Insertezas de la medicion y la practica

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Incertidumbre de la Medición:
Teoría y Práctica
(1 ra
Edición)
Autores: Sifredo J. Sáez Ruiz
Luis Font Avila
Maracay - Estado Aragua - Febrero 2001
© Copyright 2001 L&S CONSULTORES C.A.
CAPACIDAD, GESTION Y MEJORA

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L&S CONSULTORES C.A. TABLA DE CONTENIDO
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Tabla de contenido
Introducción.
Capítulo 1. Fundamentos de metrología.
1.0. La medición. .................................................................................... 2
1.1. Instrumento de medición. ................................................................ 4
1.2. Material de referencia. ..................................................................... 6
Capítulo 2. Incertidumbre.
2.0. Definición de incertidumbre. ............................................................ 2
2.1. Fuentes de incertidumbre. .............................................................. 2
2.2. Componentes de incertidumbre. ..................................................... 3
2.3. Error e incertidumbre. ...................................................................... 4
Capítulo 3. Procedimientos estadísticos útiles.
3.0. Función de distribución de la variable aleatoria. ............................ 2
3.1. Características numéricas de la variable aleatoria. ....................... 3
3.2. Ejemplos de funciones de distribución. .......................................... 8
3.3. Método de los mínimos cuadrados. ................................................ 12
Capítulo 4. Proceso de estimación de la incertidumbre estándar.
4.0. Introducción. .................................................................................... 2
4.1. Especificación del mensurando. ..................................................... 4
4.2. Identificación de las fuentes de incertidumbre y análisis. .............. 6
4.3.Evaluación de la incertidumbre estándar. ....................................... 7
Capítulo 5. Incertidumbre del resultado de la medición.
5.0. Incertidumbre combinada. ............................................................... 2
5.1. Incertidumbre expandida. ................................................................ 5
5.2. Informe de los resultados. ............................................................... 11
5.3. Criterios de conformidad. ................................................................ 14
Capítulo 6. Ejercicios.
Bibliografía.

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Teoría y Práctica
Introducción

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L&S CONSULTORES C.A. INTRODUCCION
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Introducción
El resultado de una medición no está completo si no posee una declaración de la
incertidumbre de la medición con un nivel de confianza determinado. De ningún modo es la
incertidumbre de la medición un término equivalente al error de la medición o a la precisión
de la misma bajo condiciones de repetibilidad o reproducibilidad.
La incertidumbre de la medición, calificada en ocasiones como un gran problema,
verdaderamente no lo es y no existe situación real alguna donde lo sea, simplemente que
su cálculo juzga por sí mismo cuánto conocemos de los procesos de medición en los que
nos desempeñamos día a día, el nivel de la gestión de la calidad de los mismos, y por
consiguiente saca a relucir las virtudes y los defectos de los sistemas de aseguramiento
metrológico que soportan todas las mediciones que realizamos. El análisis puede llevarnos
a evaluar la calidad de las mediciones desde los niveles más bajos de exactitud hasta los
niveles más altos de exactitud en las cadenas de trazabilidad que tenemos establecidas.
El presente curso establece las reglas generales para la evaluación y expresión de la
incertidumbre de la medición, las cuales pueden seguirse a diferentes niveles de exactitud
y en muchos campos de las mediciones, desde la metrología científica hasta la metrología
industrial. Por lo tanto, se pretende que los principios que se analizan sean aplicables a una
amplia gama de mediciones, incluyendo aquellas requeridas para:
Mantener el control de la calidad y al aseguramiento de la calidad en la producción (ya
sea en sistemas de gestión de la calidad basados en las normas
COVENIN-ISO 9000: 2000 u otros);
Cumplir con leyes y reglamentos obligatorios (emitidos por órganos de acreditación
nacionales o internacionales, SENCAMER);
Conducir proyectos de investigación y desarrollo aplicados a la ciencia y a la ingeniería;
Calibración de patrones e instrumentos y realización de ensayos a través de un sistema
nacional de mediciones con la finalidad de lograr la trazabilidad a patrones nacionales;
Desarrollar, mantener, y comparar los patrones de referencia físicos nacionales e
internacionales, incluyendo los materiales de referencia.
Desde el punto de vista más elemental, la medición es un proceso que tiene por objetivo
determinar el valor de una magnitud particular, es decir del mensurando, siguiendo una
serie de operaciones bien definidas, las cuales deben estar documentadas. Este proceso
incluye el acto en sí de medir para la adquisición de los datos, el procesamiento de los
mismos y la expresión del resultado final.
Siempre que se realiza una medición inevitablemente se cometen errores debido a muchas
causas, algunas pueden ser controladas y otras son incontrolables o inclusive
desconocidas. Por lo tanto, para realizar mediciones con calidad y obtener resultados
confiables es necesario que la persona que realiza la medición tenga el conocimiento, la
técnica y la disciplina necesarios. El conocimiento y la comprensión de la metrología como

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L&S CONSULTORES C.A. INTRODUCCION
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ciencia de las mediciones, y el dominio los instrumentos de medición empleados. La
técnica adquirida con el hábito de medir que lleva a la formación de la experiencia y al
desarrollo de habilidades, insustituibles siempre que se han de realizar buenas mediciones.
La disciplina que sólo se consigue pensando antes de hacer, sobre la base de
procedimientos normalizados, y realizando las operaciones ordenadamente, registrando
correctamente los resultados.
Cuando se expresa el resultado de la medición, además del valor estimado del
mensurando, es necesario evaluar y expresar la incertidumbre de la medición como
valoración de la calidad del resultado de la medición. La incertidumbre de la medición es
considerada como una figura de mérito, es decir, un índice de calidad de la medición que
proporciona una base para la comparación de los resultados de las mediciones, dando una
medida de la confiabilidad en los resultados.
La “Guía BIPM/ISO para la expresión de la incertidumbre en las mediciones” es el
documento de referencia obligada siempre que se desea abordar el tema de la
incertidumbre, por abarcar de una forma teórica y profunda dicho tema. Este documento
sirve de referencia a este curso conjuntamente con otros documentos elaborados por
prestigiosas organizaciones nacionales e internacionales que permiten realizar al análisis
de la incertidumbre de una forma más clara. Entre dichas organizaciones se encuentran
NIST, EURACHEM, EAL, UKAS, OIML, entre otras.
La mayoría de las mediciones son realizadas con instrumentos sujetos a la calibración o
verificación periódica. Si se conoce que estos instrumentos están en conformidad con los
errores máximos permisibles establecidos en sus especificaciones o en documentos
normativos aplicados y que las diferentes fuentes de incertidumbre que intervienen en el
proceso de medición pueden ser cuantificadas o minimizadas, la incertidumbre asociada
con el resultado de la medición puede ser calculada para la totalidad de las situaciones
prácticas.
El manual está dividido en seis capítulos. En el Capítulo 1 “Fundamentos de metrología” se
abordan una serie de conceptos relativos al proceso de medición y al instrumento de
medición. El Capítulo 2 “Incertidumbre” abarca la definición de incertidumbre, las fuentes
de incertidumbre y se discuten las marcadas diferencias entre la incertidumbre y el error
como parámetros de la medición. Una serie de herramientas de estadística y probabilidad
son tratadas en el Capítulo 3 “Procedimientos estadísticos útiles”, como base necesaria
para la comprensión y ejecución de los cálculos. En el Capítulo 4 “Proceso de estimación
de la incertidumbre” se analiza dicho proceso como tal, culminando con la cuantificación de
componentes individuales de incertidumbre estándar. La combinación de las diferentes
componentes individuales para obtener una incertidumbre combinada y luego una
incertidumbre expandida es descrita en el Capítulo 5 “Incertidumbre del resultado de la
medición”, conjuntamente con la emisión de criterios de conformidad basados en la
incertidumbre calculada. La ejercitación se logra a través del Capítulo 6 “Ejercicios”, donde
son estudiados un conjunto de ejercicios con fines teóricos, prácticos y metodológicos para
el desarrollo de habilidades en la solución de problemas reales.

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Teoría y Práctica
Capítulo 1
Fundamentos de Metrología

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L&S CONSULTORES C.A. CAPITULO 1. FUNDAMENTOS DE METROLOGIA
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Capítulo
1
Fundamentos de metrología
1.0 La medición
El objetivo de una medición es determinar el valor de la magnitud específica a medir,
denominada mensurando. Durante la realización de una medición intervienen una serie de
factores que determinan su resultado:
El objeto de medición;
El procedimiento de medición;
Los instrumentos de medición;
El ambiente de medición;
El observador;
El método de cálculo.
Además del propio mensurando, el resultado de la medición está afectado por las
denominadas magnitudes de influencia. En un sentido amplio se considera que las
magnitudes de influencia incluyen no sólo las que se refieren a las condiciones
ambientales, como son la temperatura, la presión barométrica y la humedad, sino también
fenómenos tales como las fluctuaciones breves de los instrumentos de medición, valores
asociados con patrones de medición y datos de referencia de los cuales puede depender el
resultado de la medición.
Una medición comienza con una especificación apropiada del mensurando, del método de
medición y de los procedimientos de medición.
El método de medición es la secuencia lógica de operaciones, generalmente descritas,
usada en la ejecución de las mediciones de acuerdo con un principio de medición
determinado. Entre ellos podemos mencionar: el método de sustitución, el método
diferencial, el método de cero, etc.
El procedimiento de medición es el conjunto de operaciones, descritas de forma
específica, utilizadas en la ejecución de mediciones particulares, de acuerdo a un método
de medición determinado. El procedimiento de medición se registra en un documento y
contiene un nivel suficiente de detalle, que le permite a un operador realizar la medición sin
información adicional.
El principio de medición es el fundamento científico del método de medición. Como
ejemplos podemos citar: el efecto termoeléctrico aplicado a la medición de temperatura, la
ecuación de Nerst que relaciona el voltaje (mV) y la temperatura (ºC) con el pH, el principio
del equilibrio hidrostático en las mediciones de presión, etc.

