Este documento explica los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM). El MCD es el mayor divisor común de dos o más números. Se calcula tomando los factores comunes con el menor exponente. El MCM es el menor múltiplo común. Se calcula tomando los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. También establece que para cualquier par de números A y B, su producto A·B siempre será igual al producto de su MCM por su MCD.

1. MÁXIMOCOMÚNDIVISORMÁXIMOCOMÚNDIVISOR
MÍNIMOCOMÚNMÚLTIPLOMÍNIMOCOMÚNMÚLTIPLO

2. MÁXIMO COMÚN DIVISOR: MCD
MAXIMO COMUN DIVISOR de dos o más números, es el mayor de los
divisores comunes.
Se forma tomando los factores comunes a todos los números con el
menor exponente que presenten.
Ejemplo: Hallar el MCD de los números 18 y 24
Factorizamos los números:
18 = 2•32
24 = 23
•3
Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el menor exponente que
presente cada uno ( 1 y 1 respectivamente )
Luego: MCD (18,24) = 2•3 = 6
El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común.

3. MCD
Verificamos la solución:
Factorizamos los números:
18 = 2•32
24 = 23
•3
Los divisores de 18 son { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }
Los divisores de 24 son { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
Los divisores comunes son { 1, 2, 3, 6 }
El 6 es el mayor de los divisores que tienen en común.
Se cumple:
18 = 3•6
24 = 4•6
Los factores 3 y 4 deben ser primos entre sí.

4. MCD
Ejemplo práctico:
Dos cuerdas miden 18 y 24 cm. Y deseamos cortarlas en
trozos de igual longitud, siendo ésta la mayor posible.
Hallamos el mcd de los números 18 y 24
Como ya hemos visto es 6
Es el mayor de los divisores comunes.
Dividimos 18:6 = 3 trozos se obtienen de la cuerda de 18
cm
Dividimos 24:6 = 4 trozos se obtienen de la cuerda de 24
cm
En total tendremos 3+4 = 7 trozos de 6 cm cada uno.

5. Otro ejemplo práctico:
Tres libros tienen 120, 150 y 180 párrafos cada uno. Deseamos cortarlos
y formar fascículos con la misma cantidad de hojas cada uno, de forma
que esa cantidad sea la mayor posible.
Hallamos el mcd de los números 120, 150 y 180
Factorizamos 120 = 23
•3•5
Factorizamos 150 = 2•3•52
Factorizamos 180 = 2•32
•5
Tomamos factores comunes con el menor exponente:
Mcd = 2•3•5 = 6•5 = 30
Dividimos 120:30 = 4 fascículos de 30 párrafos cada uno.
Dividimos 150:30 = 5 fascículos de 30 párrafos cada uno.
Dividimos 180:30 = 6 fascículos de 30 párrafos cada uno.
En total tendremos 4+5+6 = 15 fascículos de 30 párrafos cada uno.

6. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: MCM
MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más números, es el menor de los
múltiplos comunes.
Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos los
números con el mayor exponente que presenten.
Ejemplo: Hallar el MCM de los números 18 y 24
Factorizamos los números:
18 = 2•32
24 = 23
•3
Tomamos los factores comunes ( 2 y 3 ) con el mayor exponente que
presente cada uno ( 3 y 2 respectivamente ) y todos los factores no
comunes ( en este caso no hay )
Luego: MCM (18,24) = 23
•32
= 8•9 = 72
El 72 es el menor de los múltimplos comunes.

7. Verificamos la solución:
Factorizamos los números:
18 = 2•32
24 = 23
•3
Los múltiplos de 18 son { 18, 36, 54, 72, 90, 108, 144, … }
Los múltiplos de 24 son { 24, 48, 72, 96, 120, 144, … }
Los múltiplos comunes son { 72, 144, … }
El 72 es el menor de los múltiplos que tienen en común.
Se cumple:
72 = 18•a
72 = 18•b
Los factores a y b deben ser primos entre sí.
MCM

8. MCM
Ejemplo práctico:
Dos coches de carrera parten a la vez y tardan 18 y 24 mn en dar una
vuelta a la pista. ¿Cuándo se vuelven a encontrar en la línea de salida?.
Hallamos el mcm de los números 18 y 24
Como ya hemos visto es 72
Es el menor de los múltiplos comunes.
Dividimos 72:18 = 4 vueltas completas da el primer vehículo.
Dividimos 72:24 = 3 vueltas completas da el segundo vehículo.
Vuelven a encontrar al cabo de 72 mn en la línea de salida, tras dar 3 y 4
vueltas a la pista cada uno de ellos.

9. Otro ejemplo práctico:
Un alumno tarda 25 s en leer una página, otro 40 s y un tercero tarda 54 s
en leer una página similar. En un supuesto maratón, si los tres
comienzan a leer a las 9,00 horas, ¿ cuándo volverán a coincidir los
tres en volver a comenzar a leer una página?.
Hallamos el mcm de los números 25, 40 y 54
Factorizamos 25 = 52
Factorizamos 40 = 5•23
Factorizamos 54 = 2•33
Tomamos factores comunes y no comunes con el mayor exponente:
Mcm = 23
•33
•52
= 8•27•25 = 216• 25 = 5400 s
Coincidirán nuevamente a los 5400 s = 90 mn
Dividimos 5400:25 = 216 párrafos habrá leído el primero.
Dividimos 5400:40 = 135 párrafos habrá leído el segundo.
Dividimos 5400:54 = 100 párrafos habrá leído el tercero.

10. RELACCIÓN MCM Y MCD
PROPIEDAD:
Sean A y B dos números naturales cualesquiera.
Siempre se cumple: A•B = MCM•MCD
Veamos con un ejemplo:
MCM (18 y 24) = 72
MCD (18 y 24) = 6
18•24 = 72•6
432 = 432
Hemos comprobado que se cumple la propiedad mencionada.