El documento explica el concepto de mínimo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (mcd) de números naturales, proporcionando definiciones y ejemplos claros para el cálculo de ambos. Se detalla cómo encontrar el mcm y mcd utilizando métodos de descomposición en factores primos y divisores. A través de ejemplos prácticos, se ilustra cómo aplicar estos conceptos en situaciones cotidianas como semáforos y avisos luminosos.

1. MÍNIMO COMÚN
MÚLTIPLO
ING. GERMÁN VERDEZOTO ORTIZ

2. MCM
• ¿Qué es un mínimo común múltiplo?
• El mínimo común múltiplo de dos o más números naturales es el menor número
natural múltiplo de todos ellos.
• Ejemplo:
• El m. c. m. de 4 y 5 es 20, este resultado se explica de la siguiente forma:
• Múltiplos de 4 ={4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ……}
• Múltiplos de 5 ={5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40…..}
• Es decir el primero múltiplo común de entre estos dos (4, 5) es 20.

3. MCM
• ¿Cómo se puede calcular el mínimo común múltiplo?
• Para calcular el MCM entre varios números debemos construir una tabla con los
números que se van a calcular.
• Estos números se deben dividir sucesivamente con los números primos {2, 3, 5,
7….} luego se multiplica todos los números primos que se utilizaron.

4. MCM
• Ejemplo.
• Tres avisos luminosos encienden sus luces de la siguiente manera, el primero cada
6 segundos, el segundo aviso cada 9 segundos y el tercero cada 15 segundos.
• ¿A los cuántos segundos de iniciadas las secuencias encenderán los tres avisos en
forma simultanea?

5. MCM
• Procedimiento:
• LOS TRES AVISOS SE ENCENDEERÁN SIMULTÁNEMAMENTE 90 SEGUNDOS DESPUÉS
DE ENCENDIDOS
6 9 15 2
3 9 15 3
1 3 5 3
1 1 5 5
1 1 1
2 x 3 x 3 x 5
6 x 15
90

6. MCM
• Ejemplo.
• Juan observa que tres semáforos están en rojo al mismo tiempo, después de un
tiempo ve que, ya no se cumple lo anterior. Juan desea calcular cuando
nuevamente los semáforos estarán en rojo simultáneamente.
• ¿Qué tiene que hacer Juan?

7. MCM
• Procedimiento:
1. Lo primero que tiene que hacer Juan es tomar le tiempo de cada semáforo para
saber cuánto se demora el semáforo en llegar nuevamente a rojo.
Obtiene los siguientes resultados:
Semáforo 1: cada 2 minutos.
Semáforo 2: cada 5 minutos.
Semáforo 3: cada 6 minutos.

8. MCM
• Procedimiento:
• JUAN COMPRUEBA QUE LUEGO DE 30 MINUTOS LOS TRES SEMÁFOROS ESTARÁN
SIMULTANEAMENTE EN ROJO.
2 5 6 2
1 5 3 3
1 5 1 5
1 1 1
2 x 3 x 5
6 x 5
30

9. MCM
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
16
18
21
30

10. MÁXIMO COMÚN
DIVISOR

11. MCD
• ¿Qué es el Máximo Común Divisor de dos o más números es aquel número más
grande que los divide a todos exactamente.
• Que sea un divisor, quiere decir que todos los números dados se pueden dividir
entre él.
• Para obtener el MCD, debemos descomponer los números en producto de
factores primos.
• El MCD será el resultado de multiplicar los factores elevados al menor exponente.

12. MCD
• Primer método:
• Este método consiste en escribir los divisores de cada uno de los números, compararlos y tomar
el mayor de los divisores comunes.
• Ejemplo:
• Hallar el MCD de 12, 18, 30
• Los divisores de 12, 18, 30 son:
• D (12)= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
• D (18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18)
• D (30)= {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

13. MCD
• Al comparar los conjuntos de divisores observamos que entre los que se repiten
al más grande es 6, por lo tanto el MCD de (12, 18, 30) es 6.

14. MCD
• Segundo método.
• Consiste en descomponer simultáneamente en factores primos los números dados,
utilizando solo aquellos que los dividan al mismo tiempo.
• Por lo tanto el MCD de (12, 18, 30) es 2 x 3 = 6
12 18 30 2
6 9 15 3
2 3 5 ?

15. MCD
• Calcular el MCD de los números 25, 50
• Descomponemos 25 y 40 en factores primos.
52
𝟐𝟑
𝒙𝟓
25 5
5 5
1
40 2
20 2
10 2
5 5
1

16. MCD
• Entonces tenemos que:
• 52
= 25
• 𝟐𝟑𝒙𝟓 = 𝟒𝟎
• Luego decimos que el MCD de 25 y 40 es 5.

17. MCD
• Hallar el MCD de 27 y 45
• Realizamos la factorización de los números.
• Tomamos todos los factores comunes elevados al menor exponente.
• Así: MCD = 3 x 3 x 3 x 5 = 135
27 45 3
9 15 3
3 5 3
1 5 5
1 1

18. EJERCICIOS

19. MUCHAS GRACIAS