trabajo de expresiones algebraicas, producto notable y factorización.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para a Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Estado Lara
Estudiante: Estefany Rojas
Sección DL0303

2. Una expresión algebraica es una combinación de letras ó letras y
números unidos por medio de las operaciones: suma, resta,
multiplicación, división, potenciación ó radicación, de manera finita.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se
dice otra cosa, representan valores fijos en la expresión. Estas letras
también se pueden llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos,
representan variables que pueden tomar valores dentro de un
subconjunto de números reales.

3. Para sumar dos o más expresiones
algebraicas con uno o más términos,
se deben reunir todos los términos
semejantes que existan, en uno sólo.
Se puede aplicar la propiedad
distributiva de la multiplicación con
respecto de la suma.
Ejemplo 1
Sumaremos:
3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a +
5b
Agrupamos las sumas de los términos
comunes:
(4a –3a) + 3a2 + (6b + 5b) + (– 8b2 + 6b2) + c
Efectuamos las sumas de los términos
comunes que pusimos entre paréntesis:
= a + 3a2 + 11b – 2b2 + c
Ejemplo 2
a2 + (-3a2) + b + (-8a2) =
Se agrupan los términos semejantes:
a2 + (-3a2) + (-8a2) + b
Se respetan signos negativos:
a2 – 3a2 – 8a2 + b
Resultado:
–10a2 + b
SUMA DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS

4. RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En matemáticas, la resta algebraica es cuando dos valores se añaden entre sí por
medio de un signo menos (–). Este va a afectar al término siguiente, modificando su
signo. Si el término es positivo, el signo lo vuelve negativo. Y viceversa. Este cambio
de signo va de acuerdo con las Leyes de los signos.
A continuación se muestran diferentes ejemplos posibles en la resta de
monomios:
*De 6b restar 3b. Determinando el minuendo +6b con su signo y posteriormente el sustraendo +3b
con el signo de resta será: 6b – (3b) = 6b – 3b = 3b
*De 18c restar 9a. Determinando el minuendo +18c con su signo y posteriormente el sustraendo
+9a con el signo de resta será: 18c – (9a) = 18c – 9a
En este caso no es posible simplificar ya que cada término tiene diferente letra.
*De –13a2b restar 5a2b.
Determinando el minuendo –13a2b con su signo y posteriormente el sustraendo +5a2b con el signo
de la resta será: –13a2 – (5a2b) = –13a2b – 5a2b = –18a2b
*De –8x2y restar –4ax2. Determinando el minuendo –8x2y con su signo y posteriormente el
sustraendo –4ax2 con el signo de la resta será: –8x2y – (–4ax2) = –8x2y + 4ax2
Se recomienda que el primer término sea el positivo, por lo tanto, es posible reacomodar el
resultado de la siguiente manera: 4ax2 – 8x2y
Ejemplos
A) 8a – 3a = 5a
B) – 5b – (–7a) = 7a – 5b
C) 8x – 3x2 = 8x –3x2
D) 4a – 2a = 2a

5. Y ahora veamos la resta con polinomios:
Seguimos los siguientes pasos para restar polinomios:
Paso 1: Eliminar todos los paréntesis. Para facilitar la visualización, es recomendable
escribir el problema y cada proceso de forma vertical. Cuando eliminamos los
paréntesis, tenemos que distribuir el signo negativo, lo cual hará que cada uno de
los términos cambie de signo.
Paso 2: Combinar términos semejantes. Si es que escribimos los pasos de forma
vertical, la combinación de términos semejantes resulta más fácil. Recuerda que, los
términos semejantes son términos que tienen las mismas variables con los mismos
exponentes.
Ejemplo 1
Realiza la sustracción de
polinomios:
(6x+8y)-(3x-2y).
Solución:
(6x+8y)−(3x−2y)
= 6x+8y-3x+2y
= 6x-3x+8y+2y
= 3x+10y
Ejemplo 2
Resuelve la resta
(6x+8y)-(3x-
2y) verticalmente.
Solución:
6x+8y
-3x+2y
________
3x+10y

