Laboratorio virtual

1. UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
ESPE SEDE LATACUNGA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
GUÍA DE PRÁCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL
CARRERA
CÓDIGO DE LA
ASIGNATURA
NOMBRE DE LA ASIGNATURA
AUTOMOTRIZ EXCT- L0009
CINEMATICA
NRC: 4132
PRÁCTICA
N°
LABORATORIO DE: LABORATORIO DE FÍSICA
DURACIÓN
(HORAS)
1 TEMA:
OPERACIONES VECTORIALES EN
3D
2
1 OBJETIVO
Objetivo General:
• Analizar las variables físicas que intervienen en operaciones vectoriales en 3D mediante la
simulación en el software GeoGebra.
Objetivos Específicos:
• Identificar los pasos para realizar la simulación de las operaciones vectoriales en 3D
• Realizar la simulación de las operaciones vectoriales en 3D en el programa GeoGebra.
• Construir las gráficas de las operaciones vectoriales en 3D.
2
INSTRUCCIONES:

2. A. EQUIPO Y MATERIALES NECESARIOS
Tabla 1. Equipos y materiales de la práctica 1
Material Características Cantidad Código
a
Computador
EQUIPO ELECTRONICO LAPTOP
HP INTEL(R) CORE(TM) i7-
1065G7 CPU@ 1.30GHz 1.50GHz
1 000
b SOFTWARE GEOGEBRA 1 000
Gráfico1. Esquema de la simulación de las operaciones en 3D
Hoyos B, 2020
B. TRABAJO PREPARATORIO:
B.1 PRESENTACIÓN DEL SOFTWARE
B.1.1 GEOGEBRA.
GeoGebra es un software de matemáticas para todo nivel educativo. Reúne dinámicamente
geometría, álgebra, estadística y cálculo en registros gráficos, de análisis y de organización en hojas
de cálculo. GeoGebra, con su libre agilidad de uso, congrega a una comunidad vital y en
crecimiento. En todo el mundo, millones de entusiastas lo adoptan y comparten diseños y
aplicaciones de GeoGebra. Dinamiza el estudio. Armonizando lo experimental y lo conceptual para
experimentar una organización didáctica y disciplinar que cruza matemática, ciencias, ingeniería y
tecnología (STEM: Science Technology Engineering & Mathematics). La comunidad que congrega

3. lo extiende como recurso mundial, ¡potente e innovador para la cuestión clave y clásica de la
enseñanza y el aprendizaje.
Datos interesantes:
GeoGebra reúne gráfica y dinámicamente álgebra y geometría, análisis y hojas de cálculo.
Potentes herramientas en armonía con una interfaz intuitiva y ágil
Herramienta de autoría para crear recursos de aprendizaje interactivos como páginas web
¡Políglota! Porque está disponible en cada idioma requerido por los millones de usuarios del mundo.
Software de código abierto libre y disponible para usos no comerciales. (GEOGEBRA, 2021).
Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de
matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra, estadística y cálculo, por lo que
puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y
otras disciplinas.
Su categoría más cercana es software de geometría dinámica.
GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo, así como la
representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus
derivadas, integrales, etc.
El programa GeoGebra fue ideado por Markus Hohenwarter en el marco de su trabajo de tesis de
Master, presentada en el año 2002 en la Universidad de Salzburgo, Austria.7 Se esperaba lograr un
programa que reuniera las virtudes de los programas de geometría dinámica, con las de los sistemas
de cálculo simbólico. El creador de GeoGebra valoraba todos estos recursos para la enseñanza de la
matemática, pero notaba que, para el común de los docentes, los programas de cálculo simbólico
resultaban difíciles de aprender, dada la rigidez de su sintaxis, y que por esta razón evitaban su uso.
Por otro lado, observaba que los docentes valoraban de mejor manera los programas de geometría
dinámica, ya que su interfaz facilitaba su utilización. Así fue cómo surgió la idea de crear GeoGebra.
(Wikipedia, 2020).
Facilidad para crear una página web dinámica a partir de la construcción creada con GeoGebra, sin
más que seleccionar la opción correspondiente en los menús que ofrece.
Permite abordar la geometría y otros aspectos de las matemáticas, a través de la experimentación y
la manipulación de distintos elementos, facilitando la realización de construcciones para deducir
resultados y propiedades a partir de la observación directa.
Es gratuito y de código abierto (GNU GPL).
Está disponible en español, incluido el manual de ayuda.
Presenta foros en varios idiomas, el castellano entre ellos.
Ofrece una wiki en donde compartir las propias realizaciones con los demás.
Usa la multiplataforma de Java, lo que garantiza su portabilidad a sistemas de Windows, Linux,
Solaris o MacOS X. (Gonzales, s.f.)

4. Gráfico N° 2 Pantalla de simulación de GeoGebra
Hoyos B, 2021
B.2. LICENCIA DEL PROGRAMA DE INSTALACIÓN.
Hoyos B, 2021

5. B.3 OPERACIONES VECTORIALES EN 3D
B.3.1 ¿OPERACIONES VECTORIALES EN 3D?
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y
su extremo en el otro.
superprof 2020
Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del
vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑋2 − 𝑋1, 𝑌2− 𝑌1, 𝑍2− 𝑍1)
Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes.
𝑈⃗⃗ = (𝑈1, 𝑈2, 𝑈3)
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

6. Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma
dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.
𝑢⃗ 𝑣⃗ =
𝑣
| 𝑣⃑|
Operaciones de vectores en el espacio
Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Propiedades de la suma de vectores:
Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
Conmutativa
+ = +
Elemento neutro
+ =
Elemento opuesto
+ (− ) =
Producto de un número real por un vector
El producto de un número real k € ℛ por un vector 𝑈⃗⃗ es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector si k es positivo.
De sentido contrario del vector si k es negativo.
De módulo

7. Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.
(Diccionario de Matemáticas | Superprof, s.f.)
3 ACTIVIDADES A DESARROLLAR
ENSAYO 1 (GEOGEBRA)
Ensayo 1
𝑎⃗ = 500 𝑖𝑛; 𝑁 60°𝑂; 70°
𝑏⃗ = |𝑏⃗ | = 10 𝑚; 𝜃 = 50°;𝜙 = 40°
𝑐⃗ = 𝑟 = 40 𝑝𝑖𝑒 ; 𝜃 = 220° ; 𝑍𝑘 = 12 𝑚
𝑑⃗ = 400𝑖𝑛 ; 𝛼 = 160°; 𝛽 = 40° ; 𝛾 = 135°
𝑒 = 22𝑚; 𝛼 =?; 𝛽 = 130°; 𝛾 = 50°
Resuelva la siguiente operación geométrica, matemáticamente y físicamente indique que representa
su resultado. (𝑎⃗ + 𝑏⃗ )⨂(𝑐⃗ − 𝑑⃗ )⨀ 2𝑒
Ensayo 1 GEOGEBRA
1.- Como punto de inicio instalamos el programa Geómetra.
2.-Nos dirigimos al programa.
Hoyos B, 2020

8. 3.- Ya estando en el programa, activamos las vistas en 3D para ellos nos dirigimos a la opción vista y
activar.
Hoyos B, 2020
4.- Se coloca los puntos de los vectores:
Hoyos B, 2020

9. 5.Alejamos la vista y colocamos un círculo este deberá estar bien unido al rectángulo, ya que sirve
como un plano para la partícula, que servirá como particular para darle movimiento, por lo general
debemos situarla en el punto (0,0) dándole clic al círculo, donde se nos abrirá una ventana que nos
indica en qué posición queremos situarla:
Hoyos B, 2020

10. 4 RESULTADOS OBTENIDOS
4. EJERCICIOS DE OPERACIONES DE VECTORES EN 3D.
4.1 Ejercicios Resuelto:
4.1.1.ENSAYO 1
𝑎⃗ = 500 𝑖𝑛; 𝑁 60°𝑂; 70°
𝑏⃗ = |𝑏⃗ | = 10 𝑚; 𝜃 = 50°;𝜙 = 40°
𝑐⃗ = 𝑟 = 40 𝑝𝑖𝑒 ; 𝜃 = 220° ; 𝑍𝑘 = 12 𝑚
𝑑⃗ = 400𝑖𝑛 ; 𝛼 = 160°; 𝛽 = 40° ; 𝛾 = 135°
𝑒 = 22𝑚; 𝛼 =?? ; 𝛽 = 130° ; 𝛾 = 50°
Resuelva la siguiente operación geométrica, matemáticamente y físicamente indique que representa su
resultado. (𝑎⃗ + 𝑏⃗ )⨂(𝑐⃗ − 𝑑⃗ )⨀ 2𝑒
Datos ejercicio 1:
Tabla 2. Datos Ejercicio 1
Parámetro físico Dimensión Símbolo Valor Unidades
VECTOR a L 𝑎⃗ 500 𝑖𝑛; 𝑁 60°𝑂; 70° in
VECTOR b L 𝑏⃗ |𝑏⃗ | = 10 𝑚; 𝜃 = 50°;𝜙 = 40° 𝑚
VECTOR c L 𝑐⃗ 𝑟 = 40 𝑝𝑖𝑒 ; 𝜃 = 220° ; 𝑍𝑘 = 12 𝑚 pie
VECTOR d L 𝑑⃗ 400𝑖𝑛 ; 𝛼 = 160°; 𝛽 = 40° ; 𝛾 = 135° in
VECTOR e L 𝑒 22𝑚; 𝛼 =?? ; 𝛽 = 130° ; 𝛾 = 50° 𝑚
CALCULOS:
Dados los vectores
𝑎⃗ = 500 𝑖𝑛; 𝑁 60°𝑂; 70°
𝑎⃗ = 12,7m; 𝑁 60°𝑂; 70°
Sen70°=
𝑧𝑘
|𝑎⃗ |
Sen70°=
𝑧𝑘
12,7
𝒛𝒌 = 11.9340m
Cos70°=
𝑟
|𝑎⃗ |
Cos70°=
𝑟
12,7
𝒓 =4.3436m
Cos60°=
−𝑦𝑗
𝑟

11. Cos60°=
−𝑦𝑗
4,3436
yj=2.1718m
Sen60°=
−𝑥𝑖
𝑟
Sen60°=
−𝑥𝑖
4.3436
xi= -3.7618m
𝑎⃗ = (-3.7618 i ; -2.1718 j ; 11.9340 k)m
𝑏⃗ = |𝑏⃗ | = 10 𝑚; 𝜃 = 50°; 𝜙 = 40° g
𝑏⃗ = |𝑏⃗ | = 10 𝑚; 𝜃 = 50°; 𝜙 = 40°
Sen50°=
𝑧𝑘
|𝑏⃗ |
Sen50°=
𝑧𝑘
10
𝒛𝒌 = 7.6604m
Cos50°=
𝑟
|𝑏⃗ |
Cos50°=
𝑟
10
𝒓 =6.4278m
Sen50°=
−𝑦𝑗
𝑟
Sen50°=
−𝑦𝑗
6.4278
𝒚𝒋 = −𝟒. 𝟗𝟐𝟑𝟗𝒎
Cos50°=
𝑥𝑖
𝑟
Cos50°=
−𝑥𝑖
6.4278𝑚
xi= 𝟒. 𝟏𝟑𝟏𝟕𝒎
𝒃⃗⃗ = ( 𝟒. 𝟏𝟑𝟏𝟕𝒊; −𝟒. 𝟗𝟐𝟑𝟗𝒋; 𝟕. 𝟔𝟔𝟎𝟒𝒌) 𝒎

12. 𝑐⃗ = 𝑟 = 40 𝑝𝑖𝑒; 𝜃 = 220°; 𝑍𝑘 = 12 𝑚
sin 40 =
𝑦𝑗
𝑟
sin 40 =
𝑦𝑗
12.192𝑚
𝒚𝒋 = 𝟕. 𝟖𝟑𝟔𝟗𝒎
cos 40 =
−𝑥𝑖
12.192𝑚
𝒙𝒊 = −𝟗. 𝟑𝟑𝟗𝟔𝒎
𝒄⃗ = (−𝟗. 𝟑𝟑𝟗𝟔𝒊; 𝟕. 𝟖𝟑𝟔𝟗𝒋; 𝟏𝟐𝒌) 𝒎
𝑑⃗ = 400𝑖𝑛; 𝛼 = 160°; 𝛽 = 40°; 𝛾 = 135°
400 in= 10.16 m
𝑐⃗𝑜𝑠𝛼 = cos(160º) = −0.9396
𝑐⃗𝑜𝑠𝛽 = cos(40º) = 0.7660
𝑐⃗𝑜𝑠ϒ = cos(135º) = −0.7071
𝑈 𝑢
⃗⃗⃗⃗ =
𝑥𝑖⃗⃗⃗
𝑑⃗
+
𝑦𝑗⃗⃗⃗
𝑑⃗
+
𝑧𝑘⃗⃗⃗⃗
𝑑⃗
𝑥𝑖⃗⃗⃗ = 10.16(-0.9396) =-9.54.63
𝑦𝑗⃗⃗⃗ = 10.16(0.7660) =7.7825
𝑧𝑘⃗⃗⃗⃗ = 10.16(-0.7071) =-7.1841
𝒅⃗⃗ = (−𝟗. 𝟓𝟒𝟔𝟑𝒊; 𝟕. 𝟕𝟖𝟐𝟓𝑱; −𝟕. 𝟏𝟖𝟒𝟏𝒌 ) 𝒎

13. 𝑒 = 22𝑚; 𝛼 =??; 𝛽 = 130°; 𝛾 = 50°
𝑐⃗𝑜𝑠𝛼 = cos( 𝛼) =? ?
𝑐⃗𝑜𝑠𝛽 = cos(130º) = −0.6427
𝑐⃗𝑜𝑠ϒ = cos(50º) = 0.6427
𝑒 = √ 𝑥𝑖2⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑗2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑘2⃗⃗⃗⃗⃗⃗
22 = √ 𝑥𝑖2⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦𝑗2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑧𝑘2⃗⃗⃗⃗⃗⃗
22 = 𝑥2
+ (14.132
+ 14.132
)
𝑥2
= 22 − (14.132
+ 14.132
)
𝑥 = √84.68
𝑥 = 9.20
𝑈 𝑢
⃗⃗⃗⃗ =
𝑥𝑖⃗⃗⃗
𝑑⃗
=
9.20
22
= 0.4181
𝑐⃗𝑜𝑠−1
(𝛼) = 𝑐⃗𝑜𝑠−1(0.4181) = 65.2853º
𝒆⃗ = ( 𝟗. 𝟐𝟎𝒊; −𝟏𝟒. 𝟏𝟑𝟗𝑱; 𝟏𝟒. 𝟏𝟑𝟗𝒌 )
Resuelva la siguiente operación geométrica, matemáticamente y físicamente indique que representa su
resultado. (𝑎⃗ + 𝑏⃗ )⨂(𝑐⃗ − 𝑑⃗ )⨀ 2𝑒
𝑎⃗ = (−3.4618𝑖; −2.1718𝑗; 11.9340𝑘) 𝑚
+ 𝑏⃗⃗ = (4.1317𝑖; −4.9239𝑗; 7.6604𝑘) 𝑚
𝑹𝟏⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎. 𝟑𝟕𝟎𝟏𝒊; −𝟕. 𝟎𝟗𝟓𝟕𝒋; 𝟏𝟗. 𝟓𝟗𝟒𝟒𝒌
𝑐⃗ = (−9.3396𝑖; 7.8369𝑗; 12𝑘) 𝑚
−𝑑⃗ = (−9.5473𝑖; 7.7826𝑗; −7.1841𝑘) 𝑚
𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟎. 𝟐𝟎𝟕𝟕𝒊; 𝟎. 𝟎𝟓𝟒𝟑𝒋; 𝟏𝟗. 𝟏𝟖𝟒𝟏𝒌

14. 𝐑𝟑⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝟐𝐞⃗ = 𝟏𝟖. 𝟑𝟑𝟓𝟒𝐢; −𝟐𝟖. 𝟐𝟕𝟖𝟖𝐣; 𝟐𝟖. 𝟐𝟕𝟖𝟖𝐤
(𝑅1⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⊗ (𝑅2⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⊙ 𝑅3⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅1⃗⃗⃗⃗⃗ = 0.3701𝑖; −7.0957𝑗; 19.5944𝑘
𝑅2⃗⃗⃗⃗⃗ = 0.2077𝑖; 0.0543𝑗; 19.1841𝑘
(𝑅1⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⊗ (𝑅2⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑖 𝑗 𝑘
0.3701 −7.0957 19.5944
0.2077 0.0543 19.1841
𝑖 𝑗 𝑘
0.3701 −7.0957 19.5944
(𝑅1⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⊗ (𝑅2⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑖 𝑗 𝑘
−136.1246 4.0698 0.0201
−1.0639 −7.1000 1.4738
(𝑹𝟏⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⊗ (𝑹𝟐⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑹𝑻⃗⃗⃗⃗⃗ = (−𝟏𝟑𝟕. 𝟏𝟖𝟖𝟓𝒊; −𝟑. 𝟎𝟑𝟎𝟐𝒋; 𝟏. 𝟒𝟗𝟑𝟗𝒌) 𝒎 𝟐
(𝑅1⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⊗ (𝑅2⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⊙ 𝑅3⃗⃗⃗⃗⃗
𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ ⊙ 𝑅3⃗⃗⃗⃗⃗ =
= (−137.1885𝑖; −3.0302𝑗; 1.4939𝑘) ⊙ (18.3354𝑖; −28.2788𝑗; 28.2788𝑘)
𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗ ⊙ 𝑅3⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝑠𝑐⃗𝑎⃗𝑙𝑎⃗𝑟 = −2515.4060 + 85.6904 + 42.2457

15. 𝑹𝑻⃗⃗⃗⃗⃗ ⊙ 𝑹𝟑⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 = −𝟐𝟑𝟖𝟕. 𝟒𝟔𝟗𝟗𝒎 𝟑
Simulacion Ensayo 1 Operaciones en 3D
Hoyos B, 2020
Variables físicas calculadas ejercicio 1
Parámetros físicos Dimensión Símbolo Valor Unidades
(𝑎⃗ + 𝑏⃗ )⨂(𝑐⃗ − 𝑑⃗ )⨀ 2𝑒 𝐿3 V −2387.4699 m3

16. PREGUNTAS:
1.-Si multiplicamos dos vectores, el resultado es:
a) Un escalar
b) Un vector
c) Un vector o un escalar
2.- Si al multiplicar dos vectores escalarmente, el resultado es cero, podemos asegurar
que:
a) Son perpendiculares
b) Uno de ellos necesariamente es cero
c) Ninguna de las anteriores
3.- Si multiplicamos un vector por un número negativo el resultado es:
a) Un número negativo
b) Un vector de la misma dirección y de sentido contrario.
c) Un vector negativo
4º) Si sumamos dos vectores uno de módulo 3 y otro de módulo 2 el resultado:
a) Es un vector de módulo 5
b) Es un escalar de módulo 5
c) Es un vector, pero es necesario conocer sus direcciones para poder sumarlos
5°) Si multiplicamos un vector por un número negativo el resultado es:
a) Un número negativo
b) Un vector de la misma dirección y de sentido contrario.
c) Un vector negativo

17. 5 CONCLUSIONES
6°) Una magnitud vectorial es:
a) La masa
b) La velocidad
c) Ninguna
7°) El producto vectorial de dos vectores en paralelo es:
a) Diferente de cero
b) Cero
8°) Todo aquello que se puede medir se llama
a) Magnitud
b) Dirección
c) Sentido
9°) El módulo del vector unitarios es igual a:
a) uno
b) dos
c) tres
10°) El producto vectorial es máximo cuando los vectores son:
a) Paralelos
b) Perpendiculares

18. -Concluí que el programa GeoGebra aporta significativamente para la realización de vectores en
3D ya que facilita el proceso.
-Los vectores se caracterizan por su valor numérico o modulo, dirección y sentido.
-Si los vectores están en un mismo plano y su línea de acción coincide, puede utilizarse los métodos
gráficos del paralelogramo o del triángulo para su suma o resta.
6 RECOMENDACIONES
-Se recomienda tener muy en cuenta para donde se dirigen los vectores ya que podrían tener diferentes
polos ya sea positivo o negativo.
- Tener en cuenta cada magnitud y valor numérico.
-Verificar que el módulo que se vaya a trabajar tenga el mismo sistema de medida.
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DE LA WEB
Wikipedia. (20 de Julio de 2020). Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/GeoGebra
Diccionario de Matemáticas | Superprof. (s.f.). Obtenido de
https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/analitica/vector-3d.html
GEOGEBRA. (02 de 01 de 2021). Obtenido de GEOGEBRA:
https://www.geogebra.org/about?lang=es#:~:text=GeoGebra%20es%20un%20softwar
e%20de,organizaci%C3%B3n%20en%20hojas%20de%20c%C3%A1lculo.
Gonzales, M. (s.f.). sites.google. Obtenido de
https://sites.google.com/site/geogebra1112/caracteristicas-de-geogebra

19. Wikipedia. (20 de Julio de 2020). Obtenido de https://es.wikipedia.org/wiki/GeoGebra
7Graus. (2013). Significados. Obtenido de
https://www.significados.com/vector/#:~:text=En%20f%C3%ADsica%2C%20se%20llam
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carjimenez. (3 de Mayo de 2009). Scribd. Obtenido de
https://es.scribd.com/doc/14860959/Vectores-en-3d
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http://scielo.sld.cu/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1990-86442019000500102
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Espeso, P. (22 de Abril de 2016). educaciontrespuntocero. Obtenido de
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Gonzalez, E. (s.f.). Sities.google. Obtenido de https://sites.google.com/site/fisicacbtis162/in-
the-news/propiedades-de-los-vectores
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Julian, C. (2018). fisimat. Obtenido de https://www.fisimat.com.mx/propiedades-de-los-
vectores/
Racero, O. (s.f.). monografias.com. Obtenido de
https://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml
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sites.google. (s.f.). Obtenido de
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https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)
Wikipedia. (18 de Diciembre de 2020). Obtenido de
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares

20. Latacunga, 05 de Enero de 2021
Elaborado por: Bryan Hoyos
DOCENTE:Ing Diego Proaño
Aprobado por: Ing Diego Proaño
JEFE DE LABORATORIO: