Derivadas de orden superior y derivación implícita

1. UNIVERSIDAD "FERMÍN TORO"
SISTEMA INTERACTIVOS DE EDUCACIÓN A DISTANCIA. (SAIA)
CABUDARE.
Derivadas de orden superior y derivación implícita
APELLIDO Y NOMBRE: Fuentes Domenico
SECCIÓN: SAIA A
ACTIVIDAD N° 9
FECHA: 24/03/19
PROFESORA: Domingo Méndez

2. Al derivar una función obtenemos otra nueva función. Por ejemplo, la derivada de
la función es . Observa que es otra función, generalmente
diferente a . Si volvemos a derivar la función, obtenemos la segunda derivada de
la función:
Derivada de orden superior
Sea una función derivable. La derivada de orden es la función que se
obtiene al derivar (respecto de ) la función veces consecutivas, y se denota
como:
El número se conoce como el orden de la derivada.
Ejemplo
Calcula la derivada de orden 5 de la siguiente función:
Tenemos que derivar tres veces para obtener la derivada de orden 3. Aquí está la
primera derivada:

3. La segunda derivada es:
La tercera derivada de la función es:
La derivada de cuarto orden es:
Y Finalmente, la derivada de quinto orden es:
Ejemplo
Calcula la derivada de orden 3 de la función:
Para calcular la primera derivada usamos las reglas de derivación de la función
exponencial y de la cadena:
Para calcular la segunda derivada tenemos que aplicar, además, la regla del
producto. Definimos , y . Entonces,

4. Ahora sustituimos en la regla para derivar el producto de dos funciones:
La derivada de tercer orden se obtiene derivando de nuevo. Para eso,
definimos: , y , por lo que ahora:
Ahora sustituimos para terminar:
Con lo que terminamos.
Ahora haremos un paréntesis para entender qué representa la segunda derivada.
Esto, a su vez, nos permitirá entender qué representan las derivadas de orden 3,
4, etc.
Primero debemos recordar que la derivada es una razón de cambio instantánea,
es decir, la primera derivada nos dice si la función está creciendo o decreciendo
en un punto. Por ejemplo, cuando estudiamos la parábola ,
encontramos que la derivada de la función es positiva para valores de negativos
y negativa para valores de positivos. En otras palabras, la función es creciente a
la derecha y decreciente a la izquierda.

5. Pero observa que la pendiente de las rectas tangentes (es decir, el valor de la
derivada de la función evaluada en el punto de tangencia) va disminuyendo cada
vez más, porque la primer tangente que se dibujó tiene mayor pendiente que la
segunda, y ésta a su vez tiene una pendiente mayor a la siguiente y así
sucesivamente, hasta que llegamos a , donde la pendiente es cero y la recta
tangente a la parábola es horizontal. A partir de ahí la pendiente se hace negativa
y sigue decreciendo, o en otras palabras, crece con signo negativo.
La primera derivada de esta función es: . La segunda derivada
es: . Esto nos dice que la primera derivada tiene una razón de cambio
instantánea constante e igual a . Esto nos indica que la pendiente de la recta
tangente (el valor de la primera derivada) cambia en unidades cada vez
que aumenta 1 unidad. Observa la recta tangente a la función en .
¿Puedes decir cuánto vale la pendiente de esa recta?
Ahora compara ese valor con la pendiente de la recta tangente en . Y
después compara este valor con la
pendiente de la recta tangente a la función en . El valor de la pendiente del

6. siguiente punto de tangencia lo obtienes sumando al anterior, y esto es así
porque la segunda derivada nos dice cómo cambia la primera derivada. A su vez,
la tercera derivada nos dice cómo cambia la segunda derivada, y así
sucesivamente.
Ejemplo
Discute el significado de la segunda derivada de la función:
que describe la trayectoria de una piedra lanzada al aire, donde es la altura
(medida en metros) de la piedra medida desde el suelo y es el tiempo (medido
en segundos) que la piedra lleva en el aire.
La primera derivada de esta función representa la razón de cambio de la posición
de la piedra respecto al tiempo.
Es decir, la primera derivada es la velocidad instantánea de la piedra:
La primera derivada nos dice cómo cambia la posición de la piedra conforme
avanza el tiempo. En otras palabras, indica cuánto cambia la posición de la piedra
en un segundo para un valor de específico. Observa que derivar causa que las
unidades de se dividan por el tiempo .
La segunda derivada representa la razón de cambio instantánea de la velocidad
(instantánea) de la piedra. Es decir, nos dice cómo cambia la velocidad de la
piedra conforme avanza el tiempo. Esto es, en un segundo, cuánto cambia la
velocidad de la piedra, para un valor de dado. Esta magnitud física se conoce
como la aceleración instantánea de la piedra:

7. La aceleración que sufren los cuerpos debido a la atracción gravitacional (al nivel
del mar) de la tierra es de , que es el resulado que obtuvimos. El
signo negativo nos indica que la aceleración está orientada hacia abajo.
Ejemplo
Calcula la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se mueve sobre el
eje con posición:
Donde es el tiempo medido en segundos, para y .
Empezamos graficando la función para tener una idea de su comportamiento:

8. De la gráfica vemos que la función es creciente en , y decreciente
en , y en adelante. Así que esperamos que la derivada de la función sea
positiva en y negativa para los demás valores. Enseguida se muestran las
dos primeras derivadas:
Ahora vamos a evaluarlas en y segundos.
Ejemplo
Calcula todas las derivadas de la función polinomial de tercer grado:
La primera derivada de esta función es:
La segunda derivada es:
Porque es una constante real. La tercera derivada es:

9. Porque ahora la constante es . La cuarta derivada y todas las derivadas
sucesivas son cero, porque en cada caso estamos calculando la derivada de una
constante. Es decir,
Ejemplo
Calcula las derivadas de todos los órdenes (posiivos) de la función:
Dado que la derivada de la función es igual a la función misma, todas sus
derivadas son iguales a :
Ejemplo
Calcula todas las derivadas de la función:

10. Primera derivada:
Segunda derivada:
Tercera derivada:
Cuarta derivada:
Observa que la cuarta derivada es igual a la función inicial. Entonces, la derivada
de orden cinco es igual a la primera derivada:
Y la derivada de orden seis es igual a la segunda derivada:
Y así sucesivamente. Entonces, las derivadas de la función son:
Donde es un entero no negativo.

11. Derivación Implícita
Funciones explicitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están
expresadas en forma explícita, como en la ecuación
Dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo,
muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y
= 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos
despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada
fácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.
El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo,
¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil
despejar y como función explícita de x?
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación
será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde
aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

12. El método de la regla de la cadena para funciones implícitas
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se derivan normalmente, en el
segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis
cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.

13. La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a
continuación claramente en el segundo paréntesis,
Quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
Pasando algunos términos al lado derecho,
Extrayendo el factor común ,
y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
Dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:

14. Donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
Hallar , de la función implícita:
Solución:
Primero,
Segundo,
Ahora el cociente,
Acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:

15. Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con
algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el
tema de derivación implícita.