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Expresiones algebraicas, factorización y radicalización
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular Para La Educación Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto Estado – Lara Expresiones algebraicas, factorización y radicalización Alumno: Junior Peñaloza CI: 30.716.786 Sección: 0404
- 2. Expresiones algebraicas: Las expresiones algebraicas son aquellas expresiones donde encontramos variables denotados generalmente por letras, esto es, la parte literal, como también coeficientes (números, aunque también pueden representarse por letras) y una serie de operaciones matemáticas combinadas como la suma, resta, multiplicación división, potenciación y radicación donde se incluyen también signos de agrupación. Suma de expresiones algebraicas: Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma de dos términos semejantes se pueden reducir a un solo término, si tales términos son diferentes ante una suma, simplemente el resultado se deja expresada tal cual es sin cambiar los signos de los términos. Generalmente en álgebra elemental realizamos las operaciones entre polinomios donde se suele usar signos agrupación y es cierto que el operador suma + acompañada de los signos de agrupación no afecta tanto el resultado final por lo que el lector pensará que es una pérdida de tiempo mencionar este tipo de obviedades ,cuando se realizan sumas entre polinomios, donde encontramos signos de agrupación y el operador suma +, los signos de agrupación se pueden ignorar sin afectar los signos operacionales de cada término del polinomio encerrado entre los signos de agrupación. A continuación desarrollaré dos ejemplos: Ejemplo 1: x2 + xy + 4x2 = Se agrupan los términos semejantes: x2 + 4x2 + xy Se agregan términos semejantes: 5x2 + xy Resultado: 5x2 + xy Ejemplo 2 wx2y + 3x2 + (–7wx2y) + 4x2 = Se agrupan los términos semejantes: wx2y + (–7wx2y) + 3x2 + 4x2 Se respetan signos negativos: wx2y – 7wx2y + 3x2 + 4x2
- 3. Resultado: – 6wx2y + 7x2 Resta de expresiones algebraica: En matemáticas, la resta algebraica es cuando dos valores se añaden entre sí por medio de un signo menos (–). Este va a afectar al término siguiente, modificando su signo. Si el término es positivo, el signo lo vuelve negativo. Y viceversa. Este cambio de signo va de acuerdo con las Leyes de los signos. Los requisitos para que esta operación pueda realizarse son: Los términos deben ser semejantes. Es decir, contener las mismas literales y exponentes, como 3x2yz, x2yz, 4x2yz. Se tiene que poner el signo (–) entre los términos que se van a restar [4x2yz – 3x2yz]. Si el siguiente término tiene signo negativo, se señalará [3x2yz – (–x2yz)] y se afectará con él [3x2yz + x2yz]. Si los términos no son semejantes, sólo se señala la operación después de afectar el signo del término que le sigue [3x2yz – xyz3]. No se acumulan, por lo que no hay resta qué realizar. Ejemplos: Ejemplo 1: 2x2 – (– 6x2) = 2x2 + 6x2 = 8x2 Son términos semejantes, pues tienen las literales x2. El signo – afecta al número negativo y cambia su signo: – (– 6x2) = + 6x2. Se acumulan los coeficientes (2 + 6 = 8). Ejemplo 2: 5x3y – (–4x3y)
- 4. = 5x3y + 4x3y = 9x3y Son términos semejantes, pues tienen las literales x3y. El signo – afecta al número negativo y cambia su signo: – (–4x3y) = + 4x3y. Se acumulan los coeficientes (5 + 4 = 9). Valor numérico de una expresión algebraica: El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables de la dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones. Una misma expresión algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función del número que se asigne a cada una de las variables de la misma. Ejemplos: Ejemplo 1: Calcula el valor el valor numérico de esta expresión algebraica Cuando: En primer lugar, sustituimos las letras por los valores que nos han indicado, en este caso, se cambia la por un Ahora, simplificamos esta expresión numérica según el orden de las operaciones combinadas. Primero hacemos las potencias: Y, multiplicando, obtenemos Ejercicio 2: Calcula el valor el valor numérico de esta expresión algebraica Cuando: En primer lugar, sustituimos las incógnitas (letras) por el valor dado. Ahora, resolvemos las operaciones indicadas. Primero hacemos las potencias:
- 5. En segundo lugar, las multiplicaciones Por último, las sumas y restas Multiplicación en expresiones algebraica: La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y multiplicador. Leyes de exponentes para la multiplicación: Existen 3 principales leyes de la potenciacion para la multiplicación y son: Multiplicación de potencias de bases iguales an⋅am=an+man⋅am=an+m Potencia de un producto (ab)n=an⋅bn(ab)n=an⋅bn Potencia de potencia (an)m=anm(an)m=anm Ejemplos: Ejemplo 1: Multiplicar 3x3y2 por 7x4 (3x3y2)(7x4) Se realiza de la siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente de x es la suma de los exponentes que tiene en cada factor y como y solo esta en uno de los factores se escribe y con su propio exponente. (3)(7)x3+4y2 21x7y2
- 6. Ejemplo 2: Multiplicación de un monomio por un polinomio: Para esta operación se debe multiplicar el monomio por cada uno de los monomios que forman al polinomio, ejemplo: 3 * (2x3-3x2+4x-2) (3 * 2x3) + (3 * -3x2) + (3 * 4x) + (3 * -2) 6x3-9x2+12x-6 Multiplicación de un polinomio por otro polinomio: En esta operación debe de multiplicar cada uno de los monomios de un polinomio por todos los monomios del otro polinomio, por ejemplo: (2x2-3) * (2x3-3x2+4x) (2x2*2x3) + (2x2*-3x2) + (2x2*4x) + (-3*2x3) + (-3*-3x2) + (-3*4x) 4x5-6x4+8x3-6x3+9x2-12x Cabe mencionar que es de suma importancia tener en cuenta que para multiplicar y dividir expresiones algebraicas se utilizan las leyes de los signos para todos las multiplicaciones y divisiones, las leyes de los exponentes para las multiplicaciones y divisiones con la misma base, y las propiedades de los exponentes para las operaciones con bases distintas.
- 7. LEYES DE LOS SIGNOS -Signos iguales el resultado es positivo -Signos diferentes el resultado es negativo Division de expresiones algebraicas: Ejemplos: Ejemplo de división: Dividir 9x3y2 entre 3x2w 9x3y2 / 3x2w 9x3y2 / 3x2w = 3xy2 / w Productos notables de expresiones algebraicas: Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso. Ejemplos: Ejemplo 1): Desarrolle (x+10)2.
- 8. Cuadrado del primer término: x2 . Dos veces el primero por el segundo: 2(x)(10)=20x. Cuadrado del segundo término: 102 =100. Respuesta: Ejemplo 2): Desarrolle (7a2+5x3)2. Cuadrado del primer término: 72 (a2 )2 =49a4 . Dos veces el primero por el segundo: 2(7a2 )(5x3 )= 70a2 x3 . Cuadrado del segundo término: (5)2 (x3 )2 =25x6 . Respuesta: Factorización de expresiones algebraicas La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta de términos algebraicos en un producto algebraico.También se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables. REGLAS PARA OBTENER EL FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO 1. Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes 2.Se identifica las literales con menor exponente que se repitan en cada uno de los términos algebraicos del polinomio a factorizar.
- 9. Ejemplos de factor común en un polinomio: FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN En la factorización por agrupación, no todos los elementos del polinomio comparten un factor común, por lo que se deben identificar primero los grupos de elementos que si comparten términos comunes y después factorizar cada grupo de elementos.
- 10. Ejemplos de factorización por agrupación: DIFERENCIA DE CUADRADOS: La diferencia de cuadrados tiene la forma de x2 – y2 y su factorización es el producto de binomios conjugados: Ejemplos de diferencia de cuadrados: TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO RESULTADO: Es un binomio al cuadrado
- 11. REGLAS PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO 1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales, de forma que los extremos sean expresiones que tengan raíz cuadrada exacta 2.-Se obtiene la raíz del primer y tercer termino 3.-Para comprobar que haya sido un trinomio al cuadrado “perfecto”, se realiza el doble producto de los términos obtenidos en el paso dos y debe ser igual al 2do término del trinomio. 4.-El signo del binomio que dio resultado es el mismo que el signo del 2do término del trinomio original Ejemplos de Trinomio al Cuadrado Perfecto:
- 12. TRINOMIO DE LA FORMA: (x2 + bx + c) RESULTADO: Producto de dos binomios con término común REGLAS PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA FORMA (x2 + bx + c): 1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales, de forma que el primer término sea una expresión que tenga raíz cuadrada exacta 2.-Se obtiene la raíz cuadrada de este primer término y se coloca en los dos binomios 3.-Se buscan dos números que su producto sea igual al 3er término del trinomio (c) y su suma aritmética sea igual al coeficiente del 2do término del trinomio (b). De estos números, el mayor se coloca en el primer binomio y el menor en el segundo binomio. x2 + (e + h) x + (e * h) = (x + e) (x + h) 4.-El signo del primer binomio es igual al signo del 2do término del trinomio, y el signo del segundo binomio es igual al signo resultante del producto de los signos del 2do por el 3er término del trinomio.
- 13. Ejemplos de trinomios de la forma (x2 + bx + c): TRINOMIO DE LA FORMA (ax2 + bx + c) RESULTADO: Producto de dos binomios REGLAS PARA FACTORIZAR UNA TRINOMIO DE LA FORMA (ax2 + bx + c): 1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales 2.-Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del 1er término 3.Con esto, el trinomio del numerador se factoriza a dos binomios con termino común. 4.A cada uno de estos dos binomios se les divide por el denominador para obtener los dos binomios de la forma: (fx + e) (x + h)
- 14. Ejemplos de trinomios de la forma (ax2 + bx + c): SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS RESULTADO: Producto de un binomio por un trinomio REGLAS PARA FACTORIZAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS: 1.-Se obtienen las raíces de cada uno de los términos 2.-El primer término es un binomio igual a la suma o resta de estas raíces obtenidas 3.-El segundo término es un trinomio igual: 1er termino: Igual al cuadrado de la raíz del primer término del binomio 2do término: Igual al producto de las raíces del binomio con signo opuesto. 3er término: Igual al cuadrado de la raíz del segundo término del binomio