trabajo de estructuras discretas MI-31

1. ESTRUCTURAS DISCRETAS
Función inversa
Carlos Montes De Oca C.I 28.372.299
Seccion:MI-31
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2. Una vez que ya hemos visto la función compuesta, vamos a estudiar
también la función inversa. Ya que la hemos mencionando
anteriormente en las propiedades de las funciones compuestas.
En esta ocasión, estudiaremos el proceso para obtener la función
inversa, además de ver algunos de los ejemplos más importantes de
funciones inversas y cómo se representan.
DEFINICIÓN:
Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva
función cuyo dominioes la imagen de la función inicial, y su imagen
es el dominiode la función inicial.
Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se
cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.
PROPIEDADES
1. La primera propiedad coincide con la que habíamos visto
anteriormente en la función compuesta. Si realizamos la función
inversa de una composición de funciones obtenemos la composición
de sus inversas permutandoel orden de la composición:
2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la
función inicial.

3. 3. La composición de una función y su inversa nos da la función
identidad.
4. La función inversa no siempre existe.
5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si
la inversa es derivable también loserá la función inicial.
6. Análogamente, si una función es derivable suinversa también lo
es y viceversa.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSA
La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas
respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta
y = x, como podemos ver en la siguiente imagen:
Por tanto si M(b,a)es un punto de f, y por tantosabemos que M´(a,b)
será un punto de g, entonces las pendientes de las tangentes en M y
en M´son inversas. Es decir si la pendiente de la tangente en M es m,
entonces la pendiente de la tangente en M´ será 1/m.
Observación: Recordad que no es lo mismola función inversa, que
la inversa de una función.
El ejemplo más conocido e importante de funciones inversas es la
función exponencial y la función logarítmica.Y como podemos ver
sus representaciones gráficas son simétricos respecto de la bisectriz
del primer y tercer cuadrante:

4. PASOS PARA CALCULAR LA FUNCIÓN INVERSA
Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir
unos pasos:
1º. Realizamos un cambiode variable,cambiandoy por x, y
viceversa. Recordadque y=f(x).
2º. Una vez que ya hemos cambiadolas variables, tenemos que
despejar la variable y en función de x.
3º. El resultadofinal, es la función inversa que hemos buscado.
Por últimovamos a realizar unos ejemplos en los que seguiremos
los pasos (que son pocos y cortos) para obtener la función inversa en
cada caso:
Ejemplo 1: Hallar la función inversa de f(x)=3x+5.
Vamos a seguir los pasos anteriormente descritos, antes que nada
tendremos en cuenta que f(x)=y, por tanto empezaremos nuestros
pasos a partir de la siguiente función: y=3x+5.
1º. Hacemos el cambio, obteniendo: x=3y+5.
2º. Despejamos y en función de x: 3y=x-5; y=(x-5)/3.
3º. Por tanto la función inversa es y=(x-5)/3.
Ejemplo 2: Calcular la siguiente función inversa:
1º. Hacemos el cambiode y por x:
2º. Despejamos la y:
3º. Finalmente,la función inversa.