Este documento presenta la resolución de un ejercicio sobre la estabilidad de una estructura hiperestática mediante el método de las fuerzas. Se describe el análisis de la estructura, la formulación de ecuaciones de compatibilidad, el cálculo de coeficientes y la resolución del sistema de ecuaciones para determinar las incógnitas hiperestáticas y las reacciones en los apoyos. El resumen verifica que los resultados obtenidos cumplen con las condiciones de equilibrio de la estructura.

1. Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires
Hiperestáticos
Método de las Fuerzas
Resolución del Ejercicio N° 6c de
la Guía de la Práctica – TP N° 9

2. Analicemos la
siguiente estructura
• Es de nuestro interés verificar las reacciones de extremo de barra que aparecen en las
tablas de “Soluciones de Barras Empotradas/Empotradas”
• Para ello, se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un
sistema isostático fundamental o principal. Nosotros elegiremos como sistema
fundamental a una barra empotrada en B y libre en A.
• El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático,
por esta razón, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituirán las incógnitas
hiperestáticas. A saber X1, X2 y X3
B
A
L
X3
X1
X2

3. Analicemos la
siguiente estructura
B
A L
X3
X1
X2
Debemos plantear tantas ecuaciones de compatibilidad
de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas
existan.
Desplazamientos verticales del vínculo A:
𝑎10 + 𝑋1 ⋅ 𝑎11 + 𝑋2 ⋅ 𝑎12 + 𝑋3 ⋅ 𝑎13 = 0
Rotaciones del vínculo A:
𝑎20 + 𝑋1 ⋅ 𝑎21 + 𝑋2 ⋅ 𝑎22 + 𝑋3 ⋅ 𝑎23 = 0
Desplazamientos horizontales del vínculo A:
𝑎30 + 𝑋1 ⋅ 𝑎31 + 𝑋2 ⋅ 𝑎32 + 𝑋3 ⋅ 𝑎33 = 0
En nuestro caso, por las condiciones de carga, para la
ecuación de equilibrio horizontal se verifica que:
Trazamos los diagramas de momentos que generan la carga q y las incógnitas hiperestáticas
X1, X2 y X3 para valores unitarios de las mismas.
X1=1
M1=L
X2=1
M2=1
La incógnita hiperestática X3 es nula, por lo tanto:
𝑋3 = 0 → 𝑎13 = 𝑎31 = 𝑎32 = 𝑎33 = 0
𝑃𝐻 = 0 → 𝑋3 = 0
qL2/2
q
q

4. B
A
X1
X2
Debemos plantear tantas ecuaciones de compatibilidad
de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas
existan.
Desplazamientos verticales del vínculo A:
𝑎10 + 𝑋1 ⋅ 𝑎11 + 𝑋2 ⋅ 𝑎12 + 𝑋3 ⋅ 𝑎13 = 0
Rotaciones del vínculo A:
𝑎20 + 𝑋1 ⋅ 𝑎21 + 𝑋2 ⋅ 𝑎22 + 𝑋3 ⋅ 𝑎23 = 0
Desplazamientos horizontales del vínculo A:
𝑎30 + 𝑋1 ⋅ 𝑎31 + 𝑋2 ⋅ 𝑎32 + 𝑋3 ⋅ 𝑎33 = 0
En nuestro caso, por las condiciones de carga, para la
ecuación de equilibrio horizontal se verifica que:
X2=1
M2=1
La incógnita hiperestática X3 es nula, por lo tanto:
𝑋3 = 0 → 𝑎13 = 𝑎31 = 𝑎32 = 𝑎33 = 0
X3
qL2/2
q
X1=1
M1=L
L
q
Trazamos los diagramas de momentos que generan la carga q y las incógnitas hiperestáticas
X1, X2 y X3 para valores unitarios de las mismas.
𝑃𝐻 = 0 → 𝑋3 = 0

5. Podemos plantear las
siguientes ecuaciones de
compatibilidad
𝑎10 + 𝑋1 ⋅ 𝑎11 + 𝑋2 ⋅ 𝑎12 = 0
𝑎20 + 𝑋1 ⋅ 𝑎21 + 𝑋2 ⋅ 𝑎22 = 0
Calculamos los coeficientes aij (desplazamientos) por el método gráfico
𝑎12 =
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙ 𝑀1 ∙ 𝑀2 ∙ 𝑑𝑙 =
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙
1
2
∙ 𝑀1 ∙ 𝑀2 ∙ 𝐿
𝑎12 = 𝑎21 =
𝐿2
2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
…y reemplazando M1 = L y M2 = 1:

6. Calculamos los coeficientes aij (desplazamientos) por el método gráfico
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙
1
3
∙ 𝑀1 ∙ 𝑀1 ∙ 𝐿 …y reemplazando M1 = L :
𝑎11 =
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙ 𝑀1 ∙ 𝑀1 ∙ 𝑑𝑙 =
𝑎11 =
𝐿3
3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎12 = 𝑎21 =
𝐿2
2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎10 + 𝑋1 ⋅ 𝑎11 + 𝑋2 ⋅ 𝑎12 = 0
𝑎20 + 𝑋1 ⋅ 𝑎21 + 𝑋2 ⋅ 𝑎22 = 0
Podemos plantear las
siguientes ecuaciones de
compatibilidad