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Cuando hacemos referencia a repetir una medición bajo las mismas condiciones
(condiciones de repetibilidad), esto significa que ninguno de los factores que intervienen
en la medición cambian, es decir:
El mismo mensurando;
El mismo observador;
El mismo instrumento de medición, utilizado bajo las mismas condiciones;
El mismo lugar;
La repetición de la medición en un corto intervalo de tiempo.
La repetibilidad de los resultados de las mediciones caracteriza el acuerdo más
cercano entre los resultados de mediciones sucesivas del mismo mensurando llevadas a
cabo bajo condiciones de repetibilidad.
La repetibilidad puede ser expresada cuantitativamente en términos de las características
de dispersión de los resultados.
Cuando las mediciones se repiten bajo distintas condiciones, se habla entonces de su
reproducibilidad. Las distintas condiciones pueden incluir:
El principio de medición o el método de medición;
El observador;
El instrumento de medición;
El patrón de referencia;
La ubicación;
Las condiciones de uso;
El tiempo.
La reproducibilidad de las mediciones caracteriza el acuerdo más cercano entre los
resultados de mediciones del mismo mensurando llevadas a cabo bajo condiciones de
reproducibilidad.
Para que una expresión de reproducibilidad sea válida es necesario especificar las
condiciones que varían.
La reproducibilidad puede ser expresada cuantitativamente en términos de las
características de dispersión de los resultados.
Para caracterizar cualitativamente la calidad de una medición se utiliza el término
exactitud. La exactitud de la medición es la cualidad que refleja el grado de concordancia
entre el resultado de la medición y un valor verdadero del mensurando. Se recomienda no
utilizar el término precisión en lugar de exactitud.
La precisión caracteriza el grado de concordancia entre resultados de ensayos
independientes, obtenidos bajo condiciones estipuladas.

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El término precisión está relacionado con la repetibilidad y la reproducibilidad. Las medidas
de precisión son estimadas bajo condiciones de repetibilidad y reproducibilidad, aunque
frecuentemente, la precisión es tomada como una simple medida de repetibilidad.
El término precisión, así como los términos exactitud, repetibilidad, reproducibilidad e incertidumbre, son términos que deben ser
utilizados con cuidado y no pueden ser usados como sinónimos o para etiquetar cantidades estimadas. Por ejemplo la expresión “la
precisión de los resultados de la medición expresados como una desviación estándar obtenida bajo condiciones de repetibilidad es
0,2 pH”, es aceptada; pero la expresión “la precisión de los resultados de la medición es 0,2 pH”, no es aceptada.
1.1 Instrumento de medición
Se denomina instrumento o aparato de medida a todo dispositivo destinado a realizar una
medición, sólo o con dispositivos suplementarios. El término así definido según la norma
COVENIN 2552:1999 (OIML V2:1993), sirve de denominación común y comprende:
medidas materializadas, materiales de referencia, instrumentos indicadores, transductores,
etc., los cuales pueden agruparse y conformar sistemas de medición.
Independientemente de sus diseños, principios de funcionamiento y magnitudes que
miden, a los instrumentos de medición les son comunes una serie de características
metrológicas, entre las que se encuentran:
Rango de indicación: Conjunto de los valores limitados por las indicaciones
extremas del instrumento de medición. El rango es normalmente expresado en
términos de sus límites inferior y superior.
Por ejemplo, para un termómetro el rango de medición es de (100 a 200) ºC.
Valor nominal: Valor redondeado o aproximado de una característica de un
instrumento de medición que sirve de guía para su utilización. En el caso de las
medidas materializadas este valor caracteriza la magnitud por ella reproducida.
Por ejemplo:
El valor 10 g para una pesa;
El valor 0,1 mol/L de la concentración en cantidad de sustancia de una solución de ácido clorhídrico, HCL;
El valor 20 mL para una pipeta de un trazo;
El valor 25 ºC para el punto de control de un baño termostático.

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Intervalo de medición: Módulo de la diferencia entre los dos límites de un rango
nominal.
Por ejemplo:
Para un manómetro de rango de medición de (-5 a 30) psi, el intervalo de medición es de 35 psi;
Para un medidor de pH de rango de medición de (0 a 14) pH el intervalo de medición es de 14 pH.
Valor de división: Diferencia entre los valores correspondientes a dos marcas
sucesivas de la escala.
Por ejemplo, 0,5 ºC para un termómetro cuya menor división en su escala tiene ese valor.
Resolución (de un dispositivo indicador): Menor diferencia entre indicaciones de un
dispositivo indicador que puede ser distinguida significativamente. Para un
instrumento de indicación digital, es el cambio en la indicación cuando el dígito
menos significativo cambia en un paso (se incrementa o decrementa).
Condiciones nominales de funcionamiento: Condiciones de utilización para las
cuales, se proyecta que las características metrológicas especificadas de un
instrumento de medición estén comprendidas entre límites dados. Las condiciones
nominales de funcionamiento especifican generalmente el rango o valores
nominales de la magnitud a medir y de las magnitudes influyentes.
Condiciones límites: Condiciones extremas que puede soportar un instrumento de
medición sin dañarse y sin degradarse sus características metrológicas
especificadas, cuando es utilizado posteriormente bajo condiciones nominales de
funcionamiento. Las condiciones límites pueden comprender valores límites para el
mensurando y para las magnitudes influyentes y las mismas pueden corresponder
al almacenamiento, transportación y operación.
Por ejemplo:
Un indicador - controlador de temperatura que utiliza como transductor primario una termocupla de tipo J refiere en el manual
del fabricante:
Temperatura de operación: (0 a 55) ºC;
Temperatura de almacenamiento: - (20 a 70) ºC.

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Estabilidad: Aptitud de un instrumento de medición para mantener constante en el
tiempo sus características metrológicas.
Transparencia: Aptitud de un instrumento de medición de no modificar la magnitud a
medir.
Error máximo permisible de un instrumento de medición: Es el valor extremo del
error permisible por especificaciones, regulaciones, etc., para un instrumento de
medición dado.
Relacionado con los errores máximos permisibles de los instrumentos de medición está el concepto de clase de exactitud, el cual
se utiliza frecuentemente para caracterizar la exactitud de un instrumento.
Se denomina clase de exactitud a una clase de instrumentos de medición que cumple determinados requisitos metrológicos que
están destinados a mantener los errores dentro de límites específicos.
Una clase de exactitud se indica habitualmente por un número o símbolo adoptado por convenio y denominado índice de clase.
Exactitud de un instrumento de medición: Aptitud de un instrumento de medición
para dar respuestas cercanas al valor verdadero del mensurando. La exactitud del
instrumento de medición es un concepto cualitativo que refleja la cercanía a cero de
sus errores.
1.2 Material de referencia
Generalidades.
Los materiales de referencia (MR) y los materiales de referencia certificados (MRC) hacen
posible la transferencia de los valores de las magnitudes asignadas o medidas (física,
química, biológica o tecnológica), entre un lugar y otro. Ellos son ampliamente usados para
la calibración de los instrumentos de medición, para la evaluación o verificación de los
métodos de ensayo ó análisis, para el aseguramiento de la calidad de las mediciones y en
el caso de ciertos MR biológicos o tecnológicos facilitar que las propiedades sean
expresadas convenientemente en unidades arbitrarias. Todas las clases de MR y MRC
juegan un papel importante y creciente en las actividades de la normalización nacional e
internacional, en los ensayos de aptitud y en la acreditación de laboratorios.
Un material de referencia es un material o sustancia, en el cual, uno o más valores de sus
propiedades son suficientemente homogéneos y bien establecidos para ser usados en la
calibración de un aparato, la evaluación de un método de medición, o para asignar un valor
a un material.
Un material de referencia puede estar en forma de una sustancia pura o mezclada, y
puede estar en forma de gas, líquido o sólido. Ejemplos, el agua para la calibración de los

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viscosímetros, el zafiro como un calibrador de capacidad calorífica en calorimetría y las
soluciones usadas para la calibración en el análisis químico.
Un material de referencia certificado (MRC) es un material de referencia, acompañado
de un certificado, en el cual uno o más valores de sus propiedades están certificados por
un procedimiento que establece la trazabilidad para una realización exacta de la(s)
unidad(es) en la que están expresados los valores de la propiedad y para los cuales cada
valor certificado está acompañado por una incertidumbre para un nivel de confianza esta-
blecido.
Los MRC están generalmente preparados en lotes, para los cuales los valores de las
propiedades son determinados dentro de límites de incertidumbre establecidos por
mediciones en muestras representativas de todo el lote.
Las propiedades certificadas de materiales de referencia están, en ocasiones
convenientemente y confiablemente realizadas cuando el material está incorporado a un
dispositivo especialmente fabricado, por ejemplo, una sustancia de punto triple conocido
dentro de una celda de punto triple, un vidrio de densidad óptica conocida dentro de un
filtro de trasmisión, esferas de partículas de tamaños uniformes montadas sobre un porta
objeto de microscopio. Tales dispositivos pueden también ser considerados como MRC.
Todos los MRC se ubican dentro de la definición de patrones de medición dada en la
norma COVENIN 2552:1999 (OIML V2:1993).
El usuario de un MRC debe familiarizarse con toda la información pertinente al uso del
MRC, como especifica el productor. El debe cumplir ciertos factores, como son:
El período de validez del MRC;
Las condiciones prescritas para el almacenamiento del MRC;
Las instrucciones para el uso del MRC;
Las especificaciones para la validez de las propiedades certificadas del MRC.
Un MRC no debe ser usado para otro propósito diferente de aquel para el cual fue
concebido. A pesar de esto, de tiempo en tiempo, cuando un usuario debe recurrir a la
aplicación de un MRC de una manera incorrecta debido a la no disponibilidad de un MRC
adecuado, debe estar completamente consciente de los peligros potenciales latentes y
luego evaluar los resultados de sus mediciones, según el caso.
Existen muchos procesos de medición, donde los MRC son de uso general, pero son
reemplazables por un gran número de patrones de trabajo, tales como: materiales
homogéneos, materiales analizados previamente, compuestos puros, soluciones de
elementos puros, etc. Esto se puede apreciar por ejemplo, donde solamente se busca un
estimado "grosero" de la veracidad o precisión de un método, donde muestras "ciegas"
desconocidas de control son usadas rutinariamente en programas de control de la calidad y
donde solamente son evaluados la variación en la veracidad o precisión de un método con
algunos parámetros como el tiempo, el analista, el instrumento, etc. Las ventajas de usar

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MRC son que el usuario tiene los medios para evaluar la veracidad y la precisión de sus
métodos de medición y establecer la trazabilidad metrológica para sus resultados.
Selección del material de referencia.
El usuario del MRC debe decidir cuales propiedades del MRC son pertinentes para su
proceso de medición, teniendo en consideración lo expuesto en el certificado sobre las
intenciones de uso y las instrucciones para el correcto uso del MRC.
Nivel. El MRC debe tener propiedades del nivel correspondiente al nivel en el cual se va a
usar en el proceso de medición, por ejemplo, la concentración.
Matriz. El MRC debe tener una matriz, lo más cercana posible a la matriz del material que
va a ser objeto del proceso de medición, por ejemplo, carbono en acero de baja aleación,
carbono en acero inoxidable. En cuanto a la similitud de la matriz, el laboratorio considerará
el hecho de que ni es económicamente ni técnicamente posible, en todos los casos,
obtener una coordinación perfecta entre los MRC y las muestras. La similitud razonable
será estimada aceptable. Si no, el procedimiento analítico completo tiene que ser
reconsiderado.
Forma. El MRC puede ser un sólido, líquido o gas. Puede ser una pieza de ensayo o un
artículo manufacturado o un polvo. Puede necesitar preparación.
Cantidad. La cantidad del MRC debe ser suficiente para todo el programa experimental,
incluyendo alguna reserva si se considera necesario. Evitando tener que obtener
posteriormente un MRC adicional.
Estabilidad. Siempre que sea posible, el MRC debe tener propiedades estables durante
el experimento. Existen tres casos:
las propiedades son estables y no es necesario tomar precauciones;
cuando el valor certificado pueda ser influenciado por las condiciones de
almacenamiento, el recipiente debe ser almacenado, tanto antes como después de ser
abierto, en la forma descrita en el certificado;
conjuntamente con el MRC se suministra un certificado que define las propiedades (las
cuales varían en una proporción conocida) en períodos específicos.
Incertidumbre permisible del valor certificado. La incertidumbre del valor certificado
debe ser compatible con los requisitos para el uso del material de referencia.

