Metodos para la Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Cabudare – Lara
Análisis Numérico
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Simón Azuaje

2. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales,
también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema
lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de
ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre
un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones
sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las
variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
Métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales.
1. Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar un sistema
de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea
escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema
en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las
variables y los términos independientes (separados por una
recta).

3. Ejemplo
3x +2y + z = 1
5x +3y +4z = 2
x + y - z = 1
2. Descomposición de LU
Método de descomposición LU para la solución de sistemas de
ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposición
de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y
U).
Esto es:
Donde:

4. L - Matriz triangular inferior
U - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal
iguales a 1.
De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:
=
Si efectuamos la multiplicación de L y U, igualando los elementos
de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:
De aquí que los elementos de L y U son, en este caso:
Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:
A x = b
lo cual resulta lo mismo escribir:
L U X = b

5. Definiendo a:
U X = Y
podemos escribir:
L Y = b
Resolviendo para Y, encontramos:
El algoritmo de solución, una vez conocidas L, U y b, consiste en
encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitución progresiva
sobre "L Y = b". En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitución
regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:
La determinación de los elementos de las matrices L y U se
realizan eficientemente aplicando una forma modificada del método de
eliminación de Gauss.
Se observa que el método de descomposición LU opera sólo
sobre la matriz de coeficientes, sin modificar el vector de excitación (en
este caso b), por lo que resulta superior al método de eliminación
gausiana.

6. Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, factorizando la
matriz en LU:
=
Las matrices de factores L y U de A son:
L = U =
El primer paso es resolver la ecuación L Y = b por sustitución
progresiva para obtener los elementos del vector auxiliar Y:
=
Donde

7. El segundo paso es resolver la ecuación U X = Y para encontrar
los elementos de X, por sustitución regresiva:
=
De donde se obtiene:
3. Factorización de Cholesky
Se define como que una matriz simétrica definida positiva puede
ser descompuesta como el producto de una matriz triangular inferior y
la traspuesta de la matriz triangular inferior. La matriz triangular inferior es
el triángulo de Cholesky de la matriz original positiva definida.
Ejemplo:
Sea
Evidentemente es una matriz simétrica. El carácter definida
positiva lo extraeremos del propio algoritmo. Procedemos como
si calculásemos la descomposición LU de la matriz.

9. 4. Factorizacion QR
La descomposición o factorización QR de una matriz es
una descomposición de la misma como producto de una matriz
ortogonal por unatriangular superior. La descomposición QR es la base
del algoritmo QR utilizado para el cálculo de los vectores y valores
propios de una matriz.
Ejemplo:
Si se considera la descomposición de
Se busca la matriz ortogonal tal que
Por lo que calculamos mediante Gram-Schmidt como sigue:

10. Considerando errores numéricos de operar con precisión finita en MATLAB, tenemos que
5. Metodo Gauss Seidel
Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación
inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error
tan pequeño como se quiera. Buscamos la solución a un sistema de
ecuaciones lineales, en notación matricial.
6. MetodoJacobi
El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal
al eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal.
Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones, ya
que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no
cero en el elemento cero anterior. Si A es diagonalmente dominante, entonces
la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax =
b para cualquier vector inicial Xo. Partimos de una aproximación inicial Xo para
las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la
ecuación