El documento presenta instrucciones para realizar una práctica de laboratorio virtual sobre la transformación de coordenadas 3D. Explica cómo construir una maqueta física y simularla en GeoGebra para representar este tema. También define los diferentes sistemas de coordenadas tridimensionales y resuelve un ejercicio como ejemplo aplicando las transformaciones entre coordenadas cartesianas y geográficas.

1. 1
ÁREA DE FÍSICA
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
ESPE SEDE LATACUNGA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
GUÍA DE PRÁCTICA DE LABORATORIO VIRTUAL
CARRERA
CÓDIGO DE LA
ASIGNATURA
NOMBRE DE LA ASIGNATURA
AUTOMOTRIZ L0009
Cinematica
NRC:_____4132______
PRÁCTICA
N°
LABORATORIO DE: LABORATORIO DE FÍSICA
DURACIÓN
(HORAS)
2 TEMA:
TRANSFORMACION DE
COORDENADAS 3D
2
1 OBJETIVO
Objetivo General:
 Elaborar una maqueta con la ayuda de materiales que podemos encontrar en casa para
representar la transformación de coordenadas 3D
Objetivos Específicos:
 Identificar los pasos para realizar la maqueta de un plano tridimensional
 Realizar la simulación de la maqueta en el programa GeoGebra
 Construir las graficas correspondientes que nos servirá para la transformación de coordenadas
2 INSTRUCCIONES:

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ÁREA DE FÍSICA
PRÉSTAMO DE MATERIALES Y EQUIPAMIENTO
A. .
A. EQUIPO Y MATERIALES NECESARIOS
Tabla 1. Equipos y materiales de la práctica 2
Material Características Cantidad Código
A
Computador
EQUIPO
ELECTRONICO/CPU/CPU INTEL
CORE 7 1.00GHZ-1.19 GHZ RAM
8 GB. HD 1 TB INCLUYE
MONITOR+ TECLADO+MOUSE.
1 6805
B Software GeoGebra 1 000
C Escuadra Escuadra de 27 cm 1
D Lápiz Lápiz Hb 1
E Marcador Marcador negro permanente 1
F Chaveta Chaveta mediana 1
G Pelota de espuma
flex
De 5 cm de radio 1
H Metro Con una medida hasta 4 m 1
I Regla T Regla de T de 45 cm 1
J Palillos de pincho Palillos de distintos tamaños 8
K Plancha de espuma
flex
Con una medida de 50 x 50 cm 1
Gráfico1. Esquema de la simulación de las Operaciones vectoriales en 3D
Cordova D, 2021

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ÁREA DE FÍSICA
B. TRABAJO PREPARATORIO:
B.1 PRESENTACIÓN DEL SOFTWARE
B.1.1 GeoGebra
Es un software de matemáticas para todo nivel educativo. Reúne dinámicamente geometría, álgebra,
estadística y cálculo en registros gráficos, de análisis y de organización en hojas de cálculo [1].
En este sentido, el software GeoGebra, se presenta como un candidato de extraordinario valor en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática, ya que no solo permite resolver de manera rápida
y segura los más variados y diversos problemas que se presentan en el aprendizaje de esta asignatura,
sino también, porque es una herramienta que permite estimular y desarrollar la creatividad de los
alumnos [2].
Su creador Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001, como parte de su tesis, en la
Universidad de Salzburgo [3].
Gráfico N° 2 Logo de GeoGebra [4].
GeoGebra, 2001
Formato de trabajar con GeoGebra
GeoGebra permite abordar la geometría desde una forma dinámica e interactiva que ayuda a los estudiantes a
visualizar contenidos matemáticos que son más complicados de afrontar desde un dibujo estático [5].
GeoGebra representa distinto tipos de vista con su respectiva representación como son: gráfica: puntos o
funciones, algebraica: coordenadas de puntos y ecuaciones,hoja de cálculo: celdas [6].
Gráfico N° 3 Logo de GeoGebra [7].
UTN.BA, 2018

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ÁREA DE FÍSICA
Estas dos perspectivas caracterizan a GeoGebra: una expresión en la ventana algebraica se
corresponde con un objeto en la ventana geométrica y viceversa [8].
Instrucciones de instalación:
1- Instalar el programa GeoGebra
2- Ejecutar el programa
3- Aceptar los términos y condiciones e instalar los complementos
4- Al finalizar la instalación, abra el programa GeoGebra [9].
Licencia
El caso de GeoGebra licenciamiento dual dado que casi todo su código es distribuido con licencia
GPL, haciéndolo software libre, mientras que los instaladores distribuidos en el sitio de GeoGebra no
permiten su uso para fines comerciales y por lo tanto son copias de software no libre [10].
Gráfico N° 3 Licencia de GeoGebra [11].
Eskola 2.0, 2013
B.2 VECTORES EN 3D
B.2.1 TRANSFORMACION DE COORDENADAS 3D
Siempre que se expresa analíticamente, un punto, un vector, la ecuación de una curva o de una
superficie, o simplemente alguna expresión o ecuación cualquiera, cada variable representa una
coordenada, de tal forma que el conjunto de variables estará en algún sistema de coordenadas. [11]
Ahora bien, como sabemos cuáles son los diferentes tipos de coordenadas en 3D, se procederá a
realizar una definición de cada una, para que más adelante podamos resolver un ejercicio
relacionado al tema.

5. 5
ÁREA DE FÍSICA
Coordenadas cartesianas
En este sistema de coordenadas, a un punto en el espacio se le asocia con una tercia de números
(a,b,c), y a los números a, b, c se les denomina " las coordenadas cartesianas " del punto P. Este
punto se localiza en la intersección de los planos x = a, y = b, z = c. [12]
Figura 1. Coordenadas cartesianas
Coordenadas angulares
En este sistema se necesitan el módulo del vector, el ángulo alfa, el ángulo beta y el ángulo gama.
Podemos decir que el ángulo alfa es el que parte desde el eje de las x positivas hacia el vector, el
ángulo beta parte desde el eje de las y positivas hacia el vector y el ángulo gama parte desde el eje
de las z positivas hacia el vector. [13]
Figura 2. Coordenadas angulares
Coordenadas geográficas
En este sistema se necesitan el módulo del vector, el ángulo teta y el ángulo si. Primero debemos
encontrar el módulo del vector, el ángulo teta y el ángulo si, se los encuentra cuando graficamos los
triángulos, el primer triangulo nos indica el ángulo teta el cual nace desde el eje de las x hacia la
proyección xy y el segundo triangulo nos indica el ángulo si, este nace desde la proyección xy hacia
el módulo del vector. [14]

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ÁREA DE FÍSICA
Coordenadas cilíndricas
Este sistema define un punto en el espacio 3d con 3 valores reales: radio o proyección xy, ángulo
teta 1 y la componente zk. Podemos decir de que el ángulo teta 1 se lo obtiene mediante la suma del
ángulo teta y el ángulo que parte desde el eje de las x positivas hacia el radio. [15]
Figura 3. Coordenadas angulares
Coordenadas esféricas
En el sistema de coordenadas esféricas un punto P del espacio se representa por un trío ordenado (r,
q, f) donde:
r es la distancia orientada desde O hasta P.
q es el mismo ángulo que el usado en coordenadas cilíndricas
f es el ángulo entre el eje z y el segmento O- r. [16]
Figura 4. Coordenadas angulares

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ÁREA DE FÍSICA
3 ACTIVIDADES A DESARROLLAR
ENSAYO 2 (GEOGEBRA)
Ensayo 1
Enunciado:
Dado el vector 𝑣⃗ en coordenadas cartesianas
𝑣⃗ = (4𝑖,5𝑗, 7𝑘)𝑢
Conector:
Encuentre el vector 𝑣⃗ en coordenadas geográficas
Ensayo 1 (Maqueta)
1.- Como punto de inicio dividimos la plancha de espuma flex en cuatro partes iguales
2.- Seguidamente procederemos a trazar líneas a lo largo y ancho de las espumas flex, solo
utilizaremos tres, cada cuadrado tiene una medida de 3x3 cm
3.- Una plancha de espuma flex nos servirá para como base mientras que las otras dos las uniremos
perpendicularmente a esta con la ayuda de pinchos

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ÁREA DE FÍSICA
4.- Se procedió a armar la maqueta para ello necesitamos palos de pinchos que se nos permitirá formar
el vector. Para la unión de los pinchos se utilizó una bola de espuma Flex y la utilización de un metro
para que queden igual por igual. Este es nuestro resultado
Ensayo 2 (GeoGebra)
1.- Como punto de inicio instalamos el programa llamado GeoGebra
2.- Seguidamente nos dirigimos hacia el programa.
3.- Dejamos abierto por un momento el GeoGebra hasta graficar nuestro primer vector 𝑎⃗ y para ellos
utilizaremos la aplicación Paint.
4. Graficamosnuestrovectory seguidamentetambiéngráficosnuestroprismael cual nospermitirá
descubrirlostriángulosrectángulosfundamentalesparaencontrarel ángulotetay el ángulosi (omega)

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ÁREA DE FÍSICA
5.- Seguidamente se procederá primero a encontrar el modulo del vector esto es necesario para
encontrar al angulo si (omega)
6.- Seguidamente se procederá a encontrar nuestro primer triangulo que nos ayudara a encontrar el
ángulo teta para conocer cual es el rumbo del vector
7.- Luego procederemos a encontrar el ángulo teta utilizando la función trigonométrica tangente

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ÁREA DE FÍSICA
8.- Se procederá a encontrar el otro triangulo rectángulo el cual nos permitirá encontrar el ángulo si
(omega)
9.- Habiendo encontrado el ultimo triangulo rectángulo procedemos a encontrar el ángulo si (omega)
utilizando la función trigonométrica seno

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ÁREA DE FÍSICA
10.- Habiendo encontrado el modulo y los ángulos (teta y si), podemos definir de que nuestro vector
de coordenadas cartesianas transformado a coordenadas geográficas es:
4 RESULTADOS OBTENIDOS
4. EJERCICIOS DE OPERACIONES VECTORIALES EN 3D
4.1 Ejercicios Resuelto:
4.1.1.ENSAYO 1
Enunciado:
Dado el vector 𝑣⃗ en coordenadas cartesianas
𝑣⃗ = (4𝑖,5𝑗, 7𝑘)𝑢
Conector:
Encuentre el vector 𝑣⃗ en coordenadas geográficas
Datos ejercicio 1:
Tabla 2. Datos Ejercicio 1
Parámetro físico Dimensión Símbolo Valor Unidades
VECTOR a L 𝑣⃗ (4𝑖,5𝑗,7𝑘) 𝑢
CÁLCULOS

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ÁREA DE FÍSICA
𝑣⃗ =? ? Coordenadas naturales o cartesianas
𝑣⃗ = (4𝑖,5𝑗, 7𝑘)𝑢
𝑣⃗ =? ? Coordenadas geográficas
𝑣⃗ = | 𝑣⃗|; 𝑅𝑢𝑚𝑏𝑜;𝛿
| 𝑣⃗| = √ 𝑥𝑖2 + 𝑦𝑗2 + 𝑧𝑘2
| 𝑣⃗| = √(4𝑖)2 + (5𝑗)2 + (7𝑘)2
| 𝑣⃗| = 9,4868𝑢

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ÁREA DE FÍSICA
𝑨𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐𝒔

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ÁREA DE FÍSICA
Rumbo
𝑣⃗ = (4𝑖, 5𝑗, 7𝑘)
ta n 𝜃 =
𝑦𝑗
𝑥𝑖
ta n 𝜃 =
5
4
𝜃 = 51,3401°
𝑅𝑢𝑚𝑏𝑜 = 𝑁 51,3401° 𝐸

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ÁREA DE FÍSICA

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ÁREA DE FÍSICA
Angulo de elevación y depresión
𝑆𝑒𝑛 𝛿 =
𝑧𝑘
| 𝑣⃗|
𝑆𝑒𝑛 𝛿 =
7
9,4868
𝛿 = 47,5507°
𝑣⃗ = | 𝑣⃗|; 𝑅𝑢𝑚𝑏𝑜;𝛿
𝑣⃗ = 9,4868 𝑢; 𝑁 51,3401° 𝐸;47,5507° 𝐸𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
Gráfico 8 Simulación Ensayo 1 TRANSFORMACION DE CORDENADAS EN 3D
Cordova Darwin, 2021

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ÁREA DE FÍSICA
Variables Físicas ejercicio 1:
Tabla 3. Variables física ejercicio 1
Parámetro físico Dimensión Símbolo Valor Unidades
Vector en
coordenadas
cartesianas
L 𝑣⃗1 (0,3701𝑖; −7,0957𝑗; 19,5944𝑘) 𝑚
Vector en
coordenadas
geograficas
L 𝑣⃗2 (0,2077𝑖; 0,0543𝑗; 19,1841𝑘) 𝑚
(𝑅1⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⨂(𝑅2⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 𝐿2
(𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗⃗) (−137,1885𝑖; −3,0302𝑗; 1.4939𝑘) 𝑚2
2𝑒⃗ L 𝑅3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (18,3354𝑖; −28,2788𝑗; 28,2788𝑘) 𝑚
(𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⨀(𝑅3⃗⃗⃗⃗⃗⃗) 𝐿3
𝑅𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2387,4699 𝑚3
PREGUNTAS:
1. Cuales son los elementos básicos de un vector
a) Modulo, Angulo, Distancia
b) Sentido, Altitud, Angulo
c) Modulo, Dirección, Sentido
d ) Otra es la respuesta
2. ¿Qué nos indica el sentido?
a) La altitud del vector
b) El ángulo del vector
c) La longitud del segmento
d) La orientación del segmento
3. ¿Qué nos indica el módulo?
a) La unidad del vector
b) La longitud del segmento
c) La suma de dos vectores
d) La ubicación del vector
4. ¿Qué nos indica la dirección?

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ÁREA DE FÍSICA
a) La altitud del vector
b) La longitud del vector
c) El ángulo del vector con respecto a y
d) La dirección de la recta que contiene al vector
5. Datos los siguientes puntos A(8,4,5) y punto final B(6,7,4), transforme a coordenadas
cartesianas
a) 𝑣⃗ = (4𝑖;5𝑗; 6𝑘) 𝑚
b) 𝑣⃗ = (−2𝑖; 3𝑗; −1𝑘) 𝑚
c) 𝑣⃗ = (−4𝑖; −5𝑗; 6𝑘)m
d) 𝑣⃗ = (−2𝑖; 10𝑗; −5𝑘) 𝑚
6. Dado el vector 𝒗⃗⃗⃗ = ( 𝟔𝒊; 𝟓𝒋; 𝟕𝒌), transforme a coordenadas cilíndricas
a) 𝑣⃗ = 7,8102𝑢; 39,8056°;7𝑘
b) 𝑣⃗ = 8,9442𝑢; 206,5651°;11𝑘
c) 𝑣⃗ = 7𝑢;38°;11𝑘
d) 𝑣⃗ = 9𝑢;39,8056°;11𝑘
7. Dado el vector 𝒗⃗⃗⃗ = ( 𝟖𝒊; 𝟔𝒋; 𝟐𝒌), transforme a coordenadas esféricas
a) v⃗⃗ = 14,1774u;206,5651°; 39,1133°
b) 𝑣⃗ = 15𝑢;210°;37,435𝑜°
c) 𝑣⃗ = 10,1980𝑢; 36,8699°;78,6901°
c) 𝑣⃗ = 14,1774𝑢; 206,5651°;39,1133°
8. Transformar la coordenada cilíndrica 𝒗⃗⃗⃗ = 𝟖𝒖; 𝟒𝟐, 𝟓°;𝟖𝒌 a coordenadas cartesianas
a) 𝑣⃗ = (3,38𝑖;7,25𝑗;8𝑘)
b) 𝑣⃗ = (4𝑖; 14𝑗; 5𝑘)
c) 𝑣⃗ = (6𝑖;9𝑗; 5𝑘)
d) 𝑣⃗ = (−3,39𝑖; 7.25𝑗; 5𝑘)
9. En las coordenadas angulares que ángulos obtenemos
a) 𝛼, 𝛾, 𝛿
b) 𝛼, 𝛾, 𝜃

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ÁREA DE FÍSICA
c) 𝛼, 𝜃, 𝛾
d) 𝛼, 𝛽, 𝛾
10. Para transformar un vector a coordenadas geográficas que necesitamos
a) 𝑣⃗ = | 𝑣⃗|, 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝑅𝑢𝑚𝑏𝑜
b) 𝑣⃗ = | 𝑣⃗|, 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛, 𝜃1
c) 𝜃, 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛, 𝛼
d) 𝑣⃗ = | 𝑣⃗|, 𝑅𝑢𝑚𝑏𝑜, 𝛿
5 CONCLUSIONES
 Se procedió a realizar la maqueta con relación al tema de transformación de coordenadas en
3D
 Se procedió a encontrar las componentes (x,y,z) de los diferentes tipos de coordenadas en 3D
 Se utilizo Paint para representar de forma geométrica la coordenadas geografica y de esta
manera encontrar los triángulos para usar las funciones trigonométricas
 Se procedió a usar las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente para realizar
operaciones matemáticas y encontrar nuestras coordenadas geográficas
 Se realizo los cálculos necesarios para realizar la transformación.
6 RECOMENDACIONES
 Al realizar la maqueta debemos tener en cuenta que se usa una chaveta por lo tanto ser
cuidadoso
 Para realizar la maqueta debemos buscar un lugar limpio y cómodo para realizar nuestra
maqueta

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ÁREA DE FÍSICA
 Se recomienda validar las variables físicas que intervienen en la transformación de
coordenadas en 3D mediante la simulación en el software GeoGebra.
 Al identificar los pasos para realizar las simulaciones de transformaciones de coordenadas en
3D se recomienda guardar los cambios periódicamente debido a que el programa puede
colapsar.
 Se recomienda graficar las coordenadas de distintos puntos para así poder distinguirlos
 Al construir las gráficas se recomienda que se puede observar los vectores y los puntos
coordenados que se usaron para representar el resultado gráfico.
7 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y DE LA WEB
Sitios Web:
[1] Significados. Vector. < https://www.significados.com/vector/> [Consulta: 04 de enero de 2021]
[2].Diferenciador. Magnitud escalar y vectorial. < https://www.diferenciador.com/magnitud-escalar-y-
vectorial/> [Consulta: 04 de enero de 2021]
[3].Cordova,D. Definicion de los componentesde un vector.[Realizado: 04 de enero de 2021]
[4].Cordova,D. ¿Que nos indica los diferentestipos de coordenadas 3D ?. [Realizado: 04 de enero de 2021]
[5].Cordova,D. ¿Cuales son los diferentestipos de coordenadas ?.[Realizado: 04 de enero de 2021]
[6]. Matematicas en movimiento. Vectores y el espacio tridimensional. <
http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/vectores/vect_intro.html#:~:text=
Sistema%20de%20coordenadas%20rectangulares%20en%20tres%20dimensiones&text=En%20este%20siste
ma%20de%20coordenadas,coordenadas%20cartesianas%20%22%20del%20punto%20P.> [Consulta: 04 de
enero de 2021]
[7] Cordova,D. Definicion de coordenada angular. [Realizado: 04 de enero de 2021]
[8] Cordova,D. Definicion de coordenada geografica . [Realizado: 04 de enero de 2021]
[9] Planetcalc. Sistema de coordenadas 3d. < https://es.planetcalc.com/7952/> [Consulta: 04 de enero de
2021]
[10] Cordova,D. Grafica del vector . [Realizado: 04 de enero de 2021]
[11] Cordova,D. Grafica necesaria para encontrar la coordenada angular . [Realizado: 04 de enero de 2021]
[12] Cordova,D. Elaboracion del prisma necesario para encontrarlos angulos. [Realizado: 04 de enero de
2021]
[13] Cordova,D. Obtencio del angulo teta . [Realizado: 04 de enero de 2021]
[14] Cordova,D. Obtencio del angulo omega . [Realizado: 04 de enero de 2021]
[15] Cordova,D. Obtencio del angulo teta 1 . [Realizado: 04 de enero de 2021]
[16] Cordova,D. Obtencio del angulo phi . [Realizado: 04 de enero de 2021]

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ÁREA DE FÍSICA
[17].Lifeder. Vectores en el espacio. < https://www.lifeder.com/vectores-en-el-espacio/> [Consulta: 04 de
enero de 2021]
[18].Brainly. De que manera se aplican losvectores en la vida cotidiana. <
https://brainly.lat/tarea/18305802/> [Consulta: 04 de enero de 2021]
[19].Dalei. Aplicación de las coordenadas polaresen la ingeniería. < https://dalei.me/> [Consulta: 04 de
enero de 2021]
[20].Geometría Analítica. Sistema de coordenadas. < https://www.geometriaanalitica.info/sistema-de-
coordenadas-cartesianas-polares-cilindricas-esfericas/> [Consulta: 04 de enero de 2021]
Latacunga, 05 de Enero de 2021
Elaborado por:
CORDOVA VARGAS DARWIN
ALEXIS
DOCENTE: ING. DIEGO PROAÑO
Aprobado por:
JEFE DE LABORATORIO: