dinamica de estructuras

1. Dinámica de Estructuras: Tarea n° 1
“Estudio del comportamiento sísmico de un sistema dinámico de 1 gdl”
Integrantes:
Escarlet González A
Macarena González S
Claudio Tapia B
Docente:
Eduardo Peldoza
Valdivia, 02 de Noviembre de 2015

2. Índice
Portada _________________________________________________________________ 1
Índice __________________________________________________________________ 2
Datos principales _________________________________________________________ 3
Análisis de las propiedades de los pilares ______________________________________ 4
Cálculo de características dinámicas _______________________________________
Descripción del método Runge kutta 4 ____________________________________
Gráfico 1 ___________________________________________________________
Gráfico 2 _____________________________________________________________
Tabla ______________________________________________________________
Comentarios _____________________________________________________________

3. Datos principales
Se pretende realizar un estudio acerca del comportamiento sísmico de una estructura, que se
asemeja a un sistema dinámico de 1 grado de libertad.
La estructura a analizar tendrá las siguientes características:
1. Losa de hormigón 500 x 500 x 20 cm, con peso específico de 2450 kgf/m3, actuando
como diafragma rígido.
2. Cuatro pilares de 2,5 m empotrado en vértices de la losa.
3. Para moldajes, solo considera masa de losa.
4. No considera efectos de flexo-compresión en pilares.
La estructura estará sometida al registro de aceleración basal horizontal del terremoto de “El
Centro”.
Pilares
Los pilares son columnas delgadas verticales que sirven como soporte de cargas pesadas.
Para este análisis se trabajará con una estructura que contiene 4 pilares, de 2,5 m de largo. Se
utilizará como material de diseño, hormigón armado. El módulo de elasticidad es de 210000
Kgf/cm2. La tasa de amortiguamiento será de 0,05. La sección transversal de cada pilar será
de 25x25 cm. El tipo de apoyo en la base será rotulado.

4. Análisis de las propiedades geométricas y mecánicas de los
pilares.
 Cálculo de la masa de la losa:
Volumen de la losa: V = 5 x 5 x 0,2 = 5 m3.
Peso específico de la losa: γ = 2450 kgf/m3
mg = Vγ
mg = 5 x 2450 = 12250 kgf.
m = 12250/9,81 = 1248,7258 kg.
 Cálculo de K
Módulo de elasticidad: E = 210000 kgf/cm3 = 2100000000 kgf/m3.
I = bh3/12
I = 0,25 x 0,253 / 12 = 3,2552 x 10-4 m4.
K = 3EI/L3
K = 3x2100000000x3,2552 x 10-4 /2,53 = 131250 kgf/m2.
Para los 4 pilares: K x 4 = 524999 = 525000 kgf/m2 aprox.

5. Cálculo de características dinámicas
Se conoce como sistema de un grado de libertad al sistema con parámetros concentrados.
En la siguiente Figura se muestra una estructura de un grado de libertad apoyada en
aisladores y su correspondiente modelo dinámico, Las masas 𝒎 𝒃 y 𝒎 𝟏 corresponden a la
base y a la estructura, respectivamente. La rigidez 𝒌 𝒃 y el coeficiente de amortiguamiento 𝒄 𝒃
definen las características dinámicas del aislador.
La rigidez 𝒌 𝟏 y el coeficiente de amortiguamiento 𝒄 𝟏 definen las características dinámicas
de la estructura.
El movimiento sísmico del terreno se representa por el desplazamiento 𝑑(𝑡), velocidad 𝑣(𝑡)
y la aceleración 𝑎(𝑡) en la base de la estructura. El desplazamiento de la masa 𝑚1 con
respecto al aislador es 𝑥1(𝑡). El desplazamiento de la masa 𝑚 𝑏 con respecto al terreno es
𝑥 𝑏(𝑡).
(a) Estructura de un grado de libertad con aislamiento de base. ; (b) Modelo dinámico.
-Cálculo de la frecuencia
𝑤 = √
𝐾
𝑀
w = 20,5044 rad/s

6. ζ = 0,05
-Frecuencia amortiguada: w’ = w x (1-ζ2)1/2 = 20,4787 rad/s
En resumen las características dinámicas de la estructura son:
M =1248,73[KG]
W = 20,50[rad/s]
W’=20,48[rad/s]
ζ =0,05
K =525000[kgf/𝑚2
]
T =0,02[S]

7. Método Runge –Kutta 4
Los métodos desarrollados por Runge (1885), Kutta (1901), Heun (1900) y otros para
la solución de problemas con valor en la frontera. Este consiste en obtener un
resultado que se obtendría al utilizar un número finito de términos de una serie de
Taylor de la forma:
Este método es superior al método de punto medio (Runge-Kutta de segundo orden)
ya que contiene los primeros cinco términos de la serie de Taylor, lo cual significa
gran exactitud sin el cálculo de las derivadas, pero se tiene que evaluar la función f(x)
cuatro veces para cada subintervalo.
Reacomodando para los valores de f(x) y haciendo f(x)' = y + hf(x), se tiene:
Las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuación diferencial:

8. En nuestro caso la Ecuación Diferencial:
𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑦̇ + 𝑘𝑥 = −𝑚𝑎
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡2
= −𝑚𝑎 − 𝑐
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝑘𝑥 = −𝑎 −
𝑐
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
−
𝑘𝑥
𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑎 −
𝑐
𝑚
𝑑𝑥
𝑑𝑡
−
𝑘𝑥
𝑚
;
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣
Condiciones iniciales:
𝑥 = 0 ; 𝑣 = 0 ; 𝑡 = 0 ; ℎ = 0,02
Reemplazando:
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑎 − 2,05
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 420,429𝑥
𝑘1 = ℎ ∗ 𝑣 = 0,02 ∗ 0 = 0
𝑙1 = ℎ ∗ 𝑓(𝑥, 𝑣, 𝑡) = 0,02(0− 2,05 ∗ 0 ∗ −420,429 ∗ 0) = 0
𝑘2 = ℎ(𝑣 +
1
2
𝑙1) = 0,02(0 +
1
2
∗ 0) = 0
𝑙2 = ℎ𝑓(𝑥 +
1
2
𝑘1, 𝑣 +
1
2
𝑙1, 𝑡 +
1
2
ℎ) = 0,02(0 − 2,05 ∗ 0 − 420,429 ∗ 0) = 0
𝑘3 = ℎ(𝑣 +
1
2
𝑙2) = 0,02(0 +
1
2
∗ 0) = 0
𝑙3 = ℎ𝑓(𝑥 +
1
2
𝑘2, 𝑣 +
1
2
𝑙2, 𝑡 +
1
2
ℎ) = 0,02(0− 2,05 ∗ 0 − 420,429 ∗ 0) = 0
𝑘4 = ℎ(𝑣 + 𝑙3) = 0,02(0 + 0) = 0
𝑙4 = ℎ𝑓(𝑥 + 𝑘3, 𝑣 + 𝑙3, 𝑡 + ℎ) = 0,02(0 − 2,05 ∗ 0 − 420,429 ∗ 0) = 0
𝑥(0,02) = 0 +
1
6
(0) = 0

9. 𝑣(0,02) = 0 +
1
6
(0) = 0
Luego como modo de ejemplo, para t=0,02 con x=0, v=0 y a=0,108:
𝑘1 = ℎ ∗ 𝑣 = 0,02 ∗ 0 = 0
𝑙1 = ℎ ∗ 𝑓( 𝑥, 𝑣, 𝑡) = 0,02(−0,108− 2,05 ∗ 0 ∗ −420,429 ∗ 0) = −0,00216
𝑘2 = ℎ (𝑣 +
1
2
𝑙1) = 0,02(0 +
1
2
∗ −0,00216) = −0,0000216
𝑙2 = ℎ ∗ 𝑓 (𝑥 +
1
2
𝑘1, 𝑣 +
1
2
𝑙1, 𝑡 +
1
2
ℎ)
= 0,02(−0,108 − 2,05 ∗ −0,00108 − 420,429 ∗ 0) = −0,00211572
𝑘3 = ℎ (𝑣 +
1
2
𝑙2) = 0,02(0 +
1
2
∗ −0,00211572) = −0,000021157
𝑙3 = ℎ ∗ 𝑓 (𝑥 +
1
2
𝑘2, 𝑣 +
1
2
𝑙2, 𝑡 +
1
2
ℎ)
= 0,02(−0,108 − 2,05 ∗ −0,00105786 − 420,429 ∗ −0,0000108)
= −0,002025815
𝑘4 = ℎ( 𝑣 + 𝑙3) = 0,02(0 + −0,002025815) = −0,000040516
𝑙4 = ℎ ∗ 𝑓( 𝑥 + 𝑘3, 𝑣 + 𝑙3, 𝑡 + ℎ)
= 0,02(−0,108 − 2,05 ∗ −0,002025815− 420,429 ∗ −0,000021157)
= −0,0019
𝑥(0,04) = 𝑥(0,02) +
1
6
∗ ( 𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4)
= 0 +
1
6
(0 + 2 ∗ −0,0000216+ 2 ∗ −0,000021157 − 0,000040516)
= −0,000021005
𝑣(0,04) = 𝑣(0,02)+
1
6
∗ ( 𝑙1 + 2𝑙2 + 2𝑙3 + 𝑙4)
= 0 +
1
6
(−0,00216 + 2 ∗ −0,00211572 + 2 ∗ −0,002025815− 0,0019)
= −0,002057178
Así se continúa con las siguientes condiciones iniciales dadas, luego de haber obtenido
todos los resultados se crea el siguiente Grafico:

10. Grafico n° 1:
Tiempo vs Desplazamiento
(Resultado método R-K-4)

11. Grafico n° 2:
Tiempo vs Desplazamiento
(Resultados integral de Duhamel)

12. Comentarios
Luego de realizar el estudio del comportamiento acerca del comportamiento sísmico de la
estructura, con dos métodos iterativos distintos comprobamos que los resultados obtenidos
son muy similares por lo que comprobamos que el resultado es el correcto.
También se puede concluir que el método de RK4 converge más rápido que el método de
integración de Duhamel, ya que su complejidad supera a la de Duhamel teniendo en cuenta
que este último se fundamenta en el Método de integración del Trapecio y de Simpson, a
diferencia del RK4 cuyo método iterativo posee menor margen de error que los métodos
numéricos mencionados anteriormente.
Las gráficas resultantes donde se relaciona el desplazamiento con el tiempo en ambos
métodos difieren casi nada, son muy similares, además ambas se asemejan al dibujo que
realiza un sismógrafo en el momento en que se lleva a cabo un sismo en donde la estructura
se movió en sus puntos máximos al inicio del sismo entre el segundo 0 al segundo 10, y
finalmente cuando el sismo llegaba a su fin la estructura se desplazaba muy poco, dentro del
rango de los segundos 35 hacia el 53.74, justamente el comportamiento que tendría un sismo.