Las derivadas parciales son derivadas de funciones de múltiples variables donde una de las variables se mantiene constante. Para una función de dos variables f(x,y), existen dos derivadas parciales: la derivada parcial con respecto a x manteniendo y constante, y la derivada parcial con respecto a y manteniendo x constante. Las derivadas parciales de orden superior, como las segundas derivadas parciales, representan cómo cambia la tasa de cambio de la función al variar cada variable.

1. UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL ESTADO DE
MEXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
MATERIA: CALCULO 2
PROFESOR : ING. MERCED TORRES SANCHEZ
ALUMNO: BERNA EMMANUEL ROJAS CARDENAS
DERIVADAS PARCIALES.

2. Que son las derivadas parciales?
Digamos que tenemos una función f(x), si quisiéramos obtener la derivada de esta
función por definición seria
Pero que sucedería para una función que dependiera de dos variables?
Bueno para esto necesitamos que una de las dos variables independientes deje
de ser variable y hacerla constante entonces tenemos de dos sopas hacer a u x
constante o a y constante por lo que tenemos 2 opciones a estas se les llama
primeras derivadas parciales. Esto es:
1.
2.
Siempre y cuando el limite exista.
Así entonces si queremos obtener las primeras derivadas parciales de laguna
función de dos variables para el caso 1. tomamos a y como constante y derivamos
con respecto a x, y se leería la derivada primera parcial de la función f(x,y) con
respecto a x.
Para el caso numero dos se toma como una constante la variable x, asiendo
entonces la derivada con respecto a la variable y, esto se leera la primera derivada
parcial con respecto a y de la función f(x,y) con respecto a y.
para esto tenemos varias notaciones algunas son:

3. ¿Entonces que sucedería para las derivadas parciales de una función de tres
variables?
Es algo similar si obtenemos las derivada parcial de una función f(x,y,z) habría que
derivar con respecto a cada una de sus variables dejando las otras dos como
constantes.
Y de la misma manera para las demás derivadas parciales tomando las otras
como constantes.
Esto es que si queremos las derivadas parciales para una función de n variables
independientes tendremos n derivadas parciales por cada una de sus variables. ai
entonces pasemos a la representación gráfica.
La derivada parcial de una función de dos variables es relativamente simple,
Entonces representan la curva de intersección de la superficie
con el plano . entonces la derivada parcial respecto a x
representa la pendiente de esta curva en un punto y de manera
análoga para la parcial de f con respecto a y. entonces los valores de las primeras
derivadas parciales representan las pendientes de la superficie en dirección de x y
de y.

4. Derivadas de orden superior.
Entonces si f es una función de dos variables , entonces sus derivadas parciales
también son funciones de dos variables de modo que podemos considerar
sus derivadas parciales , , y las cuales se llaman segundas
derivadas parciales de f.
Para esto se necesita la sig. Notación:
Así mismo para las funciones de tres variables se asigna las derivadas parciales
de tercer orden y así a las funciones de n variables se les asigna las derivadas
parciales de orden n.
es importante analizar la siguiente figura.

5. se nota que las parciales se juntan en el diagrama a estas se les llama parciales
mixtas o cruzadas y prácticamente tienen el mismo valor
conforme a la interpretación geométrica de las derivadas de segundo orden
si obtenemos un valor positivo para la parcial entonces f(x,y)es cóncavo hacia
arriba en dirección a x.
de igual manera si es positvo nos habla de que f()x,y es cóncavo hacia arriba
en la dirección de y. pero cuando hablamos de las derivadas parciales mixtas se
dice que hay una razón de cambio en que la dirección del x cambia con respecto a
la dirección de y.
Bibliografía.
http://demonstrations.wolfram.com/PartialDerivativesIn3D/
http://mathworld.wolfram.com/PartialDerivative.html
calculo 2: de varias variables ron Larson novena edición.
calculo: conceptos y contextos. james Stewart 2 ed.
http://math.ucsd.edu/~wgarner/reference/math10c_su10/lectures/second-
order_partial_derivatives.pdf