6. VALOR NUMERICO DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
El valor numérico de una expresión
algebraica es el número que resulta de
sustituir las variables de la de dicha
expresión por valores concretos y
completar las operaciones. Una misma
expresión algebraica puede tener
muchos valores numéricos diferentes,
en función del número que se asigne a
cada una de las variables de la misma.
La única precaución necesaria es respetar el orden y las propiedades de las operaciones.
Por ejemplo, no tiene sentido calcular el valor numérico de 1/x para X=0, porque no se
puede dividir entre cero. En la siguiente animación puedes ver cómo se haría la
sustitución para calcular el valor numérico de (3x+2y)/z para x=2, y=-1 y z=4 . Faltaría
completar las operaciones (el resultado final es 1), pero lo más importante es que te fijes
en los elementos que se añaden al hacer la sustitución: El punto del producto entre el 3 y
el 2 (valor de x ) y los paréntesis de -1 (valor de y ), que son necesarios para indicar la
multiplicación con el 2.
3x+2y 3.2+2.(-1)
-------- = ------------
z 4

7. Ejemplo 1
el monomio
M(a,b)= -3ab2
tendrá como valor numérico para los valores de
las variables a = 1 y b = -2 y el siguiente valor
M(1,-2) = -3(1)(-2) 2
= -3(1)(+4) = -12
Ejemplo 2
Vamos a calcular el valor numérico del polinomio
P(x) = x2 -3x+2 cuando x= -4.
Entonces,
P(-4) = (-4) 2 -3(-4)+2
=16 + 12 + 2 = 30

8. MULTIPLICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas
dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar
una tercera cantidad llamada producto, que sea respecto del
multiplicando, en valor absoluto y signo lo que el
multiplicador es respecto a la unidad positiva.
Leyes de exponentes para la multiplicación
Por tratarse de un curso elemental de álgebra, necesitaremos las
propiedades de teoría de exponentes ya anteriormente
estudiadas. Por tratarse de multiplicación entre polinomios,
usaremos las 3 principales leyes de la potenciación para la
multiplicación y son:
Multiplicación de potencias de bases iguales
a^n ⋅ a^m = a^n+m
Potencia de un producto
(ab)^n = a^n ⋅ b^n
Potencia de potencia
(a^n)^m = a^nm
Multiplicar
–3a2y2 por 4a3y3.
Se multiplican los
coeficientes
(–3)(+4) = –12,
y a continuación se hace la
multiplicación de las letras
(a2y2)(a3y3) = a(2 + 3)y(2 + 3) =
a5y5,
por lo tanto, el resultado
será:
(–3a2y2)(4a3y3) = –12a5y5

9. Ejemplo 1.
Multiplicar
(a + 3) por (3 – a):
(a + 3)
x (3 - a)
--------------------
– a2 – 3a
+ 3a + 9
--------------------------
– a2 + 0 + 9
Ejemplo 2
Multiplicar
4b por (a2 – 3ab + 5b2c)
(a2 – 3ab + 5b2c)
x (4b)
-------------------------------
4a2b – 12 ab2 + 20b3c

10. DIVISION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La división algebraica es una operación entre dos
expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para
obtener otra expresión llamado cociente por medio de un
algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener
en cuenta un punto importante: el mayor exponente
de algún término del dividendo debe ser mayor o igual al
mayor exponente de algún término del divisor.
Ejemplo 2:
restando los exponentes de las potencias de
la misma base se obtiene el resultado:
Para dividir un polinomio entre un
monomio basta con dividir cada uno de
los términos del dividendo entre el
término del divisor.

11. Para dividir dos polinomios se procede de la manera siguiente:
1) Se ordena el dividendo y el divisor con respecto a una misma letra.
2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del
divisor, obteniéndose así el primer término del cociente
3) Se multiplica el primer término del cociente por todo el divisor y el producto
así obtenido se resta del dividendo, para lo cual se le cambia de signo y se
escribe cada término de su semejante. En el caso de que algún término de este
producto no tenga ningún término semejante en el dividendo, es escribe dicho
término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del
dividendo y del divisor.
4) Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor,
obteniéndose de este modo el segundo término del cociente.
5) El segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el
producto así obtenido se resta del dividendo, cambiándole todos los signos.
6) Se divide el primer término del segundo resto entre el primer término del
divisor y se repiten las operaciones anteriores hasta obtener cero como resto.
Ejemplo 1
Dividimos los polinomios
Cociente
Resto
Ejemplo 2:
Dividimos los polinomios:
Cociente
Resto

12. PRODUCTO NOTABLE DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es
preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Tipos de productos notables
Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con su característica
particular, sus diferentes formas de resolver y con distintas reglas que cumplir, entre estos podemos
mencionar los siguientes:
*Binomio al cuadrado.
Ejemplo 1
Resolver (m+2) 2
Solución:
(m+2) 2 = m 2 +2mn+2 2
= m 2 +2mn+4
Ejemplo 2
Resolver (2x+3y) 2
Solución:
(2x+3y) 2
=(2x) 2 +2(2x)(3y)+(3y) 2
=4x 2 +12xy+9y2
Un binomio al
cuadrado es igual
al cuadrado del
primero, más el
doble del primero
por el segundo,
más
el cuadrado del
segundo.
*Binomio al cubo.
El binomio al cubo o
cubo de un binomio
expresados en
sumandos resulta ser
igual al cubo del
primero más el triple
del cuadrado del
primero por el
segundo más el triple
del primero por el
cuadrado del segundo
más el cubo del tercero
Ejemplo 1
Resolver (x+2y) 3
Solución:
(x+2y) 3
=x 3 +3(x) 2 (2y) +3(x)(2y) 2 +(2y ) 3
=x 3 +6x 2 y+12xy 2 +8y 3
Ejemplo 2
Resolver (m−n) 3
Solución:
(m−n) 3= m 3–n 3–3mn(m−n)
El producto de binomios
conjugados, es decir la suma
de dos cantidades
multiplicadas por su
diferencia es igual al
cuadrado de la primera
cantidad menos el cuadrado
de la segunda.
Ejemplo 1
(x + a)*(x – a) = x2 – a2
solución:
(x + a)*(x – a) = (x)(x) + (x)(-a) + (a)(x) + (a)(-a)
= x2 – ax + ax – a2 = x2 – a2
Ejemplo 2
(x + y)*(x – y) = x2 – y2
solución:
(x + y)*(x – y) = x2 – xy + xy – y2
=x2 – y2
*Binomios conjugados:

13. *Trinomio al cubo
*Binomios con un termino común.
“El producto de dos
binomios con un
término común es
igual al cuadrado del
término común, más
la suma de los
términos no comunes
por el término común,
más el producto de
los no comunes”.
Ejemplo 1
(x + 2)*(x + 5)
Solución:
(x + 2)*(x + 5) = x2 + (2 + 5)x +
10
= x2 + 7x + 10
Ejemplo 2
(x + 1)(x + 2)
solución:
(x + 1)(x + 2) = x2 + (1+2)x +
(1*2)
= x2 + 3x + 2
*Trinomio al cuadrado
Untrinomiocuadrado consisteenunpolinomiocondos
cuadradosperfectosyotrotérminoqueeseldobleproducto
delasbasesdeesoscuadrados
Ejemplo
Solución:
Cuando hablamos del
cubo de un trinomio o
trinomio al cubo nos
referimos a una expresión
algebraica; formada por
tres términos que se
pueden sumar o restar, y
donde las sumas o restas
están elevadas al cubo
Ejemplo
Solución

14. FACTORIZACION POR PRODUCTO NOTABLE
Uno de los principales productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar con la expresión a
factorizar si tiene tres términos es el producto de binomios con un término en común, escrito para
identificar como
x2 + (a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
con a y b números enteros
Para factorizar el trinomio buscamos dos números que sumados den el coeficiente de x y multiplicados
el término independiente.
Factor común: Para obtener el factor común de un polinomio, se obtiene el
máximo común divisor de los coeficientes y la literal o literales con menor
exponente que se repitan en cada uno de los términos algebraicos del polinomio a
factorizar.
Ejemplo 1
8x-4y+12z
En este caso, el 4 es un factor
común de todos los términos:
8x−4y+12z= 4(2x−x+3z)
Ejemplo 2
-6a-9b-3c
En esta expresión, el factor común de
todos los términos es -3
−6a−9b−3c = −3(2a+3b+c)
.
a) X2 +2x-15= (x+5)(x-3) b) Y2 -4y-3 = (y-3) (y-1)

15. Suma por diferencia: Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
Es decir, que el resultado de multiplicar la suma de dos números por su diferencia es el mismo que si
restamos los cuadrados de ambos números.
Llamando a esos números "a" y "b", una demostración sería: (a + b) (a - b) = a a - a b + b a - b b = a2 - b2
Factor común por agrupación: Los términos del polinomio a factorizar se agrupan conforme aquellos
que tengan un factor en común, de modo que la nueva expresión se pueda factorizar.
Ejemplo 1
2x + 2y + ax + ay
Solución:
(2x + ax) + (2y + ay)
x·(2 + a) + y·(2 + a)
(x + b)·(4x - y -15)
Ejemplo 2
4ax + 4bx - ay - 15a - by -15b
Solución:
(4ax - ay -15a) + (4bx - by - 15b)
a·(4x - y -15) + b·(4x - y - 15)
(a + b)·(4x - y -15)
Ejemplo 1
Solución
Ejemplo 2
Solución:

16. Se trata la factorización de expresiones que son o pueden escribirse como una suma o una diferencia de cubos.
La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero es la suma de sus raíces cúbicas, y
el segundo se compone del cuadrado de la primera raíz menos el producto de ambas raíces mas el cuadrado
de la segunda raíz.
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
Factoriza:
x3 + 8.
es lo mismo que: x3 + 23 .
Sacamos las raíces:
x3 = x 8 = 2
formula: x3+a3=(x+a)(x2 +a2-ax)
Sustituimos en la formula:
x3 + 8 = x3 + 23 =(x+2)[x2+22-2x]
= (x+2)(x2 +4-2x)
Factoriza:
x3−125.
Es lo mismo decir:
X3 = x 125 = 5 3
Sustituimos la formula
x3−125 = X3 − 5 3 =(x−5)(x2+5x+25)

17. Bibliografía
• Suma de expresiones algebraicas
https://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/matematicas_fundamentales/Expresiones/Cap2/#:~:text
=SUMA%20DE%20EXPRESIONES%20ALGEBRAICAS,con%20respecto%20de%20la%20suma.
https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4670-ejemplo_de_suma_algebraica.html#ixzz7o7rp0sew
• Resta de expresiones algebraicas https://www.matematicas18.com/es/tutoriales/algebra/resta-de-monomios-y-polinomios/
https://www.neurochispas.com/wiki/ejercicios-de-resta-de-polinomios/
• Valor numérico de expresiones algebraicas
https://www.edu.xunta.gal/centros/espazoAbalar/aulavirtual/pluginfile.php/2556/mod_imscp/content/1/valor_numrico
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https://www.leccionesdemates.com/blog/ejercicios-resueltos-de-valor-numerico/
• División de expresiones algebraicas https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/5-division-
algebraica/#:~:text=Fin-
,%C2%BFQue%20es%20la%20divisi%C3%B3n%20algebraica%3F,por%20medio%20de%20un%20algoritmo.
• https://sites.google.com/site/algebrageneralidadesii/division-de-polinomios
• Producto notable de expresiones algebraicas https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-
algebraicas/productos-notables/
• https://www.ejemplosde.com/5-matematicas/2203-ejemplos_de_binomios_conjugados.html
• https://www.ejemplosde.com/5-matematicas/2204-ejemplos_de_binomios_con_termino_comun.html
• https://www.polinomios.org/trinomio-cuadrado-perfecto/
• Trinomio al cubo, como se resuelve?, sus formulas, ejercicios resueltos (wikimat.es)
• https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/algebra/polinomios/productos-notables.html
• https://nodo.ugto.mx/wp-content/uploads/2017/03/Unidad-2-Productos-Notables-y-Factorizacion.pdf

18. Factorización por producto notable https://cursoparalaunam.com/productos-notables-y-
factorizacion#:~:text=La%20factorizaci%C3%B3n%20es%20el%20proceso,del%20desarrollo%20de%20productos%20notable
s.
https://www.neurochispas.com/wiki/factorizacion-de-diferencia-de-cubos/