Plan-de-la-Patria-2019-2025- TERCER PLAN SOCIALISTA DE LA NACIÓN.pdf
TRABAJO MATEMATICA EXPRESIONES ALGEBRAICAS.docx
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para La Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial de Lara, Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Estado Lara
Suma, Resta, Valor Numérico,
Multiplicación, División y Productos
Notables de Expresiones Algebraicas,
Factorización por Productos Notables.
Participantes:
Oriana Pérez
CI: 18.423.137
José Fernández
C.I. 31.724.268
Raimary González
C.I. 25.136.083
Sección: DL0402
Materia: Matemáticas
Docente: María Ramírez
Barquisimeto, 2023
2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Las expresiones algebraicas son combinaciones de números, variables y operaciones
matemáticas, como la suma, resta, multiplicación y división. Se representan
mediante símbolos y letras, donde los números se consideran constantes y las letras
representan variables, es decir, valores que pueden variar. Funcionan todas las reglas
aritméticas que hemos aprendido hasta ahora, solo que algunos números son
sustituidos por letras que pueden recibir distintos valores. Se va a entender mejor
con ejemplos:
Suma de dos números: Si tenemos dos números, por ejemplo, el 3 y el 5, sabemos que
para sumarlos se escribe 3+5. Sabemos que su suma vale 8. Si los dos valores no son
conocidos, también podremos sumarlos, aunque ahora no sabremos el resultado. Podemos
representar esos dos números con las letras x e y, que como no tienen un valor fijo se
llamarán variables. Si queremos expresar la suma de estos dos números, podemos usar la
expresión algebraica: x + y. Observa que usamos dos variables distintas porque no nos han
dicho que sean el mismo número, solo que queríamos obtener una expresión para la suma
de «dos números».
El doble de un número: 2x
Área de un rectángulo: Al igual que para calcular el área de un rectángulo de base 4 y
altura 2 multiplicamos 4 por 2, si deseamos calcular el área de un rectángulo con base «b» y
altura «a», podemos utilizar la expresión algebraica: A = b · a, donde «A» representa el
área del rectángulo.
Fórmula del área de un círculo: Si conocemos el radio de un círculo, representado por
«r», podemos utilizar la expresión algebraica: A = π · r2
para calcular su área. Aquí, «A»
denota el área del círculo y π es una constante que representa el valor aproximado de pi,
usualmente tomamos 3,1416.
Conversión de temperatura: Supongamos que deseamos convertir una temperatura en
grados Celsius a grados Fahrenheit. Podemos utilizar la expresión algebraica: F = (9/5) · C
+ 32, donde «C» representa la temperatura en grados Celsius y «F» representa la
temperatura equivalente en grados Fahrenheit.
SUMAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma de dos
términos semejantes se pueden reducir a un solo término, si tales términos son diferentes
ante una suma, simplemente el resultado se deja expresada tal cual es sin cambiar los signos
de los términos.
Generalmente en álgebra elemental realizamos las operaciones entre polinomios donde se
suele usar signos agrupación y es cierto que el operador suma (++) acompañada de los
signos de agrupación no afecta tanto el resultado final por lo que el lector pensará que es
una pérdida de tiempo mencionar este tipo de obviedades, pero la cosa cambia cuando
3. tratemos con el operador diferencia (––), pero esto lo veremos en la siguiente sección, lo
anteriormente explicado solo sirve para aclarar esta diferencia.
Decíamos, cuando realizamos sumas entre polinomios, donde encontramos signos de
agrupación y el operador suma (++), los signos de agrupación se pueden ignorar sin afectar
los signos operacionales de cada término del polinomio encerrado entre los signos de
agrupación, veamos el siguiente apartado un ejemplo generalizado:
Ejercicio 1: Suma las siguientes expresiones algebraicas: 3x + 2y - 4z
y 5x - 3y + 7z
Solución: Para sumar estas expresiones, simplemente sumamos los términos semejantes:
(3x + 5x) + (2y - 3y) + (-4z + 7z) = 8x - y + 3z
Ejercicio 2: Resta las siguientes expresiones algebraicas: 4a - 2b + 5c y 2a + 3b - 7c
Solución: Para restar estas expresiones, restamos los términos semejantes: (4a - 2a) + (-2b -
3b) + (5c + 7c) = 2a - 5b + 12c
Sumas entre monomios: Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4, el
resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este
caso, sin exponente). En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en
ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x: 1 ejercicio. 2x + 4x = (2+4) x =6x
Suma de polinomios: Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por
sumas y restas de los diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos
polinomios, podemos seguir los siguientes pasos: ejercicio 1.
Ejercicio 1:
Dado el polinomio 3x + 5, encuentra el valor numérico cuando x = 2.
Sustituyendo x por 2, obtenemos:
3(2) + 5 = 6 + 5 = 11
Por lo tanto, el valor numérico de 3x + 5 cuando x = 2 es 11.
Ejercicio 2:
Dado el polinomio 4y - 7, encuentra el valor numérico cuando y = 3.
4. Sustituyendo y por 3, obtenemos:
4(3) - 7 = 12 - 7 = 5
Por lo tanto, el valor numérico de 4y - 7 cuando y = 3 es 5.
RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser
expresiones.
Resta de monomios: A continuación, se muestran diferentes ejemplos
posibles en la resta de monomios:
Ejercicio:
Resta 5x^2 - 3x de 7x^2 - 2x.
Solución:
Para restar estas expresiones algebraicas, primero identificamos términos
similares. En este caso, ambos términos tienen un término con x^2 y un
término con x.
Entonces, la resta se ve así:
(7x^2 - 2x) - (5x^2 - 3x)
Al restar, recordamos que, al restar un término negativo, cambiamos su
signo. Luego, restamos término por término:
7x^2 - 2x - 5x^2 + 3x
Agrupamos los términos similares:
(7x^2 - 5x^2) + (-2x + 3x)
2x^2 + x
5. Por lo tanto, la resta de 5x^2 - 3x de 7x^2 - 2x es 2x^2 + x.
Resta de polinomios: En la resta de monomios en realidad consiste en
cambiar el signo del sustraendo, es recomendable analizar con paréntesis ya
que en la resta de polinomios el signo de la resta afecta a todo el sustraendo,
por lo tanto, se estaría empleando el mismo método realizado.
Para restar polinomios de expresiones algebraicas, primero necesitas identificar
los términos semejantes y luego combinarlos. Por ejemplo, vamos a restar el
monomio 7x^2 - 2x de 5x^2 - 3x.
1. Escribe la expresión original: 5x^2 - 3x - (7x^2 - 2x)
2. Elimina los paréntesis y cambia el signo del segundo polinomio: 5x^2 - 3x -
7x^2 + 2x
3. Combina los términos semejantes: (5x^2 - 7x^2) + (-3x + 2x)
4. Realiza las operaciones: -2x^2 - x
Entonces, la resta de 7x^2 - 2x de 5x^2 - 3x es igual a -2x^2 - x.
MULTIPLICACIONES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas
multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto, que sea
respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo lo que el multiplicador es respecto a la
unidad positiva. El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
MONOMIO POR MONOMIO:
Se multiplica cada elemento del monomio por su par del otro monomio, es decir;
Coeficiente x coeficiente, misma base por misma base.
Ejercicios:
1) 5 x2.
3x5
= 15x7
2) -6m3
. (-3 m5
)=18m8
3) 4x3
y2
(-5x4
) = -20x7
y2
6. 4) –
m5
. mn = m6
n
MONOMIO POR POLINOMIO:
Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio.
Ejercicios:
1) 5x2
(2x3
+ 3y3
)= 10x5 + 15x2
y3
2) -3m2
(-5+ 7 mn – 9n) = 15m3
n – 21m3
n2
+ 27m2
n2
3) -7x2
y2
(5x2
-9xy-12y2
) = -35x4
y2
+ 63x3
y3
+ 84x2
y4
POLINOMIO POR POLINOMIO
Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos
del segundo polinomio.
Ejercicios:
1) (3x+2y) (5x-4y)
= 15x2
-12xy + 10xy -8y2
= 15x2
-22xy -8y2
2) (-2m2
n + 3m) (-5m+4m2
n-6)
=10m3
n-8m4
n2
+12m3
n-15m2
n-18m
=22m3
n-8m4
n2
+ 12m2
n – 15m2
-18m
3) (5x3
– 4 x2
+x) (-3x2
+ 6x-7)
= -15x5
+30x4
-35x3
+12x4
-24x3
+28x2
-3x3
+6x2
-7x
=-15x5
+42x4
-62x3+34x2
-7x
DIVISIONDEEXPRESIONESALGEBRAICAS.
La división algebraica es la operación inversa de la multiplicación y tiene por objeto
encontrar una expresión llamada cociente, a partir de dos expresiones llamadas dividendo y
divisor. Si el dividendo y el divisor tienen el mismo signo, el cociente es positivo; si tienen
signos contrarios, el cociente es negativo.
MONOMIO ENTRE MONOMIO
Se divide cada uno de los elementos del primer monomio entre cada uno de los elementos
del segundo monomio.
7. Ejercicios:
1) a4
b5
/a2
b2
= a2
b3
2) 28 a5
b7
c2
/ -4 a5
b5
c2
= -7b2
3) -8x3
y3
/ 8x3
y3
= -1
POLINOMIO ENTRE POLINOMIO
Se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio.
Ejercicios:
1) 3x2
+2x-8 entre x+2
(3x^2 + 2x - 8) / (x + 2) = 3x - 4
3x^2 + 6x
---------------
- 4x - 8
- 4x - 8
---------
0
2) 2 x2
-15x +25 entre x-5
(2x^2 - 15x ) / (x - 5) = 2x - 5 Resto -25
2x^2 - 10x
-----------------
- 5x
- 5x + 25
----------
- 25
8. PRODUCTOS NOTABLES DE EXPRESIONES ALGEBRAÌCAS
Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones
algebraicas las cuales sobresalen de las demás multiplicaciones por su frecuente
aparición en matemáticas. De ahí el nombre producto, que hace referencia a
"multiplicación" y notable, que hace referencia a su "destacada" aparición. Se pueden
resolver con la ayuda de reglas generales y evitar que se hagan todas las operaciones de
desarrollo.
Los productos notables más comunes son:
BINOMIO AL CUADRADO:
1.-Se eleva al cuadrado el primer término del binomio.
2.-Se suma o se resta el doble producto del primer término por el segundo.
3.-Se suma el cuadrado del segundo término del binomio.
Ejemplo:
a) Si los dos signos del binomio son iguales, el, doble del primero por el segundo es
positivo.
(a+b)2
= a2
+ 2ab+b2
b) Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es
negativo.
(a-b)2
= a2
– 2ab+b2
LOS BINOMIOS CONJUGADOS:
1.-Se eleva al cuadrado el término que no cambia de signo.
2.-Se resta el cuadrado del término que cambia de signo.
Ejemplos: (x +y) (x-y) = x2
– y2
9. BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN:
1.-Se eleva al cuadrado el término común.
2.-Se suman algebraicamente los términos no comunes y se multiplican por el término
común.
3.-Se suma el producto algebraico de los dos términos no comunes.
Ejemplo: (x+y) (x+2) = x2
+ (y+2) x + y z
TRINOMIO AL CUBO:
1.-El cubo el primer término.
2.-Mas el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo.
3.-Mas el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo término.
4.-Mas el cubo del segundo término.
Ejemplo: (a+b+c)3
= (a3+b3
+c3
(a2b+ a2
c+b2
c+ c2
b) + 6abc
FACTORIZACION POR PRODUCTOS NOTABLES
En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición en
factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o resta,
una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos métodos de
factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo
es simplificar una expresión o reescribirla en términos de bloques fundamentales, que
reciben el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un
polinomio en polinomios irreducibles.
Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión, la multiplicación de los
factores juntos polinómicas a un polinomio "ampliado", escrito como una simple suma de
términos.
El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para
la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de
10. números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere
de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la
fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica.
Ejemplos:
=
𝑥2
+ 6x + 8
x + 2 𝑥 + 4
=
𝑥2
+ 5x − 24
x − 3 𝑥 + 8
=
𝑥3
+ 𝑥2
− 9𝑥 + 9
x − 1 𝑥 − 3 𝑥 + 3
=
𝑥3
+ 𝑥2
− 9𝑥 + 9
𝑥2 − 9
=
x − 1 𝑥 − 3 𝑥 + 3
𝑥 − 3 𝑥 + 3
= x-1
Método Ruffini
1 1 -1 -9 -9
1 0 -9
3 1 0 -9 0
3 9
-3 1 3 0
1 3
-3
1 0
9 3
3 3
1
± 1±3
11. FACTORIZACIÓN DE ENTEROS.
Por el teorema fundamental de la aritmética, cada entero positivo tiene una única
descomposición en números primos (factores primos), es decir, se puede representar de
forma única como producto de factores primos.
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Las técnicas modernas para la factorización de polinomios son rápidas y eficientes. El uso
de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.
La factorización es una técnica que consiste en la descomposición de una expresión
matemática, en forma de producto. Mientras que la noción general de factorización solo
significa escribir una expresión como un producto de las expresiones más simples.
FACTOR COMÚN
El método consiste en hallar el factor común de cada uno de los términos de la expresión
algebraica, para los coeficientes se halla el Máximo Común Divisor y para las variables se
toma la de menor exponente. Una vez hallado el factor común, se divide cada término de la
expresión algebraica y el resultado se escribe entre paréntesis.
Ejemplo: (x+y) (x+z) = x2
+ (y+z) x 7 yz
DIFERENCIA DE CUADRADOS
Este debe cumplir con las siguientes condiciones:
Que sean dos binomios.
Que sea una resta.
Que ambos términos sean el cuadro de un número.
Se resuelve hallando la raíz cuadrada de cada término, para formar el producto de dos
binomios conjugados.
Ejemplo: (a+b) (a-b) = a2
– b2
12. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS
Este método está formado por una suma o resta (diferencia) de cubos y se resuelve hallando
la raíz cúbica de cada término, para obtener el producto de un binomio por un trinomio.
Ejemplo: (a+b) (a-b) = a2
- b2
a+b) (a-b) = a2
- b2
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Para su aplicación se debe verificar que la expresión algebraica sea un cuadrado perfecto,
donde el primer y el tercer término se encuentran elevados al cuadrado y el término del
medio, sea el doble del producto de las raíces halladas.
Ejemplo: (a+b+c)2
= a2
+b2
+c2
+ 2ab+ 2ac+ 2bc
PRODUCTOS NOTABLES DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Ejercicios:
1. (2n3
b4
+3c5
)2
Fórmula
(a+b)2
= a2
+2ab+b2
Solución
(2 a3
b4
+ 3c5
)2
= (2 a3
)2
+ 2.2 a3
b4
. 3c5
+ (3c5
)2
= 4 a6
b8
+12 a3
b4
c5
+ 9c10
2. ( x3
y2
z -4 x y)3
Formula
(a-b)3
= a3
– 3 a2
b+ 3ab2
– b3
Solución
13. ( x3
y2
z – 4 c y)3
= ( x3
y2
z)3
– 3 ( x3
y z )2
x y + 48 x3
y2
x2
y2
- 64 x3
y3
= x9
y6
z3
– 12 x7
y5
z2
+ 48 x5
y4
z – 64 x3
y3
14. BIBLIOGRAFÍA.
Suma de expresiones algebraicas
Autor: Matemáticas Profe Alex
Url del video: https://www.youtube.com/watch?v=E6Qe6euUeyo
Resta de expresiones algebraicas.
Autor: Matemáticas Profe Alex
Url del video: https://www.youtube.com/watch?v=WJD20MQUl6o
Conceptos: cursosparalaunam.com/multipicacion-ydivision-de-expresiones-algebraicas.
Ejercicios de Multiplicación de Expresiones Decimales: Monomios por
Monomios
Autor: Matemáticas Profe Alex
Url del video: https://www.youtube.com/watch?v=WoHBPvFC4Cs&t=49s
Conceptos: cursosparalaunam.com/multipicacion-ydivision-de-expresiones-algebraicas.
Ejercicios de Multiplicación de Expresiones Decimales: Monomios por
Polinomios
Autor: Matemáticas Profe Alex
Url del video: https://www.youtube.com/watch?v=_hHpYgZ6e_s&t=125s
Ejercicios de Multiplicación de Expresiones Decimales: Polinomios por
Polinomios
Autor: Matemáticas Profe Alex
Url del video: https://www.youtube.com/watch?v=6-1NJt3-lTg
Productos Notables