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Teoría y Práctica
Capítulo 2
Incertidumbre

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L&S CONSULTORES C.A. CAPITULO 2. INCERTIDUMBRE
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Capítulo
2
Incertidumbre
2.0 Definición de incertidumbre
La incertidumbre de la medición es una forma de expresar el hecho de que, para un
mensurando y su resultado de medición dados, no hay un solo valor, sino un número
infinito de valores dispersos alrededor del resultado, que son consistentes con todas las
observaciones datos y conocimientos que se tengan del mundo físico, y que con distintos
grados de credibilidad pueden ser atribuidos al mensurando.
La definición del término incertidumbre (de la medición) utilizada en este curso y tomada de
la norma COVENIN 2552:1999 (OIML V2:1993) es:
Parámetro, asociado con el resultado de una medición, que caracteriza la dispersión
de los valores que pudieran ser razonablemente atribuidos al mensurando.
La definición de incertidumbre dada anteriormente se enfoca en el rango de valores que el
observador cree que podría ser razonablemente atribuido al mensurando.
En general, el uso de la palabra incertidumbre se relaciona con el concepto de duda. La
palabra incertidumbre sin adjetivos se refiere a un parámetro asociado con la definición
anterior o al conocimiento limitado acerca de un valor particular. La incertidumbre de la
medición no implica duda acerca de la validez de un mensurando; por el contrario, el
conocimiento de la incertidumbre implica el incremento de la confianza en la validez del
resultado de una medición.
2.1 Fuentes de incertidumbre
En la práctica la incertidumbre del resultado puede originarse de muchas fuentes posibles,
entre ellas podemos mencionar:
a) Definición incompleta del mensurando;
b) Realización imperfecta de la definición del mensurando;
c) Muestreo;
Muestreos no representativos - la muestra medida puede no representar el mensurando definido.

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d) Conocimiento inadecuado de los efectos de las condiciones ambientales sobre las
mediciones, o mediciones imperfectas de dichas condiciones ambientales;
e) Errores de apreciación del operador en la lectura de instrumentos analógicos;
f) Resolución finita del instrumento o umbral de discriminación finito;
g) Valores inexactos de patrones de medición y materiales de referencia;
h) Valores inexactos de constantes y otros parámetros obtenidos de fuentes externas y
usados en los algoritmos de reducción de datos;
i) Aproximaciones y suposiciones incorporadas en los métodos y procedimientos de
medición;
j) Variaciones en observaciones repetidas del mensurando bajo condiciones
aparentemente iguales.
Las fuentes analizadas en este epígrafe no son necesariamente independientes, y algunas
de las fuentes desde la a) hasta la i) pueden contribuir a la fuente j).
El resultado de una medición está completo únicamente cuando está acompañado
por una declaración cuantitativa de la incertidumbre, que expresa la calidad del
mismo y permite valorar la confiabilidad en este resultado.
2.2 Componentes de incertidumbre
En la estimación de toda la incertidumbre puede ser necesario tomar cada fuente de
incertidumbre y tratarla separadamente para obtener la contribución de cada fuente. Cada
una de las contribuciones separadas a la incertidumbre es referida como una componente
de incertidumbre. Cuando es expresada como una desviación estándar una componente
de incertidumbre es conocida como una incertidumbre estándar. Si hay correlación entre
cualquiera de las componentes entonces ésta tiene que ser tomada en cuenta
determinándose la covarianza. Sin embargo, es posible frecuentemente evaluar el efecto
combinado de varias componentes. Esto puede disminuir todo el esfuerzo envuelto y,
cuando las componentes cuya contribución es evaluada en común están correlacionadas,
puede no haber necesidad adicional de tomar en cuenta la correlación
Para un resultado de una medición y, la incertidumbre total, denominada incertidumbre
estándar combinada y denotada por uc(y), es una desviación estándar estimada igual a la
raíz cuadrada positiva de la varianza total obtenida por la combinación de todas las
componentes de la incertidumbre , evaluada por lo tanto, utilizando la ley de propagación
de incertidumbre.

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Para la mayoría de los propósitos en las mediciones, puede ser utilizada una incertidumbre
expandida U(y). La incertidumbre expandida suministra un intervalo dentro del cual el valor
del mensurando se cree caer con un alto nivel de confianza. U(y) es obtenida por la
multiplicación de uc(y), la incertidumbre estándar combinada, por un factor de cobertura k.
La elección del factor k está basada en el nivel de confianza deseado. Para un nivel de
confianza aproximado de 95 %, k es 2.
El factor de cobertura siempre debe ser señalado para que la incertidumbre estándar
combinada de la magnitud medida pueda ser recuperada, para usarse en el cálculo de la
incertidumbre estándar combinada de otros resultados de mediciones que pueden
depender de la magnitud.
2.3 Error e incertidumbre
En general, todo procedimiento de medición tiene imperfecciones que dan lugar a un error
en el resultado de la medición, lo que provoca que el resultado sea sólo una aproximación
o estimado del valor del mensurando.
Es importante distinguir entre error e incertidumbre. El error es definido como la diferencia
entre un resultado individual de una medición y el valor verdadero del mensurando. Es
decir el error es un simple valor. En principio el valor de un error conocido puede ser
aplicado como una corrección al resultado de una medición.
El valor verdadero del mensurando es aquel que caracterizaría idealmente al resultado de
la medición, o sea, el que resultaría de una medición "perfecta".
El error es un concepto idealizado y los errores no pueden ser conocidos exactamente.
La incertidumbre, por otro lado, toma la forma de un rango, y, si es estimada para un
procedimiento de medición, puede aplicarse a todas las determinaciones descritas en dicho
procedimiento. En general, el valor de la incertidumbre no puede utilizarse para corregir el
resultado de una medición.
Para ilustrar la diferencia, el resultado de una medición después de la corrección puede
estar muy cercano al valor del mensurando, y por lo tanto tener un error despreciable. Sin
embargo, la incertidumbre puede todavía ser muy grande, simplemente porque la persona
que ejecuta la medición está muy insegura de cuán cercano está el resultado del valor del
mensurando.
La incertidumbre del resultado de una medición nunca debe ser interpretada como la
propia representación del error ni como el error remanente después de la corrección.
Es considerado que un error tiene dos componentes una componente sistemática y una
componente aleatoria.

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El error aleatorio normalmente se origina de variaciones impredecibles de magnitudes
influyentes. Estos efectos aleatorios dan origen a variaciones en observaciones repetidas
del mensurando. El error aleatorio del resultado de una medición no puede ser
compensado por el incremento del número de mediciones, pero este puede normalmente
ser disminuido por tal incremento.
La desviación estándar experimental de la media aritmética o promedio de una serie de
observaciones no es el error aleatorio de la media, aunque esto es así referido en algunas
publicaciones de incertidumbre. En vez de esto, es una medida de la incertidumbre de la
media debido a algunos efectos aleatorios. El valor exacto del error aleatorio en la media,
originado de estos efectos, no puede ser conocido.
El error sistemático es definido como la componente de error la cual en el curso de un
número de mediciones del mismo mensurando, permanece constante o varía de una forma
predecible. Este es independiente del número de mediciones llevadas a cabo y no puede
por lo tanto ser disminuido por el incremento del número de mediciones bajo condiciones
constantes de medición.
Los errores sistemáticos constantes, tal como la inexactitud en la calibración en múltiples
puntos de un instrumento, son constantes para un nivel dado del valor del mensurando
pero pueden variar con el nivel del valor medido.
Los efectos que cambian sistemáticamente en magnitud durante una serie de mediciones,
causados, por ejemplo por el inadecuado control de las condiciones experimentales, dan
origen a errores sistemáticos que no son constantes.
Ejemplos:
Un incremento gradual en la temperatura de un conjunto de muestras durante un análisis químico puede conducir a cambios
progresivos en el resultado;
Los sensores y pruebas que muestran efectos de envejecimiento sobre la escala de tiempo de un experimento pueden además
introducir errores sistemáticos no constantes.
El resultado de una medición debe ser corregido para todos los efectos sistemáticos
significativos reconocidos.
El valor que es sumado algebraicamente al resultado no corregido de una medición, para
compensar el error sistemático se denomina corrección.
El factor numérico por el cual se multiplica el resultado no corregido de una medición para
compensar el error sistemático se denomina factor de corrección.
Los instrumentos y sistemas de medición son frecuentemente ajustados o calibrados
utilizando patrones de medición y materiales de referencia para corregir efectos
sistemáticos. Las incertidumbres asociadas con estos patrones y materiales de referencia y
la incertidumbre de la corrección tiene que ser tomada en cuenta.

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Otro tipo de error es el error grosero (error espurio). Los errores de este tipo invalidan una
medición y normalmente se originan de fallas humanas o de mal funcionamiento del
instrumento. Como ejemplos comunes de este tipo de error se encuentran: la transposición
de dígitos en un número mientras se registran los datos, una burbuja de aire que fluye a
través de la celda de un espectrofotómetro, etc.
Las mediciones para las cuales los errores groseros han sido detectados deben ser
despreciadas y ningún intento debe ser hecho para incorporar los errores a cualquier
análisis estadístico. Sin embargo los errores tales como la transposición de dígitos pueden
ser corregidos (exactamente).
Los errores groseros no siempre son obvios y, cuando un número suficiente de mediciones
repetidas está disponible, es normalmente apropiado aplicar una prueba de frontera para
chequear la presencia de miembros sospechosos en el conjunto de datos. Cualquier
resultado positivo obtenido de tal prueba debe ser considerado con cuidado y, cuando sea
posible referido al origen para la confirmación.
La incertidumbres estimadas utilizando la metodología descrita en este curso no tiene en
cuenta los errores groseros.
Errores de medición.
Errores instrumentales.
La primera fuente de error es la propia limitación de los instrumentos de medición que
utilizamos, los cuales podemos considerarlos de dos tipos fundamentales:
1. Los errores que se determinan en el proceso de calibración del instrumento, los cuales
son debidos al propio diseño estructural del instrumento de medición, a las propiedades
de los materiales que lo componen, a imperfecciones en la tecnología de su fabricación
y al envejecimiento de sus partes componentes durante el proceso de su explotación.
De acuerdo a la exactitud prevista en la medición, estos errores instrumentales pueden
disminuirse en gran medida, introduciendo las correcciones correspondientes
reportadas en su certificado de calibración.
De hecho, todo instrumento de medición debe ser calibrado periódicamente, ya que de
otra forma no se puede asegurar si las lecturas proporcionadas por el mismo son o no
correctas. Si un instrumento de medición tiene su calibración vigente y ha sido usado
correctamente, se puede afirmar que sus errores están dentro de los límites del error
máximo permisible especificados en la documentación correspondiente.
2. Errores que surgen a consecuencia de la influencia del instrumento de medición sobre
las propiedades del objeto o fenómeno que se mide. Tales situaciones surgen, por
ejemplo, al medir la longitud cuando el esfuerzo de medición del instrumento utilizado es
demasiado grande, al registrar procesos que ocurren con rapidez con equipos que
funcionan insuficientemente rápido; al medir la temperatura con termómetros de líquido,

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etc. En especial esto debe tenerse en cuenta en los instrumentos eléctricos y
electrónicos, puestos que estos para producir una indicación, precisan energía que ha
de ser proporcionada por el circuito donde se realiza la medición.
Aunque la calidad de un instrumento está relacionada con los errores que produce,
éstos también dependen de la forma en que sean utilizados. Por tanto, se recomienda
conocer lo mejor posible las características de un instrumento antes de utilizarlo. Si no
se cumplen los requisitos establecidos en el manual técnico del instrumento de medición
dado, tales como condiciones nominales de funcionamiento, tiempo de
precalentamiento, correcta instalación, etc., el error de medida puede ser bastante
mayor que el esperado.
Errores de método.
Los errores de método, también denominados errores teóricos, son los debidos a la
imperfección del método de medición. Entre estos podemos señalar los siguientes:
1. Errores que son la consecuencia de ciertas aproximaciones al aplicar el principio de
medición y considerar que se cumple una ley física determinada o al utilizar
determinadas relaciones empíricas.
2. Errores del método que surgen al extrapolar la propiedad que se mide en una parte
limitada del objeto de medición al objeto completo, si éste no posee homogeneidad de
la propiedad medida. Por ejemplo, cuando determinamos la densidad de una sustancia
a partir de la masa y el volumen de una muestra que contenía cierto grado de impurezas
y el resultado se considera que caracteriza a la sustancia dada.
Errores debido a agentes externos.
Los agentes externos que actúan en el proceso de medición se pueden clasificar en dos
grupos:
1. Factores ambientales. Tanto la magnitud a medir como la respuesta de los instrumentos
de medición, dependen en mayor o menor grado de las condiciones ambientales en que
el proceso se lleva a cabo. Como variables ambientales citaremos la temperatura, la
humedad y la presión, la primera es sin duda la más significativa. Es necesario
considerar además el nivel de iluminación, la contaminación del ambiente, el nivel de
polvo, etc.
2. Presencia de señales o elementos parásitos. Los elementos parásitos que generalmente
se presentan al efectuar una medición, pueden ser de dos tipos:
Los que inciden sobre la medición de forma errática, perturbando las condiciones de
equilibrio del sistema de medición y disminuyendo su exactitud. Por ejemplo,
vibraciones mecánicas, corrientes de aire, zumbidos de la red eléctrica y señales de
radiofrecuencia. Estas señales perturbadoras producen en ciertos casos un ruido de

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fondo en la respuesta de los instrumentos electrónicos, o hacen inestable el
dispositivo de lectura cuando hay partes mecánicas móviles, produciendo efectos
aleatorios y aumentando la incertidumbre de la medición.
Agentes físicos de igual naturaleza que la de la magnitud a medir que se hallan
presentes de modo prácticamente constante. Por ejemplo, campos electrostáticos o
magnetostáticos (como puede ser el campo magnético terrestre), fuerzas
electromotrices termoeléctricas o de contacto presentes en una instalación de
medición, etc.
Errores debidos al observador.
Entre los errores debido al observador podemos señalar:
- Errores de paralaje o de interpolación visual al leer en la escala de un instrumento;
- Errores debido a un manejo equivocado del instrumento;
- Omisión de operaciones previas o durante la medición, como puede ser un ajuste a
cero, tiempo mínimo de precalentamiento, etc.
Errores matemáticos.
Frecuentemente, con los datos de las mediciones es necesario realizar determinados
cálculos para obtener el resultado final; por tanto, otra fuente de error son los errores
matemáticos que se comenten al emplear fórmulas inadecuadas, redondear las
cantidades, etc.

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Teoría y Práctica
Capítulo 3
Procedimientos Estadísticos Utiles

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L&S CONSULTORES C.A. CAPITULO 3. PROCEDIMIENTOS ESTADISTICOS UTILES
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Capítulo
3
Procedimientos estadísticos útiles
3.0 Función de distribución de la variable aleatoria
El resultado de cada observación realizada en un proceso de medición depende de la
acción de un gran número de factores que varían durante el proceso de medición de forma
incontrolable (efectos aleatorios), por ejemplo:
– Pequeñas corrientes de aire y vibraciones;
– Variación de la atención del ojo del observador;
– Variaciones de la temperatura, la humedad y la presión atmosférica;
– Variaciones de los momentos de fricción entre partes móviles de instrumentos
mecánicos;
– Fluctuaciones del voltaje y la frecuencia de la red de alimentación eléctrica.
Por esta razón, al repetir muchas veces una medición obtendremos, en general, diferentes
valores en cada realización, algunos de los cuales pueden o no repetirse. La experiencia
demuestra que, por mucho que se trate, es imposible lograr la misma combinación de
factores en cada observación repetida. Los fenómenos que cumplen estas condiciones se
llaman fenómenos aleatorios y las variables que los caracterizan se denominan variables
aleatorias. Por tanto, el resultado de una medición es una variable aleatoria, para el
tratamiento de las cuales se usan los métodos de la teoría de probabilidades y la
estadística matemática. Utilizaremos la letra mayúscula X para denotar la variable aleatoria
(resultado de la medición) y su correspondiente minúscula, x, para uno de sus valores.
Las variables aleatorias pueden ser:
– Variables aleatorias discretas;
– Variables aleatorias continuas.
Para una variable aleatoria discreta siempre es posible contar su conjunto de resultados
posibles. Por ejemplo el número de ítems defectuosos en una muestra de k ítems.
Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua, se le
denomina variable aleatoria continua. El resultado de la medición, como variable
aleatoria, es una variable aleatoria continua.

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A continuación se aborda un resumen de las principales propiedades las variables
aleatorias continuas, lo que facilita una mejor comprensión de la evaluación de la
incertidumbre de la medición.
A pesar del carácter aleatorio de los resultados de las observaciones individuales repetidas
bajo las mismas condiciones en un proceso de medición, en ellos aparece una ley
determinada que expresa una regularidad dada.
Toda variable aleatoria responde a una cierta ley de distribución que se expresa a través
de la denominada función de densidad de probabilidad, o simplemente función de densidad
de X, la cual se define de la siguiente forma:
b
a
dxxfbXaP (3.1)
f(x) se denomina función de densidad de probabilidad. La probabilidad de que la variable
aleatoria tome valores en el intervalo [a,b] es igual al área bajo la curva acotada por los dos
extremos del intervalo.
Figura 3.1
El valor del área bajo la curva es igual a 1 cuando se calcula en el rango de X para el cual
se define f(x).
La función de densidad de probabilidad constituye el método más universal de descripción
de las variables aleatorias, pues ella indica al mismo tiempo los valores que la variable
puede tomar y la probabilidad de que los tome.
3.1 Características numéricas de la variable aleatoria
Resulta muy práctico caracterizar la variable aleatoria con ayuda de ciertas cantidades
numéricas que la caracterizan globalmente. Estas son las llamadas medidas de tendencia
central y de dispersión, entre las cuales, las más usadas para el tratamiento de los
resultados de las mediciones y de su incertidumbre son: la esperanza matemática, la
varianza y la desviación estándar.
a b
P=(a X b)f(x)
x

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La esperanza matemática o media de la población expresa el valor medio de la variable
aleatoria dada X, mediante la ley de distribución de la misma. Desde el punto de vista
geométrico, representa la abscisa del centro de gravedad de la figura formada por el eje de
las abscisas y la función de densidad de probabilidad (figura 3.2).
Sea X una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x). La esperanza matemática o valor esperado E(X) de X es dado en
la ecuación 3.2.
dxxfxXE (3.2)
Figura 3.2
Desde el punto de vista de las mediciones, este valor que representa el valor medio de la
variable aleatoria resultante de las observaciones individuales, se toma precisamente como
resultado de la medición.
La diferencia constante entre la esperanza matemática y el valor del mensurando (Q)
representa el error sistemático de la medición (figura 3.3).
QXE (3.3)
Figura 3.3
Q E(X) x
f(x)
E(X) x

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De acuerdo a la definición de esperanza matemática, para determinarla sería necesario
contar con información sobre todos los posibles valores que podría tomar la variable
aleatoria (población). En la práctica, sin embargo, sólo contamos con un número limitado
de observaciones (muestra) y, a partir de esta muestra, necesitamos estimar el valor de la
esperanza matemática de la variable aleatoria. En calidad de estimador de la esperanza
matemática se utilizará la media aritmética:
n
x
x
n
i
i
1 (3.4)
Puesto que no es posible conocer el valor exacto de la esperanza matemática (sino sólo su
estimado), ni tampoco conocemos el valor exacto del mensurando, queda claro que el error
sistemático de la medición no se puede conocer.
La esperanza matemática nos permite conocer a qué valor tiende la variable aleatoria, sin
embargo, dos variables aleatorias pueden tener la misma esperanza matemática, pero una
tener mayor dispersión de sus valores respecto a la esperanza matemática que la otra
(figura 3.4).
Figura 3.4
Esta propiedad se caracteriza mediante la denominada varianza, que se calcula mediante
el promedio del cuadrado de las desviaciones de la variable aleatoria respecto a la
esperanza matemática.
dxxfXExXEXEXV )()()(
22
(3.5)
La cantidad )(XEx se denomina desviación de una observación respecto a su media
(o error aleatorio).
Como la varianza tiene dimensiones del cuadrado de la magnitud aleatoria, resulta más
cómodo usar la desviación estándar:
1 2 3
1
2
3
E(X) x

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X V X (3.6)
Para estimar la desviación estándar a partir de los datos de una muestra, por ejemplo, un
conjunto de observaciones de una magnitud particular tomadas bajo las mismas
condiciones, se usa la desviación estándar experimental s(x):
1
1
2
n
xx
xs
n
i
i
(3.7)
Es posible demostrar que:
n
X
X )( (3.8)
por lo que su estimador será:
n
xs
xs
)(
)( (3.9)
El error aleatorio de una observación viene determinado por:
)(XExa (3.10)
y como )(X caracteriza el promedio de estas desviaciones, resulta que mientras mayor
es )(X , mayores son los errores aleatorios.
Por la misma razón explicada, según la cual, la esperanza matemática de la variable
observada no la podemos conocer exactamente, resulta que tampoco podremos
determinar el error aleatorio exacto de una medición.
El error de una medición (error absoluto) será la suma del error aleatorio y del error
sistemático y permanecerá desconocido.
A menudo los resultados de las mediciones de dos magnitudes de entrada están ligados,
ya sea porque existe una tercera magnitud que influye sobre ambas, porque se utiliza el
mismo instrumento para medir o el mismo patrón para calibrar, o por alguna otra razón.
Por ejemplo, en la calibración de medidas de capacidad de vidrio por el método gravimétrico son magnitudes de entrada las
temperaturas del agua y del ambiente. Estas temperaturas están relacionadas aún cuando sus valores pueden ser diferentes. La
temperatura del agua será más alta cuando la temperatura ambiente lo sea y bajará cuando lo haga la temperatura ambiente, es
decir existe correlación entre estas magnitudes.

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Desde el punto de vista estadístico, dos variables son independientes cuando la
probabilidad asociada a una de ellas no depende de la otra, esto es, si Xi y Xj son dos
variables aleatorias independientes, la probabilidad conjunta se expresa como el producto
de las probabilidades de las variables respectivas:
)()(),( jiji XPXPXXP
Cuando se trata de un conjunto de magnitudes de entrada que no son independientes, sino
que los valores de unas dependen de los valores que tomen otras (magnitudes
correlacionadas), además de la esperanza matemática y la varianza de cada magnitud,
también se utiliza otra característica numérica que es la covarianza y que es una medida
de la naturaleza de asociación entre estas variables. La covarianza, para las variables Xi y
Xj, se define como:
jjiiji XEXXEXEXX , (3.11)
Más frecuentemente se utiliza el coeficiente de correlación, el cual estima estadísticamente
la independencia lineal de dos variables y se define como:
r X X
X X
X Xi j
i j
i j
,
,
( ). ( )
( , ) ( , ). ( ). ( )X X r X X X Xi j i j i j
(3.12)
Si las variables aleatorias son independientes, tanto la covarianza como el coeficiente de
correlación son igual a cero.
El coeficiente de correlación tiene la ventaja sobre la covarianza de que es adimensional,
de modo que su valor no depende de las unidades de medida seleccionadas. Los valores
del coeficiente de correlación están comprendidos en el intervalo -1,1 , siendo igual a +1 o
a –1 cuando existe una dependencia lineal entre las variables (correlación total).
La covarianza de dos magnitudes correlacionadas Xi y Xj que son estimadas a partir de
sus medias ,ix y jx , mediante pares de observaciones simultáneas, puede ser estimada a
partir del conjunto de n valores de xi y xj según:
n
k
jjkiikji xxxx
nn
xxs
1
)()(
)1(
1
),( (3.13)
Si Y = f (X1, X2, ... , XN) es una variable aleatoria que varía poco para pequeñas variaciones
de sus argumentos y que es estimada a partir de su media Y , entonces su desviación
estándar estará dada por:
1
1 11
2
2
2
),(..2)()(
N
i
N
ij
ji
ji
N
i
i
i
XX
X
f
X
f
X
X
f
Y (3.14)

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En el caso de que las magnitudes Xi sean independientes, el segundo término del miembro
de la derecha será igual a cero y resultará:
N
i
i
i
X
X
f
Y
1
2
2
2
)()( (3.15)
Si el coeficiente de correlación para todas las Xi, Xj es igual a 1, entonces de (3.12) se
deriva que :
( , ) ( ) ( )X X X Xi j i j
por lo que la ecuación (3.14) quedaría en la forma:
2
1
2
1
Y
f
X
X Y
f
X
X
ii
N
i
i
i
i
N
( ) ( ) ( ) (3.16)
El valor de )(Y puede estimarse ( )(ys ) sustituyendo en las ecuaciones (3.14), (3.15) y
(3.16) las )( iX por sus estimadores )( ixs y ),( ji XX por su estimador ),( ji xxs
dado por la ecuación (3.13).
3.2 Ejemplos de funciones de distribución
En este epígrafe analizaremos un grupo de funciones de distribución de probabilidad
continuas que describen el comportamiento del resultado de la medición.
Frecuentemente sucede que de acuerdo a la información de que se dispone, sólo es
posible establecer que todos los valores de una variable aleatoria están comprendidos en
un intervalo entre a- y a+, y que cualquiera de los posibles valores tiene igual probabilidad
de ocurrencia. En este caso se dice que la variable aleatoria cumple una función (ley) de
distribución rectangular o uniforme (figura 3.5). La función de distribución rectangular es
también conocida como distribución uniforme continua.

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Figura 3.5
La esperanza matemática de X es el punto medio del intervalo:
2
)(
)(
aa
XE (3.17)
con varianza asociada:
V X X
a a
( ) ( )
( )2
2
12
(3.18)
Si la diferencia entre los límites se denota por 2a, es decir, a a a2 entonces
sustituyendo en (3.18):
2
2
3 3
( ) ( )X
a
X
a
(3.19)
La función de distribución rectangular se utiliza en el cálculo de incertidumbre cuando:
Un certificado u otra especificación ofrecen los límites sin especificar un nivel de
confianza;
Es hecho un estimado en forma de un rango máximo con desconocimiento de la forma
de la distribución.
EJEMPLOS
a) Un analista estima un factor de contribución como que no es menor que 7 ni mayor que 10, pero siente que el valor podría estar
en cualquier lugar en entre estos valores, como no hay idea de si cualquier parte del rango es más probable que otra. Esto es
una descripción de una función de distribución rectangular con rango 2a = 3 (semirango a =1,5). Utilizando la función de
distribución rectangular puede calcularse un estimado de la desviación estándar. Utilizando el rango anterior (a = 1,5), el
resultado es una desviación estándar de (1,5/ 3) = 0,87.
a a
1/2a
a- a+ x
3
a
3
a
f(x)

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b) Un recipiente volumétrico de 10 ml tiene un error máximo permisible de 0,2 ml . Al considerar los posibles valores del volumen
que contiene la medida de acuerdo al valor del error máximo permisible podemos decir que el volumen se encuentra entre :
(10,0 - 0,2) ml V (10,0 + 0,2) ml
y cualquiera de los valores comprendidos en este intervalo tienen la misma probabilidad de ocurrencia. Por tanto, podemos
considerar que la variable aleatoria (volumen) cumple con una ley de distribución rectangular con
3
2,0
)(V = 0,11 ml.
En el caso que la probabilidad de que la variable aleatoria tome los valores en el intervalo
entre a- y a+, tenga un valor máximo en el centro del intervalo y disminuya linealmente
hacia los extremos del mismo hasta cero, estamos en presencia de una función de
distribución triangular (figura 3.6).
Figura 3.6
Si el intervalo es simétrico, la varianza de la variable aleatoria X será en este caso:
2
2
6 6
( ) ( )X
a
X
a
(3.20)
La función de distribución triangular se utiliza en el cálculo de la incertidumbre cuando:
La información disponible concerniente a X está menos limitada que para una función
de distribución rectangular. Los valores cercanos a E(X) son más probables que los
cercanos a los límites;
Es hecho un estimado en la forma de un rango máximo descrito por una distribución
simétrica.
aXE )(
1/a
a a
aXE )()(XE x
f(x)

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En el ejemplo del recipiente volumétrico de 10 ml, podría considerarse que la variable aleatoria (volumen) cumple una ley de
distribución triangular, si los valores correspondientes a volúmenes muy próximos a 10 ml se presentan mucho más frecuentemente
que los próximos a (9,8 y 10,2) ml. En ese caso
6
2,0
)(V = 0,081 ml.
En la estadística matemática tiene gran importancia la denominada ley de distribución
normal o ley de distribución de Gauss. Esta ley de distribución tiene la forma mostrada
en la figura 3.7.
Para una variable que sigue una ley de distribución normal se cumple que:
Figura 3.7
Esto significa que, para una distribución normal, la probabilidad de que la variable tome
valores fuera del intervalo 3 es prácticamente cero. Por tanto, si los valores
observados de una variable están incluidos en el intervalo a y ella sigue una ley de
distribución normal, se puede plantear que a = 3 , o sea,
3
)(
9
)(
2
2 a
X
a
X .
La función de distribución normal es utilizada en el cálculo de la incertidumbre cuando:
Es hecho un estimado de observaciones repetidas de un proceso que varía
aleatoriamente;
Es hecho un estimado en forma de un intervalo de confianza de un 95 % (u otro) de
probabilidad sin especificar la distribución.
Para el caso del ejemplo tratado (para un 99,73 % de probabilidad) mlV 066,0
3
2,0
)( .
-3 -2 -1 1 2 3
P( X +3 = 99,73 %)

