El documento explica los conceptos fundamentales de límite en matemáticas. Define el límite como una noción topológica que formaliza la aproximación a un punto de una sucesión o función cuando los parámetros se acercan a un valor. Explica que los límites se usan para definir conceptos como convergencia, continuidad, derivación e integración. También describe cómo calcular un límite por definición y demostrarlo, encontrando un valor δ en función de ε para que la diferencia entre la función y el límite sea menor que ε. Por último,

1. Profesora: Bachiller:
Ranielina Rondón Miguel Aguilera
Puerto la cruz 07 de Agosto del 2017

2.  En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva
de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los
parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor.
 En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los
conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si
bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en
un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que
permite definir rigurosamente la noción de límite.
 El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redes
topológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como
puede ser la teoría de categorías.
 Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an)
= a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.

3.  Límites por definición
 Calcular un límite por definición significa encontrar una diferencia entre f(x) y L (es decir, f(x)-L),
dado que x está cerca de c, pero no es igual a c. Gráficamente, puede verse de la siguiente
manera: Esta diferencia entre f(x) y L tiene que ser menor a un valor que llamaremos ε. Así,
aseguramos que dentro de este rango de valores esté el límite. Para ello, se tendrá otro valor
llamado δ, que da el rango en el cual se encuentra x cuando tiende a c.
 ¿Cómo se demuestra un límite por definición?
 El objetivo de la demostración es hallar un valor para δ (que usualmente depende de ε, por
ejemplo, δ=3ε). Esto se hace primero partiendo de fx-L
 y desarrollando esta expresión matemáticamente hasta que se asemeje a x-c. Tomemos el
siguiente ejemplo para ilustrar una demostración: Demostrar que limx→23x-2 es igual a
4Partimos de fx-L , que en nuestro caso es 3x-2-4, y queremos llegar a algo similar a x-2ε>0 ∃
δ>0 /si 0<x-c<δ⟹fx-L<ε 3x-6<ε Sacamos 3 como factor común 3x-2<ε .Ya conseguimos la
expresión similar que buscábamos. Ahora solo falta hallar la relación entre δ y ε ,llegamos a
esto: x-2<ε3 y sabemos que se debe cumplir esto: x-2<δ Por lo tanto, de ambas expresiones
obtenemos que: δ=ε3, o bien 3δ=ε

4.  Dado ε, puede establecerse R de modo que f(x) se «acerque» a L, a medida que x se aleja del
origen ilimitadamente.
 Cuando una variable tienda a infinito, supongamos x, utilizaremos el símbolo del infinito de esta
manera . Esto significa que la variable x toma valores arbitrariamente grandes, en magnitud.
Analíticamente diremos que, fijado cierto número real R, x lo superará en valor absoluto,
cualquiera sea el R tomado.
 Para esta definición tomaremos, como caso particular, dos «signos del infinito».
 diremos que x tiende a más infinito o al infinito «positivo». Lo denotaremos así,
 Si significa que x tiende a menos infinito. Resulta de especial interés el comportamiento de
ciertas funciones en el infinito. Cuando estos límites existen, y son números reales, podemos
construir la ecuación de las asíntotas horizontales u oblicuas de la función. Definiremos
entonces el límite de una función, cuando la variable independiente tiende a infinito, para
cualquier signo

5. Limite por definición Limite Infinito