7. Calculamos los coeficientes aij (desplazamientos) por el método gráfico
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙ 𝑀2 ∙ 𝑀2 ∙ 𝐿 …y reemplazando M2 = 1:
𝑎11 =
𝐿3
3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎12 = 𝑎21 =
𝐿2
2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎22 =
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙ 𝑀2 ∙ 𝑀2 ∙ 𝑑𝑙 =
𝑎22 =
𝐿
𝐸 ∙ 𝐽
𝑎10 + 𝑋1 ⋅ 𝑎11 + 𝑋2 ⋅ 𝑎12 = 0
𝑎20 + 𝑋1 ⋅ 𝑎21 + 𝑋2 ⋅ 𝑎22 = 0
Podemos plantear las
siguientes ecuaciones de
compatibilidad

8. Calculamos los coeficientes aij (desplazamientos) por el método gráfico
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙
1
4
∙ 𝑀1 ∙ 𝑀0 ∙ 𝐿 …y reemplazando M0 = qL2/2 y M1 = L:
𝑎11 =
𝐿3
3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎12 = 𝑎21 =
𝐿2
2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎22 =
𝐿
𝐸 ∙ 𝐽
𝑎10 + 𝑋1 ⋅ 𝑎11 + 𝑋2 ⋅ 𝑎12 = 0
𝑎20 + 𝑋1 ⋅ 𝑎21 + 𝑋2 ⋅ 𝑎22 = 0
Podemos plantear las
siguientes ecuaciones de
compatibilidad
𝑎10 =
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙ 𝑀1 ∙ 𝑀0 ∙ 𝑑𝑙 =
𝑎10 =
𝑞 ∙ 𝐿4
8 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽

9. Calculamos los coeficientes aij (desplazamientos) por el método gráfico
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙
1
3
∙ 𝑀2 ∙ 𝑀0 ∙ 𝐿 …y reemplazando M0 = qL2/2 y M2 = 1:
𝑎11 =
𝐿3
3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎12 = 𝑎21 =
𝐿2
2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎22 =
𝐿
𝐸 ∙ 𝐽
𝑎10 + 𝑋1 ⋅ 𝑎11 + 𝑋2 ⋅ 𝑎12 = 0
𝑎20 + 𝑋1 ⋅ 𝑎21 + 𝑋2 ⋅ 𝑎22 = 0
Podemos plantear las
siguientes ecuaciones de
compatibilidad
𝑎10 =
𝑞 ∙ 𝐿4
8 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎20 =
1
𝐸 ∙ 𝐽
∙ 𝑀2 ∙ 𝑀0 ∙ 𝑑𝑙 =
𝑎20 =
𝑞 ∙ 𝐿3
6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽

10. →
𝑋1 = −
𝑞 ∙ 𝐿
2
𝑋2 =
𝑞 ∙ 𝐿2
12
Reemplazando los
coeficientes aij tendremos
𝑞 ∙ 𝐿4
8 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
+ 𝑋1 ⋅
𝐿3
3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
+ 𝑋2 ⋅
𝐿2
2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
= 0
𝑞 ∙ 𝐿3
6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
+ 𝑋1 ⋅
𝐿2
2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
+ 𝑋2 ⋅
𝐿
𝐸 ∙ 𝐽
= 0
Calculamos los coeficientes aij (desplazamientos) por el método gráfico
…y resolviendo el sistema:
𝑎11 =
𝐿3
3 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎12 = 𝑎21 =
𝐿2
2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎22 =
𝐿
𝐸 ∙ 𝐽
𝑎10 =
𝑞 ∙ 𝐿4
8 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
𝑎20 =
𝑞 ∙ 𝐿3
6 ∙ 𝐸 ∙ 𝐽
(sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas)

11. q
Calculamos ahora
las reacciones de
vínculo en B
Planteamos ahora las ecuaciones de equilibrio:
B
A
L
−
𝒒 ∙ 𝑳
𝟐
𝒒 ∙ 𝑳𝟐
𝟏𝟐
𝑴𝑩
𝑹𝑩
𝐹𝑉 = − −
𝑞 ∙ 𝐿
2
− 𝑞 ∙ 𝐿 + 𝑅𝑏 = 0
𝑀𝐵 = −
𝑞 ∙ 𝐿2
12
− 𝑞 ∙ 𝐿 ∙
𝐿
2
− 𝑀𝐵 − −
𝑞 ∙ 𝐿
2
∙ 𝐿 = 0
…y resolviendo el sistema: →
𝑅𝐵 =
𝑞 ∙ 𝐿
2
𝑀𝐵 = −
𝑞 ∙ 𝐿2
12
Nota: el signo negativo de la
reacción de vínculo X1 y del
momento MB, indica que dichos
sentidos no son los que aparecen
graficados en el diagrama sino los
contrarios.

12. q
Calculamos ahora
las reacciones de
vínculo en B
Planteamos ahora las ecuaciones de equilibrio:
B
A
L
−
𝒒 ∙ 𝑳
𝟐
𝒒 ∙ 𝑳𝟐
𝟏𝟐
𝑴𝑩
𝑹𝑩
𝐹𝑉 = −
𝑞 ∙ 𝐿
2
+ 𝑅𝑏 = 0
𝑀𝐵 = −
𝑞 ∙ 𝐿2
12
− 𝑞 ∙ 𝐿 ∙
𝐿
2
− 𝑀𝐵 − −
𝑞 ∙ 𝐿
2
∙ 𝐿 = 0
…y resolviendo el sistema:
 verifica
→
𝑅𝐵 =
𝑞 ∙ 𝐿
2
𝑀𝐵 = −
𝑞 ∙ 𝐿2
12
Nota: el signo negativo de la
reacción de vínculo X1 y del
momento MB, indica que dichos
sentidos no son los que aparecen
graficados en el diagrama sino los
contrarios.

13. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

14. Muchas Gracias