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Si comparamos los valores de las desviaciones estándar de la variable V considerando los
tres tipos de distribuciones, vemos que estos difieren poco.
Se sabe que las magnitudes aleatorias que cumplen una ley de distribución normal están
profusamente distribuidas en la práctica. Esto se debe a un hecho expresado en el
denominado Teorema del Límite Central según el cual, si una variable aleatoria X es la
suma de un número grande de variables aleatorias mutuamente independientes, y la
influencia de cada una de ellas en toda la suma es despreciable, entonces X tiende a una
distribución normal.
En el caso que nos ocupa de las mediciones, resulta que la variabilidad aleatoria de las
observaciones durante la medición se debe a la conjugación de un gran número de
factores que intervienen en la medición y que varían de forma impredecible de una
observación a otra. Si ninguno de estos factores predomina sobre los restantes en cuanto a
la variabilidad que provoca en el resultado de las observaciones, entonces se puede
afirmar que éste sigue aproximadamente una ley de distribución normal.
3.3 Método de los mínimos cuadrados
A menudo, en la práctica de las mediciones, se requiere la solución de problemas que
incluyen conjuntos de variables cuando se conoce que existen relaciones inherentes entre
ellas. Por ejemplo, en una situación industrial se puede saber que el contenido de alquitrán
en el flujo saliente de un proceso químico se relaciona con la temperatura de entrada.
Puede ser de interés desarrollar un método de predicción; es decir, un procedimiento para
estimar el contenido de alquitrán para varios valores de la temperatura a partir de la
información experimental disponible (relación entre temperatura y contenido de alquitrán).
Este procedimiento posibilitaría la determinación del valor del contenido del alquitrán con el
solo hecho de determinar el valor de la temperatura del fluido.
La relación que se ajusta a un conjunto de datos experimentales se caracteriza por una
ecuación de predicción que se denomina ecuación de regresión.
Para asegurar la validez del método que a continuación desarrollaremos es necesario que
la dependencia de las variables sea lineal. Es por ello importante comprobar mediante un
gráfico si el modelo es lineal.
Es usual en química analítica que un método analítico o instrumento esté calibrado
frecuentemente por la observación de las respuestas ,y, para diferentes niveles del analito,
x. En la mayoría de los casos la relación se toma lineal como: bmxy

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La línea de calibración es entonces utilizada para obtener la concentración xpred del analito
de una muestra, la cual produce una respuesta observada yobs de:
mbyx obspred /)(
Es común determinar las constantes m y b por el método de regresión de los mínimos
cuadrados en un conjunto de n pares de valores (xi; yi).
Los parámetros de la regresión lineal son los siguientes:
Para la ecuación: bmxy
Cantidades útiles:
n
i
ixx xxs
1
2
)( ;
n
i
iyy yys
1
2
)( ; )()(
1
yyxxs i
n
i
ixy
Pendiente:
xx
xy
s
s
m
Intercepto: xmyb
Desviación estándar de los residuos:
2
2
n
sms
s
xxyy
y
Desviación estándar del intercepto:
n
i
i
n
i
i
yb
x
x
n
ss
1
2
2
1
)(
1
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
Valores xi
Valores yi
y = mx + b

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Desviación estándar de la pendiente: xxym sss /
Desviación estándar de una lectura desconocida de una curva de calibración:
xx
cy
c
sm
yy
nLm
s
s 2
2
)(11
Donde:
n: es el número de puntos de calibración;
L: es el número de mediciones repetidas del valor desconocido;
cy : es la media de las mediciones del valor desconocido.

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Teoría y Práctica
Capítulo 4
Proceso de Estimación
de la Incertidumbre Estándar

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L&S CONSULTORES C.A. CAPITULO 4. PROCESO DE ESTIMACION DE LA INCERTIDUMBRE ESTANDAR
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Capítulo
4
Proceso de estimación de la incertidumbre estándar
4.0 Introducción
La estimación de la incertidumbre en principio es simple. A continuación se señalan las
tareas necesarias para obtener un estimado de la incertidumbre asociada con un resultado
de la medición:
1. Especificación del mensurando.
Escribir un enunciado claro de qué es medido, incluyendo la relación entre el mensurando
y las magnitudes de entrada (por ejemplo magnitudes medidas, constantes, valores de
patrones de calibración, etc.) sobre las cuales éste depende. Donde sea posible, incluir las
correcciones para efectos sistemáticos conocidos. La especificación de la información
puede ser dada en un Procedimiento de Operación Normalizado (PON) u otra descripción
del método.
2. Identificación de las fuentes de incertidumbre y análisis.
Listar las posibles fuentes de incertidumbre. Esta lista incluye las fuentes que contribuyen a
la incertidumbre en los parámetros de la relación especificada en el primer paso, pero
puede incluir otras fuentes y las fuentes originadas de cualquier suposición que sea
tomada.
3. Evaluación de la incertidumbre estándar.
Medir o estimar el tamaño de la componente de incertidumbre asociada con cada fuente
potencial de incertidumbre identificada. Frecuentemente es posible estimar o determinar
una contribución simple a la incertidumbre asociada con un número de fuentes separadas.
Además, es importante considerar si los datos disponibles cuentan lo suficientemente para
todas las fuentes de incertidumbre, y planificar cuidadosamente experimentos adicionales
y estudios para asegurar que todas las fuentes de incertidumbre son tomadas en cuenta
adecuadamente.
4. Cálculo de la incertidumbre combinada.
La información obtenida en el tercer paso consiste de un número de contribuciones
cuantificadas a toda la incertidumbre, o asociadas con fuentes individuales o con los
efectos combinados de varias fuentes. Las contribuciones tienen que ser expresadas como
desviaciones estándar, y combinadas de acuerdo a reglas apropiadas, para dar una
incertidumbre estándar combinada. El factor de cobertura apropiado debe ser aplicado
para dar una incertidumbre expandida.

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La figura 4.1 muestra el proceso esquemáticamente.
Especificación del
mensurando
1er
pasoEstablecer el modelo físico
Identificar las magnitudes de
entrada Xi
Establecer el modelo matemático
2do
paso
Identificación de las fuentes de
incertidumbre
Simplificar por agrupamiento las
fuentes cubiertas por los datos
existentes
Asignar una función de
distribución a cada fuente
Convertir las componentes a
desviaciones estándar u(xi)
3er
paso
Estimar correlaciones
Calcular la incertidumbre estándar
combinada uc(y)
Revisar, y si es necesario
reevaluar las mayores
componentes de incertidumbre
4to
paso
Calcular la incertidumbre
expandida U(y)
Figura 4.1. Proceso de estimación de la incertidumbre
Los siguientes epígrafes suministran una guía para la ejecución de todos los pasos listados
anteriormente y muestran como el procedimiento puede ser simplificado, dependiendo de
la información que está disponible acerca del efecto combinado de un número de fuentes.

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4.1 Especificación del mensurando
En el contexto de la estimación de la incertidumbre, “la especificación del mensurando”
requiere una clara e inequívoca definición de que es medido, y una expresión cuantitativa
que relacione el valor del mensurando con los parámetros de los cuales depende. Estos
parámetros pueden ser otros mensurandos, magnitudes que no son directamente medidas
o constantes.
Pretender estudiar el proceso de medición de manera exacta y completa está usualmente
fuera de las actividades rutinarias de la persona que efectúa las mediciones, más aún, es el
propósito de la investigación científica cuya solución pocas veces se vislumbra. Por lo
tanto, es necesario la simplificación del fenómeno o de la situación real conservando las
características más relevantes para el propósito pretendido, mediante la construcción de un
modelo para la medición.
Un modelo físico de la medición consiste en el conjunto de suposiciones sobre el propio
mensurando y las variables químicas o físicas relevantes para la medición. Estas
suposiciones usualmente incluyen:
La relación entre variables presentes en el fenómeno;
Consideraciones sobre el fenómeno como conservación de cantidades,
comportamiento temporal, comportamiento espacial, simetrías;
Consideraciones sobre propiedades de la sustancia como homogeneidad e isotropía.
Una medición física, por simple que sea, tiene asociado un modelo que sólo aproxima el
proceso real.
Por ejemplo, la medición de viscosidad con viscosímetros capilares usa un modelo que supone un capilar con longitud infinita, de
diámetro constante y que la temperatura es absolutamente uniforme y constante en todos los puntos del viscosímetro.
El modelo físico se representa por un modelo descrito con lenguaje matemático (modelo
matemático). El modelo matemático supone aproximaciones originadas por la
representación imperfecta o limitada de las relaciones entre las variables involucradas.
Considerando a la medición como un proceso, se identifican magnitudes de entrada
denotadas por el conjunto {Xi}, expresión en la cual el índice i toma valores entre 1 y el
número de magnitudes de entrada N.
La relación entre las magnitudes de entrada Xi y el mensurando Y como la magnitud de
salida se representa como una función:
),...,,( 21 Ni XXXfXfY (4.1)

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En el caso más simple de una medición directa, la medición comprende al menos dos
magnitudes, el mensurando, o sea la magnitud que se quiere medir, y la magnitud que se
observa. Sin embargo, en todo proceso de medición actúan una serie de magnitudes de
influencia que son conocidas sólo de forma aproximada y para las cuales pueden o no
introducirse ciertas correcciones en los cálculos del resultado de la medición. En casos
más complicados, el valor del mensurando puede determinarse por método indirecto, o
sea, a partir de su relación funcional con otras magnitudes, los valores de algunas de las
cuales se obtienen en el proceso de medición y otras pueden ser tomadas de mediciones
previas, certificados de calibración, referencias, manuales, etc.
Veamos algunos ejemplos:
1) Se realiza la determinación del pH de una sustancia de forma directa con la ayuda de un medidor de pH.
El modelo matemático es representando como: ipHpH
donde: pHi es el pH indicado por el medidor.
2) Se determina la densidad de un cuerpo indirectamente con la ayuda de una balanza digital y una medida de capacidad de vidrio.
El modelo matemático es representando como:
i
i
V
m
donde mi: masa indicada por la balanza y Vi es el volumen desplazado por el cuerpo (determinado con la ayuda de la medida de
capacidad de vidrio).
El modelo matemático de la medición expresado a través de la relación funcional (4.1)
debemos interpretarlo como aquella función que contiene todas las magnitudes de las
cuales depende el mensurando, incluyendo todas las correcciones y factores de corrección
que pueden contribuir con componentes significativas de incertidumbre al resultado de la
medición. Ella no debe expresar simplemente una ley física, sino también el proceso de
medición dado.
Se denota con xi al mejor estimado de las magnitudes de entrada Xi.
El mejor estimado del valor del mensurando es el resultado de calcular el valor de la
función f evaluada en el mejor estimado de cada magnitud de entrada,
),...,,( 21 Nxxxfy (4.2)
En algunas ocasiones se toma el mejor estimado de Y como el promedio de varios valores
yj del mensurando obtenido a partir de diversos valores {Xi}j de las magnitudes de entrada.

