sesión mcm mcd

3. MCD Y MCM

4. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
El máximo común divisor (MCD) de dos
o más números, es el mayor de los
divisores comunes de dichos números.
Ejemplo:
Analizamos los divisores de 18 y 24.
• Divisores de 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18
• Divisores de 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
Se observa que los divisores comunes de
18 y 24 son: 1; 2; 3; 6.
El mayor común divisor es 6.
Luego, el máximo común divisor de 18 y 24
es 6.
Es decir: MCD(18; 24) = 6.
Propiedades:
1. Los divisores comunes de un
conjunto de números son los
divisores de su MCD.
2. Si A, B y C son PESI (primos entre
sí), entonces:
MCD(A, B, C) = 1
3. Si A = B y C = B, entonces:
MCD(A, B, C) = B
o
o

5. MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCD
1. Método de intersección de divisores
Se determinan los divisores de cada número,
para luego hallar la intersección de los
divisores de todos los números, el MCD será
el mayor divisor común de la intersección.
Ejemplo:
Calcula el MCD de 24; 36 y 48.
Solución:
Determinamos los divisores de 24; 36 y 48:
• D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
• D(36) = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36}
• D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}
Tenemos que:
D(24) ∩ D(36) ∩ D(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}
Luego:
MCD(24; 36; 48) = 12
2. Método de descomposición canónica
Se determina la descomposición canónica de
cada número. Luego, el MCD es el producto
de los divisores comunes tomados con su
menor exponente.
Ejemplo:
Calcula el MCD de 18; 27 y 45.
Solución:
Descomponemos canónicamente:
18 2 27 3 45 3
9 3 9 3 15 3
3 3 3 3 5 5
1 1 1
18 = 𝟐. 𝟑𝟐
27 = 𝟑𝟑
45 = 𝟑𝟐
. 𝟓
Luego:
MCD(18; 27; 45) = 𝟑𝟐 = 9

6. 3. Método práctico o abreviado
Descomponemos sus factores primos
comunes en forma simultánea, luego el MCD
es el producto de los valores encontrados.
Ejemplo:
Calcula el MCD de 48; 64 y 112.
Solución:
Descomponemos en forma simultánea:
48 - 64 - 112 2
24 - 32 - 56 2
12 - 16 - 28 2
6 - 8 - 14 2
3 - 4 - 7
Luego:
MCD(24; 36; 48) = 𝟐𝟒
= 16
4. Método del algoritmo de Euclides
También se le conoce con el nombre de
divisiones sucesivas.
Luego: MCD(A, B) = r3
Ejemplo:
Calcula el MCD de 580 y 320.
Solución:
Luego:
MCD(580; 320) = 20
Cocientes q1 q2 q3 q4
A B r1 r2 r3
Residuos r1 r2 r3 0
Cocientes 1 1 4 3
580 320 260 60 20
Residuos 260 60 20 0

7. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
El mínimo común múltiplo (MCM) de dos
o más números, es el menor múltiplo
común de dichos números.
Ejemplo:
Analizamos los múltiplos de 18 y 24.
• Múltiplos de 18: 18; 36; 54; 72; 90; 108; …
• Múltiplos de 24: 24; 48; 72; 96; 120; …
Se observa que el menor múltiplo de 18 y 24
es: 72.
Luego, el mínimo común múltiplo de 18 y 24
es 72.
Es decir: MCM(18; 24) = 72.
Propiedades adicionales:
1. Si MCD(A, B, C) = d, entonces:
𝐀
𝐝
= 𝒑;
𝑩
𝒅
= 𝒒;
𝑪
𝒅
= 𝒓 , además p, q y r
son PESI.
2. Si MCM(A, B, C) = m, entonces:
𝒎
𝑨
= 𝒑;
𝒎
𝑩
= 𝒒;
𝒎
𝑪
= 𝒓 , además p, q y r
son PESI.
3. Para dos números A y B se cumple que:
A x B = MCM(A, B) x MCD(A, B)

8. MÉTODOS PARA CALCULAR EL MCM
1. Método de descomposición canónica
Se determina la descomposición canónica de
cada número. Luego, el MCM es el producto
de los factores primos comunes y no
comunes afectados con su mayor
exponente.
Ejemplo:
Calcula el MCM de 18; 27 y 45.
Solución:
Descomponemos canónicamente:
18 2 27 3 45 3
9 3 9 3 15 3
3 3 3 3 5 5
1 1 1
18 = 𝟐. 𝟑𝟐 27 = 𝟑𝟑 45 = 𝟑𝟐. 𝟓
Luego:
MCM(18; 27; 45) = 𝟐. 𝟑𝟑
. 𝟓 = 270
2. Método práctico o abreviado
Descomponemos sus factores primos
comunes en forma simultánea, hasta llegar al
cociente 1; luego el MCM es el producto de
los valores encontrados.
Ejemplo:
Calcula el MCM de 12; 16 y 18.
Solución:
Descomponemos en forma simultánea:
12 - 16 - 18 2
6 - 8 - 9 2
3 - 4 - 9 2
3 - 2 - 9 2
3 - 1 - 9 3
1 - 1 - 3 3
1 - 1 - 1
Luego:
MCM(18; 27; 45) = 𝟐𝟒
. 𝟑𝟐
= 144

9. EJERCICIOS
1. Si el MCD de 6m, 8m y 12m es 72,
calcula el valor de «3m – 2».
Solución:
Descomponemos en forma simultánea:
6m - 8m - 12m 2
3m - 4m - 6m m
3 - 4 - 6
MCD(6m; 8m; 12m) = 2m
Por dato MCD(6m, 8m, 12m) = 72
Entonces:
2m = 72 → m = 36
Luego:
3m – 2 = 3.36 – 2 = 106
Rpta.: 106
2. Calcula el valor de «2x + 5», si el MCM
de A y B tienen 72 divisores.
A = 𝟐𝒙+𝟏. 𝟑. 𝟕𝟐 ; B = 𝟐𝟐𝒙. 𝟕𝟑
Solución:
Tenemos que el MCM de A y B es:
MCM(A; B) = 𝟐𝟐𝒙. 𝟑. 𝟕𝟑
Sabemos que:
C.D.(MCM(A; B)) = (2x+1)(1+1)(3+1)
72 = (2x+1)(2)(4)
9 = 2x + 1 → x = 4
Luego:
2x + 5 = 2.4 + 5 = 13
Rpta.: 13

10. 3. El doctor de Manuel le ha indicado
que para curarse la gripe tiene que
tomar un jarabe cada 6 horas y una
pastilla cada 8 horas. Si acaba de tomar
los dos medicamentos a la vez.
¿Dentro de cuantas horas volverá a
tomárselos ambos
Solución:
Calculamos el MCM de los tiempos en
que debe tomar cada medicamento
Jarabe:
M(6) = {6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; …}
Pastilla:
M(8) = {8; 16; 24; 32; 40; 48; 54; …}
MCM(6; 8) = 24
Rpta.: Volverán a tomar ambas medicinas
dentro de 24 horas (un día)
4. Se tienen tres depósitos con alcohol:
el primero con 27 litros, el segundo con
45 litros y el tercero con 63 litros. Si
queremos embotellarlos en envases de
igual capacidad que contengan la mayor
cantidad de litros y sin que sobre vino,
¿qué capacidad deben tener cada
envase y cuantos de ellos se
necesitaran?
Solución:
Calculamos el MCD de 27; 45 y 63 litros:
27 - 45 - 63 3
9 - 15 - 21 3
3 - 5 - 7
MCD(24; 36; 48) = 𝟑𝟐
= 9
Rpta.: Los envases deben tener 9 litros
de capacidad y se necesita 15 de ellos.

11. 5. Un niño cuenta sus figuritas, primero
por grupos de 3, luego por grupos de 4 y
finalmente por grupos de 5, pero
siempre le quedan 2 sin contar.
¿Cuántas figuritas tiene, si sabemos que
no llega a 130, pero exceden las 110
figuritas?
Solución:
Sea N el número total de figuritas.
Por dato, tenemos:
N = 3 + 2 ; N = 4 + 2 ; N = 5 + 2
Por propiedad:
N = MCM(3; 4; 5) + 2
N = 60 + 2 → N = 60k + 2
Además: 110 < N < 130
Luego: N = 60.2 + 2 = 122
Rpta.: El niño tiene 122 figuritas.
o o o
o
o
6. Los cocientes sucesivos que se
obtienen al calcular el MCD de dos
números por el algoritmo de Euclides
son 1; 3; 1 y 7. Determina la suma de
ambos números, si el MCD es igual a 10.
Solución:
Sean A y B los números a encontrar.
Aplicamos el algoritmo de Euclides:
Los números son: 390 y 310.
Luego: 390 + 310 = 700
Rpta.: 700.
Cocientes
1 3 1 7
390 310 80 70 10
Residuos
80 70 10 0