UNIDAD 3 METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES

1. INGENIERIAEN SISTEMAS COMPUTACIONALES
METODOS NUMERICOS
UNIDAD 3
METODOS DE SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES
INVESTIGACION
“SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES:
METODO DE JACOBY”
PROFESOR: ISC.MCA GIL SANTANA ESPARZA
S401
25-042016
NOMBRE DEL ALUMNO: ANEL VERONICASOSAMEJIA
Fecha de entrega:25/04/2016

2. Solucio´n de sistemas de ecuaciones lineales:
M´etodo de J´acobi
Introducci´on
En esta investigación veremos como se lleva a cabo la solución de una ecuación lineal en forma matricial
por el método de jacoby. El cual explicare brevemente y con palabras simples para después analizarlo un
poco más detalladamente.
Para ello, lo primero que se debe hacer es saber si la matriz es diagonalmente dominante es decir que
las sumas de los números que no estén en la diagonal no sea mayor al numero que pasa por la diagona l
en esa línea. Es de mencionar el siguiente teorema: " Si A es estrictamente diagonal dominante, entonces
con cualquier elección de la aproximación inicial, el método de Jacobi da una sucesión que converge a la
solución única de Ax = b"
Despues usando las formulas correspondientes al método en este caso para el segundo paso que es
darle valor inicial a las x que por comodidad se les da cero pero tambien podemos usar esta formula
asi para cada “b” .
Enseguida procedemos con la siguiente formula
pero también se
puede simplemente despejando la x de forma algebraica.
El tercer paso es encontrar ver si ya llegamos al error que es :
Consiste b´asicamente en obtener una ecuacio´n de recurrencia (matricial en este caso)y proponer un
vector solucio´n inicial; posteriormente, se deber´an realizar las iteraciones necesarias hasta que la
diferencia entre dos vectores consecutivos cumpla con una tolerancia predefinida.
Por otra parte, resta el hecho de tener que evaluar un criterio de equivalencia el cual, naturalmente ,
tendra´ caracter vectorial.

3. Definición del método de Jácobi
Sea el sistema de ecuaciones lineales AX¯ = ¯b, donde A es la matriz de coeficientes, X¯ de
inco´gnitas y ¯b el vector de t´erminos independientes
AX¯ = ¯b
En la ecuacio´n 1 se puede sustituir a la matriz A por la suma de dos matrices:
A = D + R
En donde la matriz D es una matriz cuyos elementos son cero excepto los elementos de la
diagonal que corresponden a los elementos de la matriz A y R que es una matriz con ceros
en la diagonal y sus restantes elementos coindicen con los respectivos de A.
despejar a la inco´gnita de ubicada en la diagonal principal de cada una de las ecuaciones
que conforman el sistema, de la siguiente forma:

4. a
El m´etodo de J´acobi propone que el vector inicial X¯ 0 sea igual a cero. A partir de esta
propuesta, el vector siguiente ser´a X¯ 1 = bi
, es decir, el elemento independiente entre el
coeficiente de la diagonal ii
principal para cada ecuacio´n.
Este vector X¯ (1) se sustituye en las ecuaciones 8 obteni´endose el siguiente vector X(2). El
proceso se realiza consecutivamente hasta que la norma entre dos vectores consecutivos es
menor que cierta tolerancia preestablecida.
La norma θ se calcula como:
Criterio de covergencia
El m´etodo de J´acobi es susceptible de los efectos del pivoteo. En consecuencia, su criterio de
con- vergencia lo conforman los criterios de la diagonal pesada, mismo que posee dos
condiciones:
1. Condicio´n necesaria: Es condicio´n necesaria que el elemento ubicado en la diagonal
principal de cada ecuacio´n sea mayor en valor absoluto que el resto de los
elementos de la misma ecuacio´n.
|aii| > |aij| (11)
2. Condicio´n suficiente: Es condicio´n suficiente que el elemento ubicado en la diagonal
principal de cada ecuacio´n sea mayor en valor absoluto que la suma del resto de
los elementos de la misma ecuaci´on.
|aii| >
.
|aij|

5. Ejemplo de aplicación
se observa que los elementos ubicados en la diagonal principal cumplen satisfactoriamente
con el criterio de convergencia o diagonal pesada. Dado lo anterior, se resolver´a el sistema
utilizando el método de jacoby. Las ecuaciones de recurrencia son:
La primera iteracio´n k = 1 es:
La segunda iteracio´n k = 2 se obtiene sustituyendo al vector X1
()
en las ecuaciones de recurrencia .
10X1 +X2 +2X3 = 3
4X1 +6X2 −X3 = 9
−2X1 +3X2 +8X3 = 51
Se obtiene dividiendo el
vector B entre la diagonal de
la linea
*Como se pude ver se despeja
algebraicamente.

6. Las sucesivas iteraciones se muestran en
los cuadros 1 y 2. Las tolerancias son
calculadas con la NORMA: Se dice
entonces que despu´es de trece iteraciones,
con una tolerancia = 0,000007, el vector
solucio´n es:
Cuadro 1: Iteraciones 0 a 6 por el m´etodo de J´acobi
Cuadro 2: Iteraciones 7 a 12 en el m´etodo de J´acobi
Recurencia son:
La diferencia se presenta en el c´alculo de la iteracio´n x2:
Iteraci´on X(0)
X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6)
X1 = 0.30000 -1.12500 -1.11375 -1.06469 -0.98802 -0.99087 -0.99705
X2 = 1.50000 2.36250 3.23125 3.11047 3.02393 2.98241 2.99292
X3 = 6.37500 5.88750 5.20781 4.88484 4.94240 4.99402 5.00888
Tolerancia 1.73557 1.10310 0.34829 0.12915 0.06631 0.01922
X1 = -1.00107 -1.00063 -1.00011 -0.99991 -0.99996 -1.00000
X2 = 2.99951 3.00128 3.00041 2.99997 2.99991 2.99998
X3 = 5.00339 4.99992 4.99936 4.99982 5.00003 5.00004
Tolerancia 0.00947 0.00392 0.00116 0.00066 0.00023 0.000007
K=1
Usando la misma
formula que
despejamos,
sustituimos para
x2

7. Repitiendo el proceso consecutivamente, mismo que se presenta en el cuadro 3: Se dice
entonces que despu´es de seis iteraciones, con una tolerancia = 6,42839 · 10(−5), el vector
solucio´n es:
Cuadro 3: Iteraciones por el m´etodo de
J´acobi
Iteraci´on X(0)
X(1) X(2) X(3) X(4) X(5)
X1 0.30000 -1.125 -1.0015625 -0.999329427 -1.000057753 -0.999997259
X2 1.50000 3.3125 2.976302083 3.000968967 3.000005882 2.999995399
X3 6.37500 4.8515625 5.008496094 4.999804281 4.999983356 5.000002411
Tolerancia 2.763447678 0.391016634 0.026248607 0.00122068 6.42839·10(−5)

8. CONCLUSIONES
En este tema que es El método de Jacobi, el algoritmo toma su nombre del matemático
alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como
iteración de punto fijo.
Se vio como se soluciona un sistema de ecuaciones usando este método iterativo que es
un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un
problema, muy sencillo pero poco eficaz comparado con Gauss seidel.
Se concluye en dos sentidos diferentes: Primeramente, debe percibirse que el
m´etodo de J`acobi es un antecedente del m´etodo de Gauss-Seidel, mismo que lo
mejora de forma notable al acelerar su convergencia . En segundo t´ermino, pero
no menos importante, estos m´etodos del g´enero de las aproximaciones sucesi vas
dependen fundamentalmente de su criterio de convergencia.
Con esta investigacion se cierra la unidad en la que se vieron los metodos de Jacoby y
Gauss-seidel.
Referencias
 Rosa Elena Scheid, Francis. Di Constanzo. M´etodos num´ericos. Schaum. 1991.
 Francis Sheid Rosa Elena Di Costanzo. Métodos Numéricos. McGraw Hill, 1989.
 R. L. Burden y J. D. Faires. Análisis Numérico. Grupo Editorial Iberoamérica, 1985.
 Weisstein, Eric W. «Jacobi Method». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram
Research.