Este documento presenta el Teorema de Bolzano. Explica que si una función continua en un intervalo [a,b] cumple que f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces la función debe cortar el eje x al menos una vez en ese intervalo. Demuestra este teorema y presenta ejemplos para ilustrarlo. Finalmente, concluye que el teorema provee una condición suficiente pero no necesaria para la existencia de ceros en un intervalo.

2. OBJETIVOS 1) Lograr la participación de los alumnos a través de las propuestas planteadas. 2) Demostrar el Teorema de BOLZANO. 4) Estimular la comunicación en general con un lenguaje matemático en particular. 3) Mostrar aplicaciones del Teorema.

3. Teorema de Bolzano INTRODUCCIÓN INTUITIVA

4. A) Representamos una función continua en el intervalo [a,b[, con f(a).f(b)<0 ¿Puede una función continua en un intervalo tal que f(a).f(b)<0, no cortar el eje Ox? f(b) f(a) a b

5. B) Representamos una función continua en el intervalo, con f(a)>0 yf(b)>0 , y que corte el eje Ox. ¿Existe una función continua en un intervalo, que corte el eje Ox tal que f(a).f(b)>0? f(b) f(a) a b

6. C) Representamos una función continua en el intervalo cerrado [a,b[ , con f(a)>0 yf(b)>0, y que no corte el eje de las abscisas C) f (b) f(a) a b

7. D) Representamos una función no continua en el intervalo, con f(a).f(b)<0 f(b) f(a) a b

9. f(b) f(a) a b f(b) f(a) a b f (b) f(a) a b f(b) f(a) a b

11. Teorema de Bolzano ENUNCIADO Y DEMOSTRACIÓN

12. Enunciado: f(b) f(a) a b

13. f(b) f(a) a b Dem:

14. En 2) y 3) se producen contradicciones debido al supuesto falso por lo tanto dada la propiedad de Tricotomía: Quedando demostrado el teorema de Bolzano “ Si f es continua en un intervalo [a,b[ de su dominio y f(a). f(b)<0, entonces f tiene al menos un cero en el intervalo”. Obs: Si suponemos f(a)>0 se demuestra análogamente.

15. Teorema de Bolzano EJERCICIOS DE APLICACIÓN

19. Ejercicio :2) Presentamos como Corolario del Teorema de Bolzano, el siguiente ejemplo, que nos permite observar si dicho teorema es: condición suficiente pero (y o no) necesaria . ,