3. Análisis matricial de estructuras
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Cuestión 1.
4. Análisis matricial de estructuras
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Solución 1.1.
Aplicando el principio de superposición a la barra (el desplazamiento del sistema es
suma de los desplazamientos provocados por la aplicación de las fuerzas) solicitado por la
totalidad de las cargas 𝐹𝑥2, 𝐹𝑦2 𝑦 𝑀2, tenemos la siguiente ecuación:
∆𝑖= 𝛿𝑖1 ∙ 𝐹1 + 𝛿𝑖2 ∙ 𝐹2 + 𝛿𝑖3 ∙ 𝑀 = � 𝛿𝑖𝑗 ∙ 𝑃𝑗
3
𝑗=1
Siendo:
∆𝑖= 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖
𝛿 = 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝐹1, 𝐹2, 𝑀 = 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎𝑠
Si ampliamos esta ecuación a los tres grados de libertad (i, j, k) asociados a la barra,
obtenemos la ecuación de flexibilidad:
�
∆1
∆2
∆3
� = �
𝛿11 𝛿12 𝛿13
𝛿21 𝛿22 𝛿33
𝛿31 𝛿32 𝛿33
� ∙ �
𝐹1
𝐹2
𝑀
�
Siendo la matriz de flexibilidad [𝐹] (relaciona desplazamientos y cargas), la formada
por los coeficientes de influencia 𝛿, que de forma resumida:
{∆} = [𝐹] ∙ {𝑃}
Si sustituimos los valores de las cargas así como los desplazamientos que estas
provocan tenemos las siguientes ecuaciones:
Cuando actúa F=i kN:
�
0,3966 ∙ 10−5
0
0
� = �
𝛿11 𝛿12 𝛿13
𝛿21 𝛿22 𝛿23
𝛿31 𝛿32 𝛿33
� ∙ �
1
0
0
�
0,3966 ∙ 10−5
= 𝛿11
𝛿21 = 𝛿31 = 0
𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎: 𝛿12 = 𝛿13 = 0
Cuando actúa F=j kN:
�
0
0,2638 ∙ 10−2
0,47 ∙ 10−3
� = �
0,3966 ∙ 10−5
0 0
0 𝛿22 𝛿23
0 𝛿32 𝛿33
� ∙ �
0
1
0
�
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0,2638 ∙ 10−2
= 𝛿22
𝛿32 = 0,47 ∙ 10−3
𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎: 𝛿23 = 0,47 ∙ 10−3
Cuando actúa M=K mkN:
�
0
0,47 ∙ 10−3
0,1312 ∙ 10−3
� = �
0,3966 ∙ 10−5
0 0
0 0,2638 ∙ 10−2
0,47 ∙ 10−3
0 0,47 ∙ 10−3
𝛿33
� ∙ �
0
0
1
�
0,1312 ∙ 10−3
= 𝛿33
𝛿23 = 0,47 ∙ 10−3
→ 𝐶𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎
Finalmente, sustituyendo todos los valores, obtenemos la matriz de flexibilidad:
[𝐹] = �
0,3966 ∙ 10−5
0 0
0 0,2638 ∙ 10−2
0,47 ∙ 10−3
0 0,47 ∙ 10−3
0,1312 ∙ 10−3
�
Conclusiones:
Si observamos la matriz que hemos obtenido, vemos que coincide con la tabla que
nos dan como dato. Esto es así, debido a que la matriz de flexibilidad es aquella que
relaciona la carga aplicada con el movimiento obtenido. Si esa carga la hacemos unitaria,
como es nuestro caso, obtenemos directamente los coeficientes de influencia.
Solución 1.2.
Sabiendo que la rigidez [𝐾] es la fuerza necesaria para producir un desplazamiento
unitario, llegamos a la conclusión de que:
[𝐾] = [𝐹]−1
La matriz de flexibilidad que hemos obtenido en el caso anterior, es la que nos
relaciona las cargas aplicadas en 2 con los movimientos obtenidos en 2, habiendo impedido
los movimientos en 1, esto es [𝐹22], por lo que si hacemos su inversa, obtendremos [𝐾22]:
[𝐾] = [𝐹]−1
= �
252143,22 0 0
0 1047,88 −3753,83
0 −3753,83 21069,35
�
Solución 1.3.
Si partimos de la ecuación
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Y aplicamos el equilibrio de fuerzas:
𝑥1 + 𝑥2 = 0
𝑦1 + 𝑦2 = 0
𝑀1 + 𝑀2 + 𝑦2 ∙ 𝐿 = 0
Que de forma matricial seria: 𝑃1 + 𝐻 ∙ 𝑃2 = 0 :
�
𝑥1
𝑦1
𝑀1
� + �
1 0 0
0 1 0
0 𝐿 1
� ∙ �
𝑥2
𝑦2
𝑀2
� = �
0
0
0
�
Si sustituimos L=10 m la matriz de equilibrio H, será:
[𝐻] = �
1 0 0
0 1 0
0 10 1
�
Solución 1.4, 1.5 y 1.6:
Vamos a calcular las matrices elementales de una barra a partir de k=k22 calculada
anteriormente. Además de usar la matriz H anterior.
