔV nos da el valor de la aceleración instantánea.
Δt

44. Aceleración Instantánea
!
! dv
a=
dt
⌢
⌢
⌢
"
a = ax i + a y j + az k
2
d vx d x
ax =
= 2
dt
dt
d vy
d2y
ay =
= 2
dt
dt
2
d vz d z
az =
= 2
dt
dt

45. Caso en que a = a(x)
dv
a=
dt
d v dx
dv
a=
→ a=v
dx dt
dx
x
v
∫ a( x) dx = ∫ v dv
x0
v0
x
2
2
0
v − v = 2 ∫ a( x) dx
x0

46. 46
Gráficas x vs. t, v vs. t y a vs. t.
Existen, por lo general, 3 tipos de gráficas que se utilizan comúnmente para
describir el reposo y el movimiento de una partícula, estas son:
• Gráfica posición vs. tiempo.
• Gráfica velocidad vs. tiempo.
• Gráfica aceleración vs. tiempo.
Pueden existir otros tipos de gráficas para describir el reposo y el movimiento
de una partícula, como por ejemplo:
• Gráfica velocidad vs. posición.
• Gráfica velocidad vs. aceleración.
• Gráfica distancia vs. tiempo.
• Gráfica rapidez vs. tiempo.

47. 47
Estudiando la gráfica posición vs. tiempo tenemos que:
La pendiente en una gráfica posición vs. tiempo nos da la
velocidad.
v=
Δx
Δt
xF − xO
=
t F − tO
∂x
v=
∂t
x
x
Velocidad
instantánea
xF
Punto final
tO
0
xO
tO
tF
Punto inicial
t
xF
0
Punto final
tO
tF
xO
Punto inicial
t

48. 48
Estudiando la gráfica velocidad vs. tiempo tenemos que:
La pendiente en una gráfica velocidad vs. tiempo nos da la
aceleración.
a=
Δv
Δt
vF − vO
=
t F − tO
∂v
a=
∂t
v
v
aceleración
instantánea
vF
Punto final
tO
0
vO
tO
tF
Punto inicial
t
vF
0
Punto final
tO
tF
vO
Punto inicial
t

49. 49
El área bajo la curva en una gráfica velocidad vs. tiempo nos da
el desplazamiento.
Δx = xF − xO
v
v
Δx = (+)
0
t
0
Δx = (−)
t

50. 50
t
Desplazamiento por integración
x − x0 = ∫ v dt
t0
v
v
Δx = x − x0
to
t
t

51. 51
El área bajo la curva en una gráfica aceleración vs. tiempo nos da
la variación de velocidad.
ΔV = VF − VO
a
a
ΔV = (+)
0
t
0
ΔV = (−)
t

52. 52
Variación de velocidad por integración
t
v − v 0 = ∫ a dt
t0
a
a
Δv = v − v0
to
t
t

53. ECUACIONES GENERAL DE LA CINEMATICA 1D
dx
v=
dt
dv
a=
dt
t
t
v(t ) = v 0 + ∫ a(t ) dt
x(t ) = x0 + ∫ v(t ) dt
t0
t0
x
2
2
0
v − v = 2 ∫ a( x) dx
x0

54. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
v(t ) = v = constante
a
a=0
x(t) = x0 + v t
t
v
x
x − x0
t
pendiente = v
t

55. MOVIMENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
(M.R.U.V)
a(t) = a = constante
a
v = v 0 + at
1 2
x(t) = x0 + v 0 t + a t
2
v
t
x
x − x0
t

56. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
(M.R.U.V.)
a(t) = a = constante
v = v0 + a(t − t0 )
1
2
x(t) = x0 + v 0 (t − t0 ) + a(t − t0 )
2
2
2
0
v − v = 2a ( x − x0 )

57. Movimiento Vertical
y
a(t) = a = - g
a
v(t) = v 0 − g t
v
g
t
−g
1 2
y(t) = y0 + v 0 t − g t
2
y
v0
v0
g
2v 0
g
t
v0
g
2v 0
g

58. 58
Pregunta conceptual

59. 59
Respuesta.

60. 60
Problema

61. 61
Solución.

62. 62
Problema.

63. 63
Solución

64. 64
Solución

65. 65
Problema.

66. 66
Solución

67. 67
Problema.

68. 68
Solución
La bolsa de arena esta a 40.9 m sobre el piso.
La bolsa de arena esta a 40.1 m sobre el piso.
Luego:
T de ser positivo por lo tanto t= 3.41 s.

69. 69
Solución continuación
La máxima altura sobre el suelo es 41.3 m

70. ECUACIONES GENERALES DE LA CINEMATICA 3D
! !
dr = v dt
t
dx = v x dt → x = x0 + ∫ v x dt
t0
t
dy = v y dt → y = y0 + ∫ v y dt
t0
t
dz = v z dt → z = z0 + ∫ v z dt
t0
! "
r = r0 +
t
!
∫ v dt
t0

71. t
!
!
!
v(t ) = v 0 + ∫ a (t ) dt
(1)
t0
t
!
!
!
r (t ) = r0 + ∫ v(t ) dt
(2)
t0
!
r
1 2 1 2
! !
!
v − v 0 = ∫ a (r ) • d r
2
2
!
r0
(3)

72. Movimiento
Parabólico
72 Mg.
Marcos Guerrero

73. 73
Movimiento parabólico.
•
Es un movimiento en dos dimensiones:
•
!
!
En el eje vertical (eje y) con un M.R.U.V. (aY = g = 9,81m.s −2 )
Fenómeno en el que se desprecia la resistencia del aire por lo cual su
trayectoria es una parábola perfecta.
!
!
En el eje horizontal (eje x) con un M.R.U. ( a X = 0 )

74. 74
En este movimiento se desprecia la curvatura la Tierra.
En el gráfico anterior podemos observar que si un objeto se encuentra a una
altura de 5 m sobre la superficie de la Tierra y es lanzado horizontalmente con
diferentes velocidades el cuerpo se desplaza verticalmente 5m en el primer
segundo.
El objeto al ser lanzado con una velocidad horizontal de 8km.s-1 y desde una
altura de 5 m sobre el suelo , el objeto entra en orbita.

75. 75

76. 76
Ecuaciones del movimiento parabólico.
!
!
Recordemos que en el eje horizontal tiene un M.R.U. (a X = 0 ) por lo tanto la
ecuación será:
X F = X O + VOX t
!
!
−1
En el eje vertical tiene un M.R.U.V. ( aY = g = 9,81m.s ) por lo tanto las
ecuaciones serán:
VFY = VOY + gt
1
gt 2
2
+ 2 g ( yF − yO )
y F = yO + VOY t +
VFY
2
= VOY
2
No olvidar que la posición inicial
(yO), la posición final (yF), las
componentes de la velocidad
inicial (VOX y VOY), la componente
de la velocidad final (VFY) y la
aceleración de la gravedad (g)
son vectores.

77. 77
Las ecuaciones anteriores las podemos dejar con vector desplazamiento.
ΔX = VOX .t
VFY = VOY + gt
1
Δy = VOY t +
gt 2
2
2
2
VFY = VOY + 2 g.Δy

78. 78
!
Imaginemos que tenemos un objeto que lanza con una velocidad VO y un
ángulo θ con la horizontal, tal como se muestra en la figura.
En cada punto de la trayectoria el vector velocidad es siempre tangente.

79. 79
Del gráfico anterior podemos determinar las componentes de la
velocidad inicial utilizando las funciones trigonométricas por lo tanto
tenemos:
VOX
Cos θ =
VO
VOX = VOCos θ
VOY
VO
VOY = VO Senθ
Senθ =

80. 80
Del gráfico anterior, si suponemos que conocemos las componentes de la
velocidad inicial de lanzamiento, podemos determinar la rapidez de
lanzamiento y el ángulo de lanzamiento medido con respecto a la
horizontal mediante el teorema de Pitágoras y la función trigonométrica
tangente, por lo tanto tenemos:
2
2
VO = VOX + VOY
VOY
Tanθ =
VOX
2
2
VO = VOX + VOY
⎛ VOY
θ = Tan ⎜
⎜ V
⎝ OX
−1
⎞
⎟
⎟
⎠
2

81. 81

82. 82
Del gráfico anterior, si suponemos que conocemos las componentes de la
velocidad en un cierto instante de tiempo, podemos determinar la rapidez
V y el ángulo α medido con respecto a la horizontal, mediante el teorema
de Pitágoras y la función trigonométrica tangente, por lo tanto tenemos:
2
2
V = VX + VY
VY
Tanα =
VX
2
2
V = VX + VY
⎛ VY
α = Tan ⎜
⎜ V
⎝ X
−1
⎞
⎟
⎟
⎠
2

83. 83
Movimiento de un objeto que es lanzado desde la parte
superior de un edificio con una velocidad VO y con un
ángulo αO medido con respecto a la horizontal.

84. 84
Gráficas Y-X, Y-t, X-t, Vx-t, Vy-t, ax-t y ay-t.
Y
0
X

85. 85
Y
X
0
t
0
t

86. 86
VX
VY
0
t
0
t

87. 87
aX
aY
0
t
0
t

88. 88
Movimiento de un objeto que es lanzado desde la parte
superior de una mesa con una velocidad horizontal VOX.

89. 89
Gráficas Y-X, Y-t, X-t, Vx-t, Vy-t, ax-t y ay-t.
Y
0
X

90. 90
X
Y
0
t
0
t

91. 91
VY
VX
0
t
0

92. 92
aX
aY
0
t
0
t

93. 93
Descomposición del movimiento de un objeto que es
lanzado desde la parte superior de una mesa con una
velocidad horizontal.

94. 94
Trayectoria de un proyectil con o sin gravedad en un medio
donde se desprecia la resistencia del aire.
Del gráfico, podemos observar que la trayectoria del proyectil sin gravedad es
rectilínea, en cambio, con gravedad la trayectoria es parabólica.

95. 95
Lanzamiento de un proyectil con una misma rapidez pero
con diferentes ángulos en medio donde se desprecia la
resistencia del aire.
Del gráfico, podemos observar que el máximo alcance horizontal ocurre a un ángulo
de 450 y que además existen dos ángulos que son complementarios que realizan un
mismo alcance horizontal.

96. 96
Lanzamiento de un proyectil con una misma rapidez pero
con diferentes ángulos en medio donde se considera la
resistencia del aire.
Del gráfico, podemos observar que para el ángulo específico de 450 , la pelota de
golf realiza un mayor alcance horizontal sin rozamiento con el aire que en el caso
con rozamiento con el aire. Además si consideramos la resistencia del aire para
tener un máximo alcance debería lanzarse la pelota de golf con un ángulo
ligeramente menor a los 450 .

97. 97
¿Impacta o no impacta el proyectil al mono?

98. 98
Preguntas conceptuales.
En un movimiento parabólico ¿En qué
condiciones ocurre que la velocidad y la
aceleración de la gravedad tienen la misma
dirección?

99. 99
Preguntas conceptuales.
En un movimiento parabólico ¿En qué
punto del movimiento ocurre que la
velocidad vertical es un vector nulo?

100. 100
Preguntas conceptuales.
En un movimiento parabólico, cuando un objeto pasa
por una misma posición vertical tanto de subida
como de bajada, podemos decir que las velocidades
en este punto son iguales” ¿Por qué si? ¿Por qué no?
Explique su respuesta.

101. 101
Problema.

102. 102
Solución.

103. Movimiento
Relativo
Mg. Marcos Guerrero
103

104. 104
Imaginemos que tenemos dos sistemas de coordenadas espaciales S y S´, tal como se
muestra en la figura, ambos sistemas van hacer cronometrados por dos relojes que
inicialmente están en cero.
Z, Z
Sistema de
referencia S
Adicionalmente tendremos una
partícula que será analizada desde
las dos sistemas de referencia.
Sistema de
referencia S´
Partícula P
0
X,
X
Y,
0
Y
Marcos Guerrero

105. 105
Imaginemos que el sistemas de coordenadas S está en reposo con respecto a Tierra, el
sistema de coordenadas S´ está en movimiento con respecto al sistema de coordenadas
S y la partícula está en movimiento con respecto a los dos sistemas de referencia.
Z
Z,
Sistema de
referencia S
Sistema de
referencia S´
Partícula P
!
rPS
0
X
Y
X,
!
rS , S
0
!
rPS ,
Y,
Marcos Guerrero
Podemos notar que para ambos sistemas de referencia el tiempo es el mismo.

106. 106
De la gráfica anterior podemos obtener la ecuación vectorial:
!
!
!
rPS = rPS , + rS , S
!
!
!
VPS = VPS , + VS , S
!
!
!
aPS = aPS , + aS , S
A partir de esta ecuación podemos obtener las ecuaciones de velocidad y aceleración:
Marcos Guerrero

107. 107
ECUACIONES DE TRANSFORMACIONES
GALILEANAS.
!
!
!
rPS = rPS , + rS , S
!
!
!
VPS = VPS , + VS , S
!
!
!
aPS = aPS , + aS , S
Estas ecuaciones son validas si los sistemas de referencia y las
partículas tienen velocidades pequeñas comparadas con la
velocidad de la luz.

108. 108
EJEMPLOS DONDE SE APLICA LAS POSICIONES,
VELOCIDADES Y ACELERACIONES RELATIVAS.

109. 109

110. 110

111. 111
Preguntas conceptuales.
Un paquete se deja caer de un avión que vuela en
línea recta con altitud y rapidez constantes. Si se
pudiera despreciar la resistencia del aire, ¿qué
trayectoria del paquete observaría el piloto? ¿y una
persona en Tierra?

112. 112
Preguntas conceptuales.
Las gotas de lluvia suelen dejar rayas
diagonales en las ventanas laterales de
un auto en movimiento. ¿por qué?

113. 113
Preguntas conceptuales.
Imagine que está en la ribera oeste de un río
que fluye al norte a 1,2 m/s. Usted nada con
una rapidez de 1,5 m/s relativa al agua y el
río tiene 60 m de anchura. ¿qué trayectoria
relativa le permite cruzar en el menor
tiempo? Explique su razonamiento.

114. 114
Problema

115. 115
Solución.

116. Movimiento
Circular
Mg. Marcos Guerrero
116

117. 117
!
VECTOR POSICIÓN ANGULAR ( θ
).
Es una cantidad vectorial.
En magnitud la posición angular se la mide con respecto a una línea de referencia.
La posición angular varia en magnitud entre
.
00 ≤ θ ≤ 3600
!
θ+
!
θ-

118. !
La unidad de la θ en el S.I. es el: radian (rad)
¿Cómo se determina la dirección de la posición angular?
La dirección del vector posición angular se determina con la regla de la mano
derecha.
Regla de la mano derecha: Se toma el eje de rotación con la mano derecha de
modo que se rodea el eje en el mismo sentido de rotación del sistema, al levantar
el dedo pulgar apuntando a lo largo del eje de rotación nos dará la dirección del
vector posición angular.
1
1

119. r
VECTOR DESPLAZAMIENTO ANGULAR ( Δθ ).
Es una cantidad vectorial.
Se define:
1
1
!
!
!
Δθ = θ F − θO

120. 1
2

121. VELOCIDAD ANGULAR
!
ω m).
MEDIA (
También es llamado velocidad angular promedio.
No es real a excepción del reposo y del movimiento circular uniforme.
Es una cantidad vectorial.
Se define:
!
!
Δθ
Δt
! !
!
θ −θ
ωm = F O
t F − tO
ωm =
!
La unidad en el S.I. de la ω m es: rad.s-1
1
2

122. ¿Qué dirección tienen la velocidad angular media?
El vector velocidad angular media
tiene la misma dirección del vector
desplazamiento angular
1
2

123. VELOCIDAD ANGULAR
!
INSTANTÁNEA (ωi
También es llamado velocidad angular.
Es real.
Es una cantidad vectorial.
Se define:
!
!
!
ωi = ω = lim
Δt →0
Otra definición:
!
!
Δθ
∂θ
=
Δt
∂t
!
ωi = ω = lim ωm
Δt →0
!
La unidad en el S.I. de la ωi es: rad.s-1
A veces la velocidad angular viene dada en R.P.M. (revoluciones por
−1
minuto= rev. min ).
1
2
).

124. A la magnitud de la velocidad angular instantánea o velocidad angular se le llama
rapidez angular instantánea o rapidez angular.
!
ωi = Rapidez
angular instantánea.
!
ω = Rapidez angular .
¿Cómo se determina la dirección de la velocidad angular?
La dirección del vector velocidad angular se determina con la regla de la mano
derecha.
Regla de la mano derecha: Se toma el eje de rotación con la mano derecha de
modo que se rodea el eje en el mismo sentido de rotación del sistema, al levantar
el dedo pulgar apuntando a lo largo del eje de rotación nos dará la dirección del
vector velocidad angular.
1
2

125. Velocidad angular instantánea
Velocidad angular instantánea en el instante t es el límite
de la sucesión de valores de velocidad angular media en
los intervalos (t, t + Δt) cuando Δ t tiende a cero.
θ (t + Δt) − θ (t)
ω (t) = lím
Δ t→0
Δt
Δθ
ω (t) = lím
Δ t→0 Δt

126. Velocidad angular instantánea
La definición dada es equivalente a decir que la
velocidad angular en el instante t es la derivada de la
función posición en ese instante, lo cual se expresa de las
siguientes maneras:
dθ
ω (t) =
dt
´.
ω (t) = θ (t)
•
ω (t) = θ (t)

127. Interpretación geométrica de la velocidad angular
instantánea
Δθ
ω (t) = lím
Δt→0 Δt
dθ
ó ω (t) =
dt
θ
t
t + Δt t + Δt1
t

128. Gráfico ω vs t y problema inverso
dθ = ω dt
ω
ω
dθ
t
t + dt
t

129. Gráfico ω vs t y problema inverso
t
θ − θ 0 = ∫ ω dt
t0
ω
Δθ = θ − θ 0
t0
t
t

130. 1
3

131. Los puntos P y Q de un DVD se mueven en un intervalo de tiempo que tiende a
cero, indique y justifique ¿cuál de los puntos tiene mayor velocidad angular ?
1
3

132. Aceleración angular media
Aceleración angular media es la razón de cambio de
la velocidad angular respecto al tiempo, es decir, la
aceleración angular media en el intervalo (t1,t2) está
dada por la razón:
ω2 − ω1
αm =
t 2 − t1

133. 133
¿Qué dirección tienen la aceleración angular media?
El vector aceleración angular
media tiene la misma dirección del
vector variación de velocidad
angular.
Marcos Guerrero

134. Aceleración angular instantánea
Aceleración angular instantánea en el instante t es el límite
de la sucesión de valores de aceleración angular media en
los intervalos (t, t + D t) cuando D t tiende a cero.
ω (t + Δt ) − ω (t )
α(t) = lím
Δ t →0
Δt
Δω
α ( t) = lím
Δ t →0 Δt

135. 135
La velocidad angular y la
aceleración angular tienen la misma
dirección cuando la rapidez angular
aumenta, en cambio, la velocidad
angular y la aceleración angular
tienen direcciones opuestas si la
rapidez angular disminuye..
Marcos Guerrero

136. Interpretación geométrica de la aceleración angular
instantánea
Δω
α (t ) = lím
Δt →0 Δt
ω
dω
ó α (t ) =
dt
t
t + Δt t + Δt1
t

137. Gráficoα vs t y problema inverso
dω = α dt
α
α
dω
t
t + dt
t

138. Gráfico α vs t y problema inverso
t
ω − ω0 = ∫ α dt
t0
α
Δω = ω − ω0
t0
t
t

139. PROBLEMA GENERAL
Suponer que conocemos en cada instante t la
aceleración angular de un móvil α (t) así como los
valores de la posición angularθ 0 y la velocidad angular
ω 0 en un instante t0.
Hallar la velocidad angular ω (t) y la función posición
angular θ (t)
t
ω (t ) = ω0 + ∫ α (t ) dt
t0
t
θ (t) = θ 0 + ∫ ω (t) dt
t0

140. Caso en que α = α (θ )
dω
α=
dt
d ω dθ
dω
α=
→ α =ω
dθ dt
dθ
θ
ω
∫ α (θ ) dθ = ∫ ω
θ0
dω
ω0
θ
2
2
0
ω − ω = 2 ∫ α (θ ) dθ
θ0

141. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
ω (t ) = ω = constante
α
α =0
θ (t) = θ 0 + ω t
t
ω
θ
Δθ = θ − θ 0
t
pendiente = ω
t

142. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
α(t) = α = constante
ω = ω0 + α t
α
1 2
θ (t) = θ 0 + ω 0 t + α t
2
t
θ
ω
Δθ = θ − θ 0
t
t

143. MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO
α(t) = α = constante
ω = ω0 + α (t − t0 )
1
2
θ (t) = θ 0 + ω 0 (t − t0 ) + α (t − t0 )
2
2
ω 2 − ω 0 = 2α (θ − θ 0 )
Para obtener la última ecuación se usa la
identidad:
dω dθ
α =
dθ dt

144. Ejemplo 1.
Un cuerpo inicialmente en reposo (θ = 0, ω = 0 en
instante t = 0) es acelerado en una trayectoria circular de
1,3 m de acuerdo a la ecuación:
α = 120 t 2 − 48 t + 16
a) Encontrar la velocidad angular y la posición angular
del cuerpo
en función del tiempo.

145. PERIODO Y FRECUENCIA.
PERIODO (T).
Definición:
Es una cantidad escalar que se define como el tiempo total que tarda
un objeto con M.C.U. por unidad de vuelta (revolución o ciclo).
T=
t
n
tiempo
número de vueltas o revoluciones o
ciclos
La unidad en el S.I. de la T es: s.rev −1 , s.vuelta −1 , s.ciclo −1 , s
La revolución, la vuelta y el ciclo son unidades adimensionales.
1

146. FRECUENCIA (f).
Definición:
Es una cantidad escalar que se define como el número de vueltas
(revoluciones o ciclos) que realiza un objeto con M.C.U. por unidad de
tiempo.
f =
n
t
número de vueltas o revoluciones o
ciclos
tiempo
La unidad en el S.I. de la f es: rev.s −1 , vuelta.s −1 , ciclo.s −1 , Hz
La revolución, la vuelta y el ciclo son unidades adimensionales.
1
4

147. El periodo y la frecuencia sólo existen en el movimiento circular
uniforme.
Factor de conversión: 1vuelta = 1rev = 1ciclo = 2πrad
RELACIÓN ENTRE EL PERIODO Y LA FRECUENCIA.
t
T=
n
1
T=
n
t
T=
1
4
1
f
f

148. RELACIÓN ENTRE LA RAPIDEZ ANGULAR, LA RAPIDEZ
TANGENCIAL Y EL PERIODO.
En una vuelta completa: s = 2πr
Utilizando las ecuaciones :
θ = 2π
t =T
Entonces tenemos:
V=
ω=
2πr
T
2π
ω=
T
1
4
V=
s
t
θ
t

149. 149
ECUACIONES A UTILIZAR EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
UNIFORME.
s = rθ
θ = ωt
V = rω
s = Vt
V2
aC =
r
Las primeras 3 ecuaciones son
válidas para todos los tipos de
movimiento circular.
T=
1
f
T=
t
n
ω=
2π
T
f =
n
t
V=
2πr
T

150. 150
RELACIÓN ENTRE LA RAPIDEZ TANGENCIAL Y LA RAPIDEZ ANGULAR.
• A la magnitud de la velocidad tangencial (velocidad lineal) se la llama rapidez
tangencial.
• Para le demostración de esta relación vamos a asumir que una partícula se mueve en una
!
trayectoria circular a una rapidez tangencial constante ( v = cte ).
y
!
V
!
V
sO = rθO
sF = rθ F
Δs = sF − sO
!
V
r
!
V
!
V
sF
Δs = rθ F − rθO
Δs = r (θ F − θO )
θF
sO
θO
Δs = rΔθ
x
Δs
Δθ
=r
Δt
Δt
!
Δs
Δθ
V
lim
= lim r
Δt →0 Δt
Δt →0
Δt
Δs
Δθ
lim
= r lim
Δt →0 Δt
Δt →0 Δt
!
Marcos en el
• La unidadGuerrero S.I. de la V es: m.s-1

151. V = rω
Ecuación escalar
Ecuación vectorial
! ! !
V =ω×r
! ! ! ! ! !
De la ecuación vectorial podemos concluir que: V ⊥ r ,ω ⊥ r y V ⊥ ω .
De la ecuación escalar podemos concluir que:
V ∝r
.
En la figura anterior podemos notar que para un intervalo de tiempo que tiende a
cero la velocidad angular es la misma en las dos situaciones.
1
5

152. !
ACELERACIÓN CENTRÍPETA (aC ).
!
!
a N ) o aceleración radial ( ar ).
También es llamado aceleración normal (
Es una cantidad vectorial.
!
La unidad en el S.I. de la aC es: m.s-2
Para le demostración de esta relación vamos a asumir que ! partícula se mueve en una
una !
trayectoria circular a una rapidez tangencial constante ( V1 = V2 ).
1
5

153. 153
De los gráficos anteriores podemos hacer una relación de triángulos:
ΔV Δs
=
V
r
V
Δs
r
ΔV V Δs
=
Δt
r Δt
ΔV =
ΔV
V Δs
= lim
Δt →0 Δt
Δt →0 r Δt
ΔV V
Δs
lim
= lim
Δt →0 Δt
r Δt →0 Δt
lim
aC =
Ecuación escalar
V
V
r
V2
aC =
r
Marcos Guerrero

154. 154
!
r
!
!
ω2
ω1
!
! ! ! ! ! ! !
! !
aC ⊥ ω aC ⊥ V
Del gráfico anterior podemos concluir que: V ⊥ r ,ω ⊥ r ,V ⊥ ω ,
,
!
!.
ya ⊥r
C
Una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio r, si en un instante
dado, se conoce su rapidez angular, determine una ecuación que relacione la
aceleración centrípeta con la rapidez angular y su radio.

155. 155
Pregunta de opción múltiple.

156. 156
Problema

157. 157
Solución.

158. !
ACELERACIÓN TANGENCIAL ( at )
!
158
Y ACELERACIÓN TOTAL ( aT ).
La aceleración tangencial se da cuando la velocidad tangencial a más de cambiar su
dirección, también cambia su magnitud.
La aceleración centrípeta siempre está presente en todo tipo de movimiento circular.
Como ahora tenemos una aceleración centrípeta y una aceleración tangencial, entonces,
ambas forman una aceleración total.
!
! !
aT = aC + at
Ecuación vectorial
La aceleración centrípeta y la aceleración tangencial siempre son perpendiculares entre
sí, siempre y cuando en el movimiento circular existan ambas cantidades físicas a la
vez.
Ecuación escalar
2
2
aT = aC + at
2

159. !
at es: m.s-2 159
La unidad en el S.I. de la
!
aT es: m.s-2
La unidad en el S.I. de la
!
α
!
α
!
ω
!
ω

160. ΔV = rΔω
ΔV
Δω
=r
Δt
Δt
ΔV
Δω
lim
= lim r
Δt →0 Δt
Δt →0
Δt
ΔV
Δω
lim
= r lim
Δt →0 Δt
Δt →0 Δt
Ecuación escalar
Ecuación vectorial
at = rα
! ! !
at = α × r
!
! ! ! ! !
De la ecuación vectorial podemos concluir que: at ⊥ r , α ⊥ r y at ⊥ α .
En un instante dado, de la ecuación escalar podemos concluir que: at ∝ r
1
6
.

161. 161
ANALOGÍAS ENTRE EL MOVIENTO DE
TRASLACIÓN Y EL MOVIMIENTO DE
ROTACIÓN.
Movimiento de traslación
Movimiento de rotación
Longitud de arco
(distancia lineal)
Distancia angular
Desplazamiento lineal
Desplazamiento angular
Velocidad lineal
Velocidad angular
Aceleración lineal
Aceleración angular

162. 1
6

163. 163
Problema

164. 164
Solución.