1. PROFESOR:
Beltrán, Pedro
BACHILLER:
Areyán P., Yhacmir
C.I.: 18128345

2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que
contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x)
cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier ,
no importa que tan pequeña sea, existe una tal que
si entonces
Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L
conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia
puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca
de a pero no igual a a.
En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x =
a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que exista.

3. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
B1) siempre que no aparezca la indeterminación
B2) con
B3) siempre y cuando no aparezca la
indeterminación
B4) siempre y cuando no aparezcan las
indeterminaciones e
B5) con , siempre y cuando tengan sentido
las potencias que aparecen.

4. B6) siempre y cuando tengan sentido las
potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de
los tipos

5. Ejemplo
En este caso probamos con la ecuacion de la recta, ya que con esta
ecuación podemos ver de forma general si existe o no el liminte, ya que la
ecuación de la recta es todos los puntos por donde pasa la recta en una
circunferencia.
Existe?
Proponemos: Y= 0
Proponemos: Y= 0

6. Proponemos:
m puedes ser cualquier numero que pertenece a los reales, por lo tanto
El limite no existe.

7. CONTINUIDAD
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
f(x)=x2
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la
variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la
gráfica consiste de un sólo trozo de curva.
f(x)=sgn x

8. En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x)
que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa
exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere
arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términos del concepto de límite...
La evaluación de límites de funciones continuas de una sola variable es
fácil. Se efectúa por sustitución directa porque la propiedad de definición de
una función continua es lim x->a f(x) = f(a). Las funciones continuas de dos
variables también están definidas por la propiedad de sustitución directa.
Una función f de dos variables se denomina continua en (a, b) siLim
f(x,y) = f (a, b)
(x,y) -> (a,b)
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto (a, b) de D

9. El significado intuitivo de continuidad es que si el punto (x,y) cambia en
una pequeña cantidad, entonces el valor de f(x,y) cambia en una pequeña
cantidad. Esto significa que si una superficie es la grafica de una función
continua entonces no tiene ni huecos ni rupturas.
Con el uso de las propiedades de los limites, es posible ver que las
sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones continuas son
continuas en sus dominios.
Una función polinomial de dos variables (o, para abreviar, un
polinomio), es una suma de términos de la forma cx “y”, donde c es una
constante y m y n son enteros no negativos. Una función racional es la
razón de dos polinomios. Por ejemplo,
f(x,y) =
es un polinomio mientras que g(x,y) =

10. Los limites muestran que las funciones f(x,y)=x, g(x,y)= y, y h(x,y) =
c son continuas. Como cualquier polinomio puede ser obtenido a parten
de las funciones simples f, g y h por multiplicación y suma, llegamos a
que todos los polinomios son continuas en R. Del mismo modo,
cualquier función racional es continua en su dominio porque es cociente
de funciones continuas.

11. Propiedades de la Continuidad ( Teorema de Weierstrass )
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], tiene máximo y
mínimo en ese intervalo. Es decir f continua en [a,b]
Teorema de Bolzano
Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de signo
contrario en los extremos, entonces existe al menos un punto interior c del
intervalo en el que
f(c)=0.

12. Corolario
Si una función es continua en el intervalo [a,b] y k es un número
comprendido entre los valores f(a) y f(b), entonces existe algún c en
[a,b] tal que f(c)=k
Teorema de Darboux o del valor intermedio
Si una función es continua en el intervalo [a,b], la función toma en
ese intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el
mínimo.
Teorema
La imagen de un intervalo cerrado por una función continua es un
intervalo cerrado.
Nota
Las operaciones con funciones continuas definidas en el mismo
intervalo da como resultado otra función continua en él, siempre que la
operación tenga sentido.

13. Ejemplo
Evalué
Solución, Como
es un polinomio, es continuo en todas partes, de modo que podemos
hallar el limite por sustitución directa: