Este documento presenta la resolución de un problema de centro de gravedad. Primero se define el centro de gravedad y por qué es importante estudiarlo. Luego, se muestra un caso práctico de encontrar el centro de gravedad de una región delimitada por dos funciones. Finalmente, se resuelve el problema aplicando el cálculo de integrales definidas para hallar el área de la región, los momentos respecto a los ejes x e y, y así determinar las coordenadas del centro de gravedad.

2. Práctica n°4 – exposición
Tema: Aplicación de Integrales
definidos en Física y Economía.
Alumno: Valle Granda Gustavo Alonzo
Programa Académico de: Agronomía
Facultad de Ciencias Agrarias-UNASAM
Ciclo de estudios: II
Semestre Académico 2020-I.
Docente del programa Académico :
JORGE WILSON LEIVA GONZALES
https://es.scribd.com/document/488439257/Practica-n-4-exposicion-VALLE-GRANDA

3. Centro de gravedad
¿Qué es?
• Es una posición definida en relación a un objeto o a un sistema de
objetos. Es el promedio de la posición de todas las partes del
sistema, ponderadas de acuerdo a sus masas, es decir el centro de
gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual las fuerzas que
la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que
constituyen el cuerpo producen un momento resultante nulo.
• Para objetos rígidos sencillos con densidad uniforme, el centro de
masa se ubica en el centroide.

4. • ¿Por qué es necesario su estudio?
• Lo interesante acerca del centro de masa de un objeto o de un
sistema, es que es el punto en donde actúa cualquier fuerza
uniforme sobre el objeto. Esto es útil porque facilita resolver
problemas de mecánica en donde tenemos que describir el
movimiento de objetos con formas raras y de sistemas
complicados.

5. • ¿Cómo encontramos el centro de gravedad de cualquier objeto o
sistema?
oEn general, el centro de masa se puede encontrar con la suma
vectorial ponderada de los vectores de posición, la cual apunta al
centro de masa de cada objeto en un sistema. Es donde aquí entra
la matemática, al momento de remplazar las sumatorias con
integrales y con esto un trabajo más rápido

6. Caso práctico :
• Hallar el centro de masa de la región limitada por:
ℱ 𝑥 = 6 − 𝑥2
∆ 𝒢 𝑥 = 3 − 2𝑥
𝑥 =
𝑀𝑦
𝐴𝑟𝑒𝑎
; 𝑦 =
𝑀𝑥
𝐴𝑟𝑒𝑎
𝑀𝑦 = න
𝑎
𝑏
ሾ𝑥 ℱ 𝑥 − 𝒢 𝑥 ]𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
2
න
𝑎
𝑏
ℱ 𝑥 2
− 𝒢 𝑥 2
𝑑𝑥
𝐴 = න
𝑎
𝑏
ℱ 𝑥 − 𝒢 𝑥 𝑑𝑥
Coordenadas del
centro de gravedad Area
Momento
respecto a y
Momento
respecto a x

7. • Hallar el centro de masa de la región limitada por:
ℱ 𝑥 = 6 − 𝑥2
∆ 𝒢 𝑥 = 3 − 2𝑥
Primer paso
https://www.geogebra.org/m/vxu98rb6

8. Segundo
paso Hallar los limites:
6 − 𝑥2
= 3 − 2𝑥
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0
𝑥 − 3 𝑥 + 1 = 0
𝑥 = −1 ∆ 𝑥 = 3

9. Tercer paso
Hallar el área: 𝐴 = න
𝑎
𝑏
ℱ 𝑥 − 𝒢 𝑥 𝑑𝑥
𝐴 = න
−1
3
6 − 𝑥2
− 3 − 2𝑥 𝑑𝑥
𝐴 = න
−1
3
6 − 𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑑𝑥
𝐴 = 6 න
−1
3
𝑑𝑥 − න
−1
3
𝑥2 𝑑𝑥 + 2 න
−1
3
𝑥𝑑𝑥 − 3 න
−1
3
𝑑𝑥
𝐴 = 6𝑥 ]
3
−1
−
𝑥3
3
]
3
−1
+ 𝑥2 ]
3
−1
− 3𝑥 ]
3
−1
൱𝐴 = 6 3 − −1 −
33
3
−
−1 3
3
+ 33
− −1 3
− 3(3 − −1
𝐴 =
32
3
= 10.67

11. Cuarto paso
Momento respecto al eje x: 𝑀𝑦 = න
𝑎
𝑏
ሾ𝑥 ℱ 𝑥 − 𝒢 𝑥 ]𝑑𝑥
𝑀𝑦 = න
−1
3
𝑥 6 − 𝑥2
− 3 − 2𝑥 𝑑𝑥
𝑀𝑦 = න
−1
3
ሾ𝑥 6 − 𝑥2
+ 2𝑥 − 3]𝑑𝑥
𝑀𝑦 = න
−1
3
3𝑥 − 𝑥3
+ 2𝑥2
𝑑𝑥
𝑀𝑦 = 3 න
−1
3
𝑥𝑑𝑥 − න
−1
3
𝑥3
𝑑𝑥 + 2 න
−1
3
𝑥2
𝑀𝑦 = 3
𝑥2
2
]
3
−1
−
𝑥4
4
]
3
−1
+ 2
𝑥3
3
]
3
−1
𝑀𝑦 = 3
32
3
−
−1 3
3
−
34
4
−
−1 4
4
+ 2
33
3
−
−1 3
3
𝑀𝑦 =
32
3
= 10.67

13. Momento respecto al eje y: 𝑀𝑥 =
1
2
න
𝑎
𝑏
ℱ 𝑥 2
− 𝒢 𝑥 2
𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
2
න
−1
3
ൣ 6 − 𝑥2 2
− 3 − 2𝑥 2
]𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
2
න
−1
3
൫36 − 12𝑥2
+ 𝑥4
− 9 + 12𝑥 − 4𝑥2
)𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
2
න
−1
3
27 − 16𝑥2
+ 𝑥4
+ 12𝑥 𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
2
27 න
−1
3
𝑑𝑥 − 16 න
−1
3
𝑥2
𝑑𝑥 + න
−1
3
𝑥4
+ 12 න
−1
3
𝑥𝑑𝑥
𝑀𝑥 =
1
2
27
3
−1
− 16
𝑥3
3
]
3
−1
+
𝑥5
5
]
3
−1
+ 12
𝑥2
2
]
3
−1
)
𝑀𝑥 =
1
2
27 3 − −1 − 16
33
3
−
−1 3
3
+
35
5
−
−1 5
5
+ 6 32 − −1 2
𝑀𝑥 =
416
15
= 27.73

15. Quinto paso Centro de gravedad: 𝑥 =
𝑀𝑦
𝐴𝑟𝑒𝑎
; 𝑦 =
𝑀𝑥
𝐴𝑟𝑒𝑎
𝑥 =
32
3
32
3
; 𝑦 =
416
15
32
3
𝑥 = 1 ; 𝑦 =
13
6
= 2.6
)𝐶(1; 2.6
g

16. Microsoft
Teams
https://www.geogebra.org/m/vxu98rb6
Ver la solución del centro de gravedad en el Interactivo GEOGEBRA
https://es.scribd.com/document/488439257/Practica-n-4-
exposicion-VALLE-GRANDA