Derivadas de orden superior y derivación implícita

1. UNIVERSIDAD "FERMÍN TORO"
SISTEMA INTERACTIVOS DE EDUCACIÓN A DISTANCIA. (SAIA)
CABUDARE.
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Y DERIVACION IMPLICITA
APELLIDO Y NOMBRE: Domínguez Javier
SECCIÓN: SAIAA
ACTIVIDAD: Slideshare
FECHA: 25-03-2019
PROFESORA: Domingo Méndez

2. Derivadas de orden superior
Sea f una función diferenciable, entonces se dice que f ' es la primera
derivada de f; puede suceder que esta nueva función sea a su vez derivable, en
este caso a la derivada de la primera derivada se le denomina segunda
derivada de la función primitiva f. Del mismo modo, la derivada de la segunda
derivada se llama tercera derivada de f, y así sucesivamente hasta la enésima
derivada.
Ejemplo
Calcula la derivada de orden 3 de la función:
Para calcular la primera derivada usamos las reglas de derivación de la función
exponencial y de la cadena:
Para calcular la segunda derivada tenemos que aplicar, además, la regla del
producto. Definimos , y . Entonces,
Ahora sustituimos en la regla para derivar el producto de dos funciones:
La derivada de tercer orden se obtiene derivando de nuevo. Para eso,
definimos: , y , por lo que ahora:
Ahora sustituimos para terminar:
Con lo que terminamos.

3. Ahora haremos un paréntesis para entender qué representa la segunda derivada.
Esto, a su vez, nos permitirá entender qué representan las derivadas de orden 3,
4, etc.
Primero debemos recordar que la derivada es una razón de cambio instantánea,
es decir, la primera derivada nos dice si la función está creciendo o decreciendo
en un punto. Por ejemplo, cuando estudiamos la parábola ,
encontramos que la derivada de la función es positiva para valores de negativos
y negativa para valores de positivos. En otras palabras, la función es creciente a
la derecha y decreciente a la izquierda.
Pero observa que la pendiente de las rectas tangentes (es decir, el valor de la
derivada de la función evaluada en el punto de tangencia) va disminuyendo cada
vez más, porque la primera tangente que se dibujó tiene mayor pendiente que la
segunda, y ésta a su vez tiene una pendiente mayor a la siguiente y así
sucesivamente, hasta que llegamos a , donde la pendiente es cero y la recta
tangente a la parábola es horizontal. A partir de ahí la pendiente se hace negativa
y sigue decreciendo, o en otras palabras, crece con signo negativo.
La primera derivada de esta función es: . La segunda derivada
es: . Esto nos dice que la primera derivada tiene una razón de cambio
instantánea constante e igual a . Esto nos indica que la pendiente de la recta
tangente (el valor de la primera derivada) cambia en unidades cada vez
que aumenta 1 unidad. Observa la recta tangente a la función en .
¿Puedes decir cuánto vale la pendiente de esa recta?

4. Ahora compara ese valor con la pendiente de la recta tangente en . Y
después compara este valor con la
pendiente de la recta tangente a la función en . El valor de la pendiente del
siguiente punto de tangencia lo obtienes sumando al anterior, y esto es así
porque la segunda derivada nos dice cómo cambia la primera derivada. A su vez,
la tercera derivada nos dice cómo cambia la segunda derivada, y así
sucesivamente.

5. Derivación Implícita
La derivación implícita es una técnica que se aplica a funciones definidas
implícitamente, esto es a funciones definidas por una ecuación en que la y no esta
despejada. La ventaja de este método es que no requiere despejar y para
encontrar la derivada.
Para conseguir la derivada de y con respecto a x, dy/dx:
Primero se deriva ambos miembros de la ecuación con respecto a x,tomando en
cuenta en todo momento que y es función de x, y por consiguiente al tener que
derivar y con respecto a x, hay que aplicar la regla de la cadena.
Finalmente, se despejar dy/dx.
Pasos recomendados para despejar dy/dx.
P1 Si hay denominadores, multiplique ambos miembros por el mcm de los
denominadores, a fin de eliminarlos.
P2 Elimine los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva si es el caso.
P3 Agrupe los términos con dy/dx en un miembro y los otros términos en el otro
miembro.
P4 Saque factor común dy/dx.
P5 Pase a dividir el factor de dy/dx.
Un ejemplo con logaritmo resuelto siguiendo los pasos
A continuación, un ejemplo con logaritmos, donde es conveniente antes de
derivar, reescribir la ecuación aplicando las propiedades de los logaritmos hasta
que ningún logaritmo sea producto, cociente o potencia.
Ejemplo Consiga dy/dx por derivación implícita
Solución
Preparamos antes de derivar, para que la derivación resulte más fácil. Como
tenemos el logaritmo de un producto aplicamos la propiedad, es la suma de los
logaritmos, aprovechamos de reescribir el radical

6. Ahora se deriva implícitamente. Se deriva el lado izquierdo y el derecho con
respecto a x. Recuerde que y es función de x. El lado derecho es una constante,
su derivada es cero
Falta despejar y´.
Seguimos las recomendaciones para despejar una variable que está lineal en una
ecuación. Primero multiplicar por el mcm de los denominadores (2xy ), a fin de
eliminarlos, queda
La última simplificación se obtuvo al sacar -2y de factor común en el numerador
y x en el denominador. Los otros factores resultaron iguales, se cancelaron.