UNEFM, Ing. Química, Matemática II, Temas que comprenden la Unidad I y II

1. UNIDAD I
LA INTEGRAL INDEFINIDA, LA INTEGRAL DEFINIDA Y APLICACIONES
TEMA I.-LA ANTIDERIVADA O PRIMITIVA.
DEFINICION: Una función F es una antiderivada o primitiva de f en un intervalo
I si F'(x) = ƒ(x) Para todo x en I.
por
ejemplo
ya que
pero la
Función
también es una primitiva
de
La derivada de una función es única, pero una función tiene infinitas primitivas.
Si F y G son antiderivadas o primitivas de ƒ entonces G(x)=F(x) + C , es
decir, dos antiderivadas de una función difieren en una constante.
A la antiderivada más general se conoce como la integral indefinida de ƒ con
respecto a x.
Simbólicamente, se escribe:
2.- REGLAS BASICAS DE INTEGRACION
REGLA DE LA POTENCIA

2. Aplicando las propiedades de linealidad y escribiendo los exponentes en forma
racional nos queda:
NOTA 1: Recordar las reglas de los exponentes:

3. INTEGRALES POR SUSTITUCION: (CAMBIO DE VARIABLE)
Se aplica cuando queremos integrar una función compuesta.
NOTA 2: Definición de función compuesta.
Sean f y g dos funciones, la función dada por (f o g) (x)=f(g(x)) se llama
función compuesta de f con g. El dominio de (f o g) es el conjunto de todos los
valores de x del dominio de g tales que g(x) pertenece al dominio de f.
Si la integral tiene la
forma siguiente:
Haciendo el cambio
y sustituyendo nos
queda:
Ejemplo 5 :
Haciendo el cambio
Devolviendo el cambio luego de resolver la integral nos queda:

4. EJEMPLO 6:
En el integrando tenemos dx por lo tanto se despeja obteniendo
Sustituyendo:
Sustituyendo el resultado:
EJEMPLO 7:
Haciendo el cambio: u = x+4 du=dx
Notamos que queda un termino x que no esta incluido en la derivada interna.
Pero podemos despejar del cambio inicial y al hacer la sustitución todo el
integrando quede expresado en términos de la variable u
x=u-4
Sustituyendo:
SUSTITUCION EN INTEGRALES TRIGONOMETRICAS:
Integrales inmediatas de las funciones trigonometricas.

5. Para resolver integrales de funciones trigonometricas compuestas aplicamos el
mismo procedimiento.
EJEMPLO 8:
EJEMPLO 9:
Integrales que involucran funciones logarítmicas y exponenciales.

6. EJEMPLO 11:
Sustituyendo:
EJEMPLO 12:
EJEMPLO 13:

7. Integrales que involucran funciones trigonometricas inversas.
NOTA 3: La función seno inverso (o arco seno ) se define como sigue:
La función tangente inversa ( o arco tangente) se define como sigue:
La función secante inversa (o arco secante) se define como sigue:
De las funciones trigonometricas inversas se deducen tres formulas integrales.
La primera de ellas, involucra la función arco seno.
Usando la identidad fundamental
Y sustituyendo en (1) tenemos

8. Integrando a ambos lados nos queda la formula:
Otra formula de utilidad de integrales relacionadas con funciones
trigonometricas inversas es la de la función arco tangente.
A continuación se deduce la formula de manera análoga como se hizo para la
función Arco seno.
De la identidad trigonométrica tenemos que:
Sustituyendo en (2) nos queda:
Integrando a ambos lados

9. Por ultimo, se deducirá la formula de la integral relacionada con la función Arco
secante.
y = arcsecx Si y solo x = sec y
Derivando implíc itamente x = secy
EJEMPLO 14
Evaluar:
La integral se puede escribir de la forma relacionada con la Arco tangente
haciendo la sustitución.
Sustituyendo en la integral:

10. EJEMPLO 15:
Usando las reglas de los exponentes
RESUELVA LAS SIGUIENTES INTEGRALES:

11. TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Y COORDENADAS POLARES
TEMA II
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
1.- INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
Para resolver este tipo de integrales se descompone el integrando de manera
que queden funciones multiplicadas por su derivada interna y de esta manera

12. resolver por sustitución, para lograr este objetivo se hace uso de las
identidades trigonométricas adecuadas.
1.A.- Integrales de la forma ,
Si n es un entero positivo par se usan las identidades trigonométricas
Ejemplo 1: Evaluar
Sustituyendo en la integral:
Aplicando las propiedades
Nos queda:
Ejemplo 2: Evaluar
Sustituyendo la identidad
Desarrollando y sustituyendo en la integral

13. La tercera integral de la derecha se resuelve de la misma forma, usando la
misma identidad que en el caso anterior.
Agrupando término semejantes:
Si n es un entero positivo impar, se descompone el integrando como
Donde n-1 es par, y luego se usan las identidades ,
Ejemplo 3: Evaluar
Dado que el exponente es impar, lo podemos expresar como
y sustituyendo la identidad
Separando las integrales:
La primera integral es inmediata y la segunda se resuelve haciendo la
sustitución:

14. Por tanto
Ejemplo 4: Evaluar
Usando la identidad
Nos queda:
Separando en tres integrales:
La primera integral es inmediata, las otras dos se resuelven haciendo la
sustitución
1.B.- Integrales de la forma

15. Si la potencia del seno m es un número entero positivo impar y la del coseno n
un número real cualquiera, separamos un factor senx y usamos la identidad
.
Ejemplo 5: Evaluar
El integrando se puede expresar como y
usando la identidad
Estas 2 integrales se resuelven haciendo la sustitución
Si la potencia del coseno n es un entero positivo impar y la del seno m es un
número real cualquiera se separa un factor cosx y se usa la identidad
Ejemplo 6: Evaluar
Separando las integrales
Haciendo la sustitución

16. Si tanto la potencia del seno m como la potencia del coseno son enteros pares,
se usas las identidades
Ejemplo 7: Evaluar
1.C.- Integrales de la forma
Si la potencia de la tangente es un entero positivo, se separa un factor y
se usa la identidad
Ejemplo 8: Evaluar

17. La primera integral se resuelve por sustitución y la segunda es inmediata
Si la potencia de la cotangente es un entero positivo separamos un factor
y usamos la identidad
Ejemplo 9: Evaluar
Resolviendo por sustitución

18. 1.D.- Integrales de la forma
Si la potencia de la tangente m es un entero positivo impar y la potencia de la
cotangente n es un número cualquiera, se separa un factor secx.tanx (que es
la derivada de secx)
y usamos la identidad
Ejemplo 10: Evaluar
El integrando se puede expresar como
Por tanto
Haciendo la sustitución

19. Si la potencia de la secante n es un entero positivo par y la potencia de la
tangente m es un número real cualquiera, se separa un factor (que es la
derivada de la tangente).
y usamos la identidad
Ejemplo 11: Evaluar
El integrando se puede expresar como
Entonces
para resolver estas integrales, se usa la sustitución
1.E.- Integrales de la forma
Si la potencia de la cotangente, m, es un entero positivo impar y la potencia de
la cosecante, n es un número real cualquiera se separa un factor cscx.ctgx
(que es la derivada de la cosecante), es decir, el integrando se expresa como
y usamos la identidad
Ejemplo 12: Evaluar

20. Haciendo la sustitución
Si la potencia de la cosecante es un entero positivo par y la potencia de la
cotangente es un número real cualquiera, se separa un factor (que es la
derivada de la -cotgx) y se expresa el integrando como
y usamos la identidad
Ejemplo 13: Evaluar
El integrando se puede expresar como:
Haciendo la sustitución

21. Si es la integral trigonométrica no se presenta ninguno de los casos anteriores,
se puede expresar a el integrando en términos de senos y cosenos recordando
las identidades:
Ejemplo 14: Evaluar
El integrando no tiene ninguna de las formas estudiadas anteriormente, por
tanto lo expresamos en términos de senos y cosenos.
La primera integral es inmediata, la segunda se resuelve hac iendo la sustitución

22. Ejemplo 15: Evaluar
Haciendo la sustitución
EJERCICIOS PROPUESTOS
I.- Resolver las siguientes integrales trigonométricas:
1.- 2.- 3.-
4.- 5.- 6.-
7.- 8.- 9.-
10.- 11.- 12.-
13.- 14.- 15.-
2.- INTEGRACIÓN POR PARTES
La técnica de integración por partes es muy eficaz cuando en el integrando
aparecen productos de funciones, en particular, el producto de una función
algebraica por una función trigonométrica, exponencial o logarítmica.
Fórmula para la integración por partes.

23. Si u y v son funciones derivables de x, entonces tenemos que .
Integrando
Despejando a
Estrategia para integrar por partes.
1.- Factorizar el integrando en dos partes, u y dv de manera tal que dv incluya
la diferencial dx.
2.- Es necesario hacer una escogencia adecuada de u y dv. La primitiva
debe ser fácil de determinar y la nueva integral debe ser más
sencilla de calcular que la integral original .
3.- A veces, es necesario, para el cálculo de una integral aplicar reiteradas
veces la integración por partes.
Ejemplo 1: Evaluar
Debemos escribir la integral de la forma eligiendo u = v y para
completar los elementos a sustituir en la fórmula se debe determinar du y v.
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes.
Resolviendo la integral de la derecha.
Por tanto

24. Ejemplo 2: Evaluar
Haciendo
Calculando
Sustituyendo en la fórmula de integración por partes
Ejemplo 3: Evaluar
Haciendo
Resolviendo la integral, nos queda
Ejemplo 4: Evaluar
Haciendo

25. La integral de la derecha no se ajusta a ninguna de las reglas básicas de
integración, por tanto debemos aplicar la integración por partes a esta integral,
la cual fue resuelta en el ejemplo 2 resultando:
Existen casos donde el integrando tiene solamente un factor, como por ejemplo
, etc, y se puede usar la técnica de integración por partes.
En tales casos, se toma dv = dx
Ejemplo 5: Evaluar
Para resolver la integral de la derecha, se hace la sustitución

26. EJERCICIOS PROPUESTOS
II.- Use el método de integración por partes para resolver las
siguientes integrales:
3.- INTEGRALES POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Esta técnica se utiliza cuando el integrando contiene expresiones algebraicas de
la forma . Estas expresiones están relacionadas con
ciertas identidades trigonométricas que permiten simplificar los integrandos.
Si en la integral aparece .
Se hace la sustitución y nos queda

27. Si aparece en la integral la expresión .
Se hace la sustitución y nos queda:
Por último, si en el integrando aparece
Se hace la sustitución
Dado que se está haciendo una sustitución, se debe calcular dx en términos de
la variable se resuelve y luego mediante un triángulo rectángulo se expresa el
resultado en términos de la variable original.
Ejemplo 1: Evaluar
En el integrando aparece que tiene la forma donde a = 2 y u = x
Haciendo el cambio de variable
Para obtener dx, derivamos
Sustituyendo

28. Resolviendo esta integral, nos queda
Se debe expresar el resultado en términos de la variable x.
De la sustitución
Recordando las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo

29. En este ejemplo:
Por lo tanto:
Sustituyendo
Ejemplo 2: Evaluar
El integrando tiene la forma donde a = 2 y u = x
Haciendo la sustitución

30. Usando el triangulo rectángulo:
Ejemplo 3: Evaluar
El integrando tiene la forma donde y u = x
Haciendo la sustitución

31. Para resolver esta integral trigonométrica, usamos la identidad
Devolviendo el cambio con ayuda del triángulo rectángulo
Por tanto
EJERCICIOS PROPUESTOS
III.- Evaluar las siguientes integrales utilizando la sustitución
trigonométrica adecuada:

32. 4.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Una función racional es de la forma donde p, q son polinomios de
cualquier grado.
El método utilizado para integrar una función racional se conoce como
descomposición en fracciones parciales y consiste en descomponer la función
racional en una suma algebraica de otras funciones racionales más simples a
las que se puede aplicar las fórmulas de integración ya conocidas.
Consideremos el caso cuando el grado del polinomio del numerador es mayor o
igual que el grado del polinomio del denominador, este tipo de función racional
recibe el nombre de fracción racional impropia. En este tipo de fracciones se
dividen los polinomios y la fracción impropia queda expresada de la siguiente
manera:
Donde c(x) es el cociente de la división, r(x) el residuo o resto y q(x) es el
divisor.
Es de hacer notar que el grado de r(x) es menor que el grado de q(x).
Ejemplo1: Descomponer en fracciones parciales la fracción impropia
Dividiendo los polinomios, tenemos

33. Entonces:
Por tanto
Cuando el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del
polinomio del denominador, no se puede efectuar la división y la función
racional recibe el nombre de fracción propia.
Si el denominador es factorizable, se descompone la fracción propia en
fracciones parciales de la siguiente manera:
Se factoriza el denominador completamente en factores de los tipos lineales y
cuadráticos de la forma
Donde es irreducible.
Por cada factor lineal la descomposición en fracciones simples debe
contener la siguiente suma m de fracciones
Por cada factor cuadrático irreducible la descomposición en
fracciones simples debe contener la siguiente suma de n fracciones.

34. Ejemplo 2: Determine
Como se resolvió en el ejemplo anterior
Sustituyendo en la integral
Nótese que la integral original al aplicar fracciones parciales se convierte en
una suma de dos integrales básicas.
Ejemplo 3: Determine
El integrando es una fracción propia, por tanto se verifica si el denominador es
factorizable
Por tanto, el integrando se puede expresar como
Debemos determinar las constantes A y B.
Nótese que si multiplicamos ambos miembros por el denominador de la fracción
de la izquierda se obtiene la expresión
Como esta ecuación se cumple para todo valor de , podemos tomar los valores
de más convenientes que son los que anulan algún factor, x = -1 y x = 3

35. Sustituyendo los valores de A y B e integrando
Ejemplo 4: Determine
El integrando es una fracción propia cuyo denominador de grado tres ya está
factorizado como un factor lineal simple y otro factor lineal de multiplic idad dos.
Por tanto la descomposición en fracciones parciales es de la forma:
(1)
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por nos queda:
(2)
Los valores de que anulan los factores son x = 1, x = -2
Para determinar el valor de B, se sustituye x por cualquier valor, digamos x =
0 en la ecuación (2)

36. Sustituyendo los valores de A y B, nos queda
Sustituyendo e integrando en (1), nos queda
Ejemplo5: Evaluar
El denominar del integrando está factorizado como el producto de un factor
lineal por un factor cuadrático irreducible, descomponiendo en fracciones
parciales, nos queda
Observamos que cuando x = 0 se anula la constante B, por tanto
Conocidos A y C, sustituimos en la ecuación y obtenemos el valor de B,
asignando a x cualquier valor, digamos x=1
Por tanto

37. EJERCICIOS PROPUESTOS
5.- INTEGRALES EN LAS QUE APARECEN EXPRESIONES CUADRÁTICAS
Cuando se aplica la descomposición en fracciones parciales es posible que
resulten expresiones cuadráticas irreduc ibles de la forma . Si ,
es posible completar el cuadrado como sigue:
Por Ejemplo: Completar el cuadrado de la expresión
Observamos que a=1, b=4 y c=5
ahora, si b=4
debemos sumar y restar y luego agrupar los términos

38. Luego, en la integral se hace la sustitución correspondiente:
Ejemplo 1:
El denominador del integrando es un solo factor cuadrático irreducible, por
tanto completando el cuadrado de la expresión:
Sustituyendo en la integral
Haciendo el cambio
Devolviendo el cambio
Ejemplo 2: Evaluar
Completando el cuadrado de la expresión subradical

39. Entonces:
Si hacemos
Esta integral se resuelve utilizando la sustitución trigonométrica
Para expresar esto en términos de la variable u utilizamos el triángulo

40. Por tanto
Devolviendo el cambio , finalmente
Ejemplo 3: Evaluar
En este ejemplo, podemos observar que la derivada del denominador es 2x+4
y el numerador se puede descomponer como 2x+4+1 por tanto, podemos
separar la integral como una suma de integrales
La primera integral es directa, mientras que la segunda la podemos resolver
completando cuadrados
EJERCICIOS PROPUESTOS