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4.2 Identificación de las fuentes de incertidumbre y análisis
Debe ser organizada una lista comprensiva de todas las fuentes relevantes de
incertidumbre. En esta etapa, no es necesario la evaluación de las componentes
individuales; la intención es dejar establecidas claramente las diferentes fuentes que deben
ser consideradas en el análisis de la incertidumbre. En el próximo epígrafe se consideran
las mejores vías para el tratamiento de cada fuente.
En la formación de la lista requerida de fuentes de incertidumbre es conveniente comenzar
con el análisis del modelo matemático utilizado para calcular el valor del mensurando
desde valores intermedios. Todos los parámetros en esta expresión pueden tener una
incertidumbre asociada con sus valores y son fuentes de incertidumbre potenciales.
Además, pueden haber otros parámetros que no aparezcan explícitamente en la expresión
utilizada para calcular el valor del mensurando, pero que sin embargo afectan los
resultados del mensurando y son fuentes de incertidumbre potenciales; por ejemplo, el
tiempo de extracción o la temperatura. Todas estas diferentes fuentes deben ser incluidas.
El diagrama de causa y efecto es una forma muy conveniente de listar las fuentes de
incertidumbre, mostrando como se relaciona cada una e indicando su influencia en la
incertidumbre del resultado. Además, ayuda a evitar duplicar las fuentes al considerarlas
nuevamente.
Una vez que la lista de fuentes de incertidumbre es organizada, sus efectos en el resultado
pueden, en principio, ser representados por un modelo de medición formal, en el cual cada
efecto está asociado con un parámetro o variable en una ecuación. Entonces, la ecuación
forma un modelo completo del proceso de medición en términos de todos los factores
individuales que afectan el resultado. Esta función puede ser muy complicada y puede no
ser posible escribirla explícitamente. Sin embargo, donde sea posible, debe ser hecha,
como la forma de expresión que determina generalmente el método de combinación
de las contribuciones individuales de incertidumbre.
Adicionalmente, puede ser muy útil considerar un proceso de medición como una serie de
operaciones, cada una de las cuales puede ser planteada separadamente para obtener el
estimado de incertidumbre asociada con cada operación. Esto es muy útil cuando
procedimientos de medición similares comparten operaciones comunes. Entonces, las
incertidumbres separadas para cada operación forman las contribuciones a la
incertidumbre total.
No es recomendable desechar alguna de las fuentes de incertidumbre por la suposición de
que es poco significativa sin una cuantificación previa de su contribución, comparada con
las demás, apoyada en mediciones. Es preferible la inclusión de un exceso de fuentes que
ignorar algunas entre las cuales pudiera descartarse alguna importante. No obstante,
siempre estarán presente efectos donde la experiencia, conocimientos y actitud crítica del
observador permitirán calificar como irrelevantes después de las debidas consideraciones.
Las fuentes de incertidumbre típicas son aquellas que fueron estudiadas en el capítulo 2.

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4.3 Evaluación de la incertidumbre estándar
Introducción.
Una vez que han sido identificadas las fuentes de incertidumbre es necesario evaluar la
incertidumbre originada de cada fuente individual, para luego combinarlas como se
describe en el capítulo 5.
Procedimiento de evaluación de la incertidumbre.
El procedimiento utilizado para la estimación de la incertidumbre total depende de los datos
disponibles acerca del proceso de medición. Las etapas que envuelven el desarrollo de la
evaluación son:
Reconciliar los requerimientos de información con la información disponible.
Primero, la lista de las fuentes de incertidumbre debe ser examinada para ver cuáles
fuentes de incertidumbre son tomadas en cuenta por la información disponible (datos
existentes, o información adicional obtenida de la literatura o datos establecidos en
certificados, especificaciones del equipo, etc.). Estas fuentes deben ser comprobadas
contra la lista organizada y cualquiera de las fuentes que permanezcan deben ser
listadas, para suministrar un registro auditable de las contribuciones a la incertidumbre
que han sido incluidas.
Plan para obtener los demás datos requeridos.
Se debe elaborar un plan para obtener los demás datos requeridos para las fuentes de
incertidumbre no cubiertas adecuadamente por la información disponible, o la
planificación de experimentos para obtener datos adicionales requeridos. Los
experimentos adicionales pueden tomar la forma de estudios específicos de una
contribución simple a la incertidumbre o estudios del desempeño usual del método de
medición, conducidos para asegurar variaciones representativas de importantes
factores.
Es importante reconocer que no todas las componentes tienen una contribución
significativa a la incertidumbre combinada; en la práctica tan solo un pequeño número de
ellas contribuirán a la incertidumbre combinada. Debe ser hecho un estimado preliminar de
la contribución de cada componente o combinación de componentes a la incertidumbre y
aquellas que no sean significativas deben eliminarse.
En la literatura se distinguen dos métodos principales para cuantificar las fuentes de
incertidumbre: el método de evaluación tipo A y el método de evaluación tipo B. El
método tipo A está basado en un análisis estadístico de una serie de mediciones, mientras
que el método de evaluación tipo B comprende todas las demás maneras de estimar la
incertidumbre.

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Esta clasificación no significa que exista alguna diferencia en la naturaleza de las
componentes que resultan de cada uno de los dos métodos de evaluación, puesto que
ambos métodos están basados en distribuciones de probabilidad. La única diferencia es
que en las evaluaciones tipo A se estima esta distribución basándose en mediciones
repetidas obtenidas del mismo proceso de medición, mientras que en el caso de tipo B se
supone una distribución sobre la base de la experiencia o la información externa
disponible. En la práctica está clasificación no tiene consecuencia alguna en las etapas
para obtener una estimación de la incertidumbre combinada.
Método de evaluación tipo A de la incertidumbre estándar.
La incertidumbre de una magnitud de entrada Xi obtenida a partir de observaciones
repetidas bajo condiciones de repetibilidad, se estima sobre la base de la dispersión de los
resultados de mediciones individuales. Sólo cuando existe suficiente resolución en el
proceso de medición, la dispersión de las observaciones podrá advertirse, puesto que se
obtendrán un grupo de valores diferentes al repetir la medición en condiciones
prácticamente iguales, algunos de los cuales pueden o no volver a aparecer.
Si Xi se determina por n mediciones independientes, resultando en valores q1, q2,...,qn, el
mejor estimado de xi para el valor de Xi es la media de los resultados individuales:
n
q
qx
n
j
j
i
1
(4.3)
Las dispersión de los resultados de la medición q1, q2,...,qn para la magnitud de entrada Xi
se expresa por su desviación estándar experimental:
1
1
2
n
qq
qs
n
j
j
(4.4)
La incertidumbre estándar u(xi) de Xi se obtiene finalmente mediante el cálculo de la
desviación estándar experimental de la media:
)1(
)(
)(
1
2
nn
qq
qsxu
n
j
j
iA (4.5)
Existen casos prácticos donde un efecto aleatorio puede producir una fluctuación en la
indicación de un instrumento que puede ser significativa en términos de incertidumbre. Esta
no es una situación común, pero cuando ocurre se estima la incertidumbre estándar
asumiendo que las observaciones se distribuyen uniformemente en los límites del
recorrido. Es decir:

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12
)( MINMAX
iA
xx
xu (4.6)
donde xMAX y xMIN son la indicaciones máxima y mínima obtenidas con el instrumento de
medición.
Cuando resulte conveniente se podrá estimar la incertidumbre estándar tipo A acotando los
valores máximos y mínimos posibles que puede tomar xi, siempre que, durante el proceso
de medición ninguna observación caiga fuera de dichos límites. En este caso uA(xi) se
evalúa por la ecuación (4.6).
Para una medición que se realiza por un método bien caracterizado y bajo condiciones
controladas, es razonable suponer que la distribución (dispersión) de los qj no cambia, o
sea se mantiene prácticamente igual para mediciones realizadas en diferentes días, por
diferentes personas, etc., es decir la medición está bajo control estadístico. En este caso
esta componente de la incertidumbre puede ser más confiablemente estimada a partir de la
desviación estándar sp, que con la desviación estándar experimental s(q) obtenida por un
número n de mediciones, casi siempre pequeño según la ecuación 4.4. La repetibilidad y
reproducibilidad de las mediciones previamente evaluadas deben basarse en un número
relativamente grande de mediciones.
Cuando sp se encuentra disponible podemos obtener la incertidumbre estándar tipo A de xi,
calculada a partir de muy pocas mediciones como:
n
s
quxu
p
AiA (4.7)
donde n es el número de mediciones realizadas para evaluar qxi y que en algunos
casos suele ser igual a 1, mientras que sp se determinó por un número distinto (grande) de
mediciones.
Una estimación ponderada de varianza 2
ps basada en N series de observaciones
independientes de la misma variable aleatoria se obtiene a partir de:
N
i
i
N
i
ii
p
qs
s
1
1
2
2
)(
(4.8)
donde )(2
qsi es la varianza experimental de la i-ésima serie de ni observaciones repetidas
independientes (ecuación 4.4) y tienen 1ii n grados de libertad. Los grados de libertad
de 2
ps son
N
i
i
1
. La varianza experimental msp /2
(y la desviación estándar

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experimental msp / ) de la media aritmética de m observaciones independientes
caracterizadas por la estimación ponderada de la varianza 2
ps tiene también grados de
libertad.
No se puede dar una recomendación general para el número ideal de las repeticiones n, ya
que esté depende de las condiciones y exigencias de cada medición específica. Es
necesario considerar que:
Al aumentar el número de repeticiones disminuye la incertidumbre tipo A, la cual es
proporcional a n1 ;
Un número grande de repeticiones aumenta el tiempo de medición, que puede ser
contraproducente, si las condiciones ambientales u otras magnitudes de entrada no se
mantienen constantes en este tiempo;
En pocos casos se recomienda o se requiere n mayor que 10. Por ejemplo cuando se
caracterizan instrumentos, patrones o se hacen mediciones o calibraciones de alta
exactitud;
Para determinar el impacto que tiene n en la incertidumbre expandida hay que estimar
su influencia en el número efectivo de grados de libertad.
Existen otros métodos estadísticos para evaluar la incertidumbre estándar de tipo A que se
aplican en ciertas clases de mediciones; por ejemplo, análisis de varianza, estudios de
reproducibilidad, regresión lineal (método de los mínimos cuadrados), entre otros.
Evaluación tipo B de la incertidumbre estándar.
Una evaluación tipo B de la incertidumbre estándar se realiza cuando no se dispone de
información sobre la posible variabilidad de la magnitud dada para hacer un análisis
estadístico. En tal caso, la incertidumbre estándar uB(xi) se evalúa mediante juicios y
criterios científicos, basados en toda la información disponible sobre la variabilidad de xi.
Las fuentes de información pueden ser:
- Certificados de calibración;
- Manuales de los instrumentos de medición;
- Normas o literatura;
- Valores de mediciones anteriores;
- Conocimiento sobre las características o el comportamiento del sistema de medición.

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Al evaluar las componentes individuales de incertidumbre en un proceso de medición se
consideran, al menos, las siguientes posibles fuentes:
- incertidumbre reportada en los certificados de calibración de los instrumentos patrones
y cualquier deriva o inestabilidad en sus valores o lecturas;
- los equipos de medición; por ejemplo, su resolución, histéresis e inestabilidad durante la
realización de las mediciones;
- el efecto de las condiciones ambientales;
- el método y procedimiento de medición;
- los equipos auxiliares, como las líneas de conexión, fuentes de alimentación, baños
termostáticos, etc., y cualquier deriva o inestabilidad en sus valores o lecturas;
- el observador.
La evaluación tipo B de la incertidumbre estándar es en esencia al igual que la evaluación
tipo A, una determinación de la desviación estándar; pero la evaluación tipo B no se basa
en un análisis estadístico, sino que en la mayoría de los casos se asume una función de
distribución a priori a partir de la cual se realiza la evaluación. En la práctica se nos pueden
presentar los siguientes casos:
- Si la estimación xi se toma de una especificación del fabricante, de un certificado de
calibración, manual u otra fuente, y su incertidumbre asignada se establece como un
múltiplo de una desviación estándar, la incertidumbre estándar uB(xi) es simplemente el
valor asignado dividido por el multiplicador (factor de cobertura);
- La incertidumbre asignada a xi no necesariamente está dada como un múltiplo de una
desviación estándar. En lugar de eso, puede encontrarse que la incertidumbre asignada
define un intervalo con un nivel de confianza de (90; 95 o 99) %. A menos que se
indique otra cosa, se asume que se usó una distribución normal (figura 4.2) y se
recupera la incertidumbre estándar dividiendo la incertidumbre asignada por el factor
apropiado. Los factores correspondientes a los tres niveles de confianza mencionados
son: 1,64; 1,96; y 2,58.

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Figura 4.2. Distribución normal
Los resultados de una medición repetida afectada por una o más magnitudes de
influencia que varían aleatoriamente, generalmente siguen en buena aproximación una
distribución normal.
- En otros casos puede que sea posible estimar sólo los límites (superior e inferior) para
xi, en particular para establecer que la probabilidad de que el valor de xi esté dentro del
intervalo de [a- ; a+] para todos los propósitos prácticos es igual a uno y la probabilidad
de que xi caiga fuera de ese intervalo es esencialmente cero. Si no existe un
conocimiento específico acerca de los posibles valores de xi dentro del intervalo, uno
puede únicamente suponer que es igualmente probable para xi tomar cualquier valor
dentro del intervalo (una distribución uniforme o rectangular de valores posibles como la
mostrada en la figura 4.3). Entonces la esperanza xi, o valor esperado de xi, es el punto
medio del intervalo,
2
)( aa
xi , con varianza asociada,
12
)(
)(
2
2 aa
xu iB (4.9)
Si la diferencia entre los límites a+ y a- se denota por 2a, entonces la incertidumbre
estándar tipo B de xi se evalúa como:
3
)(
a
xu iB (4.10)
f(x)
x

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Figura 4.3. Distribución rectangular
La fórmula (4.10) se utiliza generalmente cuando se analizan componentes individuales
de incertidumbre tales como:
- el error de un instrumento de medición el cual se supone que está comprendido
dentro de los límites del error máximo permisible ( EMP);
- la resolución (R) de un instrumento digital o la apreciación (A) de las lecturas con un
instrumento analógico;
- la histéresis (H) de las indicaciones de un instrumento de medición;
- el efecto de algunas magnitudes influyentes ( ).
En estos casos se sustituye a, en la fórmula (4.10) por EMP; R/2; A/2; H/2; ó según
corresponda.
La distribución rectangular es una descripción razonable, en términos de probabilidad,
de nuestro conocimiento incompleto sobre la posible variabilidad de la magnitud dada;
pero si se conoce además que los valores próximos al centro del intervalo son más
frecuentes que aquellos próximos a los límites, una distribución triangular (figura 4.4) o
normal (figura 4.2) puede utilizarse mejor para estimar la incertidumbre estándar tipo B;
cuyas desviaciones estándar se determinan por
6
a
ó
3
a
respectivamente.
a a
1/2a
a- a+
3
a
3
a

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Figura 4.4. Distribución triangular
No se deben contar dos veces las componentes de incertidumbre. Si una componente de
incertidumbre que resulta de un efecto en particular se obtiene a partir de una evaluación
tipo B, debe incluirse como una componente independiente de incertidumbre, únicamente
si su efecto no contribuye a la variabilidad apreciada en las observaciones, ya que dicha
componente puede haber sido evaluada a partir del análisis estadístico de las
observaciones.
Utilización de la información disponible sobre el instrumento de medición.
Por lo general en las mediciones una de las componentes de incertidumbre que más pesa
en la incertidumbre estándar combinada es la que aporta el propio instrumento de
medición. La información para cuantificar su valor debe buscarse en el certificado de
calibración, en las especificaciones técnicas dadas por el fabricante, etc.
Durante la ejecución de las mediciones se nos pueden presentar dos casos:
1. Se trabaja con la información que aporta el certificado de calibración del instrumento:
- Con el objetivo de aumentar la exactitud del resultado de la medición, se aplican
las correcciones que aparecen el certificado de calibración del instrumento, en el
caso más simple, según la ecuación 4.1 el modelo matemático se expresa como:
cyY
donde, y es la indicación del instrumento y c es el valor de la corrección para la
indicación, tomado del certificado de calibración. En dicho modelo matemático una
a- a+
6
a
6
a
1/a
a a

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de las fuentes de incertidumbre es la incertidumbre asociada a dicha corrección. La
incertidumbre estándar de la corrección se calcula como:
k
U
cu cal
B )(
- Se utiliza la información del certificado de calibración del instrumento pero no se
aplican las correcciones a cada lectura individual ya que esto resulta engorroso
para el observador. Entonces puede tomarse en calidad de Ucal para cada valor de
la indicación del instrumento, el valor de la incertidumbre de calibración reportada en
cada punto más el valor de la corrección (Ucal+c ). Si se desea utilizar un valor único
que represente la incertidumbre de calibración de cualquier lectura que se tome con
el instrumento, entonces para ello se puede utilizar el valor máximo de Ucal
reportado en el certificado de calibración y el valor máximo de las correcciones. De
tal manera, para este caso se tomaría en calidad de Ucal la suma de
(Ucal(máx) + c (máx)).
2. No se utiliza la información que aparece reportada en el certificado de calibración y sólo
se establece que el instrumento se encuentra calibrado. En este caso según la
ecuación 4.1 el modelo matemático se expresa como:
yY
donde, y es la indicación del instrumento. En dicho modelo matemático una de las
fuentes de incertidumbre es la asociada al error máximo permisible del instrumento.
Dicha componente se evalúa asumiendo una función de distribución rectangular
(ecuación 4.10).
Como el objetivo de esta aclaración es explicar el uso de la información que aparece reportada en el certificado de calibración,
el análisis del modelo matemático se ha simplificado. En la práctica, tanto en el caso 1 como en el 2, en el modelo matemático
deben considerarse todas las restantes fuentes de incertidumbre según el proceso de medición analizado.
Evaluación de la incertidumbre estándar para la regresión lineal.
En análisis químico, un método analítico está calibrado frecuentemente por las
observaciones de las respuestas, y (por ejemplo absorbancia), para diferentes niveles
conocidos del analito, x (por ejemplo concentración). La relación puede tomarse como
lineal, obteniéndose la ecuación de la calibración a través de una regresión lineal (por el
método de los mínimos cuadrados).
De esta forma, mediante una respuesta observada (yobs = absorbancia) puede conocerse
el valor estimado de xpred (una concentración desconocida que provocó la respuesta yobs),
utilizando la relación establecida entre x e y.

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Hay cuatro fuentes de incertidumbre principales a considerar en originar una incertidumbre
en la concentración estimada xpred:
a) Las variaciones aleatorias en la medición de y afectan las respuestas yi y la respuesta
medida yobs;
b) Los efectos aleatorios resultan en errores en los valores de referencia asignados xi;
c) Los valores de xi e yi pueden estar sujetos a un corrimiento (offset) constante
desconocido, por ejemplo originado cuando los valores de xi son obtenidos de la
dilusión seriada de una solución stock;
d) La suposición de linealidad puede no ser válida.
De todas ellas, la más significativa para la práctica normal son las variaciones aleatorias en
y. A continuación se establece una expresión para estimar la incertidumbre por esta fuente:
xx
cy
cpred
sm
yy
nLm
s
sxu 2
2
)(11
)( (4.11)
Los valores de referencia xi pueden cada uno de ellos tener incertidumbres las cuales se
propagan a través del resultado final. En la practica, las incertidumbres en estos valores
son usualmente pequeñas comparadas con las incertidumbres en la respuesta del sistema
yi, y pueden ser ignoradas. Un estimado aproximado de la incertidumbre u(xpred) en un valor
predicho xpred debido a la incertidumbre en un valor de referencia particular xi es:
n
xu
xu i
pred
)(
)( (4.12)
donde n es el número de valores xi utilizados en la calibración. Esta expresión puede ser
utilizada para comprobar la significación de la incertidumbre de los valores de referencia.
La incertidumbre que se origina de la suposición de una relación lineal entre x e y no es
normalmente lo suficientemente grande como para requerir un estimado adicional. Si los
residuos muestran que no hay una desviación sistemática significativa de esta relación
asumida, la incertidumbre que se origina de esta suposición (en adición a la cubierta por el
incremento resultante en la varianza de y) puede ser tomada como despreciable. Si los
residuos muestran una tendencia sistemática entonces puede ser necesario incluir
términos de orden superior en la función de calibración. Los métodos de cálculo de la
varianza de x en estos casos están abordados en libros afines con esta materia. Además,
es posible hacer un juicio basado en el tamaño de la tendencia sistemática.
La incertidumbre total que se origina del cálculo de una calibración lineal puede entonces
ser calculada por la combinación de todos los factores evaluados en la forma normal.

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Teoría y Práctica
Capítulo 5
Incertidumbre del Resultado
de la Medición

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