Las ecuaciones de estado de una barra son:
�
𝑃1 = 𝑘11 ∙ 𝑑1 + 𝑘12 ∙ 𝑑2
𝑃2 = 𝑘21 ∙ 𝑑1 + 𝑘22 ∙ 𝑑2
También sabemos que:
𝑃2 = 𝑘 ∙ 𝑒
𝑃1 + 𝐻 ∙ 𝑃2 = 0
Siendo:
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𝑘 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑𝑒𝑧 = 𝑘22 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜 1.2
𝑒 = �
𝑢2
𝑣2
𝜃2
�
Si pensamos en una barra cualquiera:
En el punto inicial 1 tenemos una carga P1 y un desplazamiento d1, y de forma
análoga en el punto fina 2 tenemos una carga P1 y desplazamiento d2.
Una vez deformada si queremos llegar a la situación inicial:
En el paso 1 se impiden los movimientos en el extremo inicial, y la deformada
elástica será la misma que la de la barra inicial, y que los esfuerzos aplicados son los
mismos. Si a los esfuerzos del paso 1 sumamos los del paso 2 como consecuencia de un
movimiento como solido rígido d1*, tenemos los siguientes desplazamientos totales:
𝑑1 = 𝑑1∗ y 𝑑2 = 𝑒 + 𝑑2∗
En el paso 2 hemos movido la barra a partir de su posición de equilibrio, por lo tanto
el trabajo de las fuerzas debe ser nulo (no hay desplazamiento relativo):
𝛿𝑊 = 𝑃1
𝑡
∙ 𝑑1∗ + 𝑃2
𝑡
∙ 𝑑2∗ = 0
Por lo tanto:
𝑃1 + 𝐻 ∙ 𝑃2 = 0 → 𝑃1 = −𝐻 ∙ 𝑃2 → −𝑃2
𝑡
∙ 𝐻 𝑡
∙ 𝑑1∗ + 𝑃2
𝑡
∙ 𝑑2∗ = 0 → 𝒅 𝟐∗ = 𝑯 𝒕
∙ 𝒅 𝟏∗
𝑷 𝟐 = 𝑘 ∙ 𝑒 = 𝑘 ∙ (𝑑2 − 𝑑2∗) = 𝑘 ∙ 𝑑2 − 𝑘 ∙ 𝐻 𝑡
∙ 𝑑1∗ = 𝒌 ∙ 𝑑2 − 𝒌 ∙ 𝑯 𝒕
∙ 𝑑1
𝑷 𝟐 = 𝒌 𝟐𝟏 ∙ 𝑑1 + 𝒌 𝟐𝟐 ∙ 𝑑2
�
Igualando coeficientes (resaltados en color):
𝒌 𝟏𝟐 = −𝒌 ∙ 𝑯 𝒕
𝒌 𝟐𝟐 = 𝒌 (𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑖𝑒𝑛𝑧𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜)
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Cuestion 3.
Solución 3.1.
L=6+6=12
a. Barra 1-2 y barra 4-5
En ejes locales
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𝑘′11
1−2
𝑘′12
1−2 0 0 0
𝑘′21
1−2
𝑘′
22
1−2
+ 𝑘′
11
2−3
+ 𝑘′
11
2−4
𝑘′
12
2−3
𝑘′
12
2−4
0
0 𝑘′
21
2−3
𝑘′
22
2−3
+ 𝑘′
11
3−4
𝑘′
12
3−4
0
0 𝑘′
21
2−4
𝑘′
21
3−4
𝑘′
22
4−5
+ 𝑘′
22
3−4
+ 𝑘′
22
2−4
𝑘′
21
4−5
0 0 0 𝑘′
12
4−5
𝑘′
11
4−5
En azul resaltamos las filas y columnas que no están afectadas por las condiciones
de contorno, siendo esta las resaltadas en rojo correspondientes a los nudos 1 y 5.
Solución 3.2.
Aislamos la barra 2-3, y calculamos las reacciones que se producen en esta barra
aislada biempotrado, para calcular el estado 0:
Si calculamos las fuerzas iguales y contrarias a las halladas anteriormente
llegaremos al estado 1 (da movimientos y esfuerzos):
Para introducir estos esfuerzos en las matrices debemos descomponerlos
previamente.
Solución 3.3.
Si no hacemos simplificaciones (simetrías y antimetrías) de ningún tipo, los
movimientos de los nudos los obtendríamos directamente como se ha expuesto
anteriormente del estado 1: