Información sobre la función inversa

1. Nombre: Paola Alcina
C.I: 27.011.358
Sección: MI-31
DEFINICIÓN:
Se llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva
función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su
imagen es el dominio de la función inicial.
Es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se
cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.

2. PROPIEDADES
1. La primera propiedad coincide con la que habíamos visto
anteriormente en la función compuesta. Si realizamos la función
inversa de una composición de funciones obtenemos la
composición de sus inversas permutando el orden de la
composición:
2. Si hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos
la función inicial.
3. La composición de una función y su inversa nos da la función
identidad.
4. La función inversa no siempre existe.
5. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa,
si la inversa es derivable también lo será la función inicial.
6. Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo
es y viceversa.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN INVERSA
La gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas
respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la
recta y = x, como podemos ver en la siguiente imagen:

3. Por tanto si M(b,a) es un punto de f, y por tanto sabemos que
M´(a,b) será un punto de g, entonces las pendientes de las
tangentes en M y en M´ son inversas. Es decir si la pendiente de la
tangente en M es m, entonces la pendiente de la tangente en M´
será 1/m.
Observación: Recordemos que no es lo mismo la función inversa,
que la inversa de una función.
El ejemplo más conocido e importante de funciones inversas es la
función exponencial y la función logarítmica. Y como podemos ver
sus representaciones gráficas son simétricos respecto de la
bisectriz del primer y tercer cuadrante:
PASOS PARA CALCULAR LA FUNCIÓN INVERSA
Para poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir
unos pasos:
1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y
viceversa. Recordad que y=f(x).

4. 2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que
despejar la variable y en función de x.
3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado.
EJEMPLO:
Calcular la siguiente función inversa:
Hacemos el cambio de y por x:
Despejamos la y:
Finalmente, la función inversa es: