Breve introducción a los ángulos y rotaciones de Euler.

1. Ángulos de Euler
Ángel M. Carreras
MATH 5800
Tópicos en Álgebra Abstracta
Prof. Álvaro Lecompte

2. Rotaciones de Euler
• Precesión
– Cambio de la dirección del eje
alrededor del cual gira un objeto.
• Nutación
– Movimiento en el eje de
rotación.
• Rotación
– Movimiento en el cual dado un
punto cualquiera en un objeto
este permanece equidistante a
un punto fijo.

3. Ángulos de Euler
• Teorema de rotación de Euler
– Cualquier rotación puede ser descrita utilizando
tres ángulos.
• Si las rotaciones son escritas en términos de
matrices de rotación D, C y B, entonces una
rotación general A puede ser escrita como
A = BCD
• Los tres ángulos que dan las matrices de
rotación son llamados ángulos de Euler.

4. • Los ángulos de Euler
constituyen un
conjunto de tres
coordenadas
angulares que sirven
para especificar la
orientación de un
sistema de referencia
de ejes ortogonales,
normalmente móvil,
respecto a otro
sistema de referencia
de ejes ortogonales
normalmente fijos.

5. Ángulos de Euler
• Las rotaciones dadas por los ángulos de Euler
(, , ), son:
1. La primera rotación es por un ángulo  a través
del eje de z utilizando D.
2. La segunda rotación es por un ángulo   [0, π]
sobre el que era originalmente el eje de x
utilizando C.
3. La tercera rotación es por un ángulo  sobre el
que era originalmente el eje de z utilizando B.

6. Ángulos de Euler
• Los componentes de rotación están dados
por:
cos   sin  0 1 0 0 
D   sin  cos 
 0  , C  0 cos 
   sin  

 0
 0 1 0 sin 
 cos   
cos   sin  0
B   sin  cos 
 0

 0
 0 1

Mathematica

7. Ángulos de Euler
Así que ahora podemos encontrar a A = BCD
a11 = cos(f) cos(j) - cos(q) sin(f) sin(j)
a12 = -cos(j) sin(f) - cos(q) cos(f) sin(j)
a13 = sin(q) sin(j)
a21 = cos(q) cos(j) sin(f) + cos(f) sin(j)
a22 = cos(q) cos(f) cos(j) - sin(f) sin(j)
a23 = -cos(j) sin(q)
a31 = sin(q) sin(f)
a32 = cos(f) sin(q)
a33 = cos(q)

8. Ángulos de Euler
• ¿Cómo descomponer la matriz de rotaciones A
para encontrar los ángulos de Euler?
 a31 
  arctan  
 a32 
 a 
  arctan  13 
  a23 
  arctan  a33 
Esto se puede hacer solamente si sabemos como están definidos ,  y .

9. Aplicaciones
• Euler Angles for Space Shuttle