3. Temario ¿Qué es la trigonometría? ¿Qué es ángulo? Razones Trigonométricas Razones Trigonométricas en el triángulo rectángulo Ángulos en posición normal Ángulos Cuadrantales Razones Trigonométricas de un ángulo en posición normal Razones Trigonométricas de un ángulo negativo
5. Introducción Para desarrollar el siguiente tema, se utilizara presentaciones en el orden en el que se presenta en el temario, de acuerdo a un proceso donde se pretende la estructuración de los conocimientos. En esta presentación se aborda una introducción a la trigonometría a su nivel más elemental: las razones trigonométricas de ángulos agudos. Se supone conocida la noción de ángulo y su medida así como la noción de ángulos complementarios. Se inicia también un acercamiento a la relación entre razones trigonométricas y la relación fundamental, necesarias para la resolución de triángulos rectángulos.
7. ¿Qué es la trigonometría? Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. las dos ramas fundamentales son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.
8. ¿Qué es un ángulo? el Angulo es la porción de plano delimitada por dos semirrectas del mismo origen Los ángulos se identifican por 3 letras donde : La letra central corresponde al vértice Las otras 2 letras son puntos cualquiera de las semirrectas que lo forman
9. Clasificación de los ángulos Angulo agudo: mayor que 0 menor que 90 Angulo recto : mide 90 grados Angulo obtuso: mayor que 90 menor que 180 Angulo llano: mide 180 grados
10. Razones Trigonométricas Razón: En forma general se le define como la comparación entre dos cantidades, por medio de un cociente aplicando esta definición a un triangulo cualquiera y relacionando sus 3 lados 2 a 2, obtenemos 6 razones veamos: 𝑎𝑏; 𝑏𝑐; 𝑐𝑎; 𝑏𝑎; 𝑐𝑏; 𝑎𝑐
11. Razones Trigonométricas Operador Trigonométrico: Se llama así al símbolo matemático que como tal, no tiene significado cuando actúa por si solo, pero que se transforma cuando lo acompaña un ángulo. Estos operadores trigonométricos son 6.
12. Razón Trigonométrica: Es aquella que se obtiene como consecuencia de fusionar un operador trigonométrico y un ángulo obteniéndose como resultado un número, veamos el siguiente ejemplo: I). tg45° = 1 II) sen30° = (1/2) III) cos60° = (1/2) IV) sec45° = 2
13. Triángulo rectángulo hipotenusa catetos Triangulo Rectángulo Característica principal de un triángulorectánguloesqueuno de susángulosmide 900
14. Razones Trigonométricas en el triangulo rectángulo Se les define como los cocientes que se obtienen al relacionar los catetos y la hipotenusa de un triangulo rectángulo, a continuación veamos las definiciones de cada una de dichas razones trigonométricas con respecto al ángulo agudo A.
15. SenA =Cateto Opuesto/Hipotenusa =a/c CosA =Cateto adyacente/Hipotenusa =b/c TanA =Cateto opuesto/Cateto adyacente =a/b CotA =Cateto adyacente/Cateto Opuesto =b/a SecA =Hipotenusa/Cateto adyacente =c/b CscA =Hipotenusa/Cateto Opuesto =c/a C c = Hipotenusa a Cateto Opuesto B A b Cateto Adyacente Razones Trigonométricas en el triangulo rectángulo
16. Condiciones que hay que tener presente: 𝑆𝑒𝑛𝐴 y 𝐶𝑜𝑠𝐴; son menores que 1. 𝑇𝑎𝑛𝐴 y 𝐶𝑜𝑡𝐴; toman cualquier valor. 𝑆𝑒𝑐𝐴 y 𝐶𝑠𝑐𝐴; son mayores que 1. 𝑐>𝑎 𝑦 𝑐>𝑏 𝑐2=𝑎2+𝑏2, (𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑖𝑡𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎𝑠) ∡𝐴+ ∡𝐵=90°;(𝐴 𝑦 𝐵 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜𝑠)
17. Ángulos en posición normal.- Un ángulo está en posición normal si su vértice esta en el origen y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las abscisas, y su lado final en cualquier parte del plano, si el lado final coincide con un eje, entonces el ángulo es múltiplo de 90°.
18. Ángulos en posición normal.- α: ángulo en posición normal(-) β: ángulo en posición normal(+) OA: coincide con el eje (+) Ox β: ángulo de Q1(primer cuadrante) α: ángulo de Q3(tercer cuadrante)
19. Ángulos en posición normal Y Lado final del ángulo en posición normal Medida del ángulo en posición normal Ángulo en el 2do Cuadrante x o Lado inicial del ángulo en posición normal Origen de Coordenadas
20. Ángulos en posición normal Y Ángulo ubicado en el 3er cuadrante Medida del ángulo en posición normal Y X Lado inicial Lado inicial X Ángulo ubicado en el 4to cuadrante Lado Final Lado Final
21. Ángulos Cuadrantales.- Un ángulo en posición normal es cuadrantal, cuando su lado final coincide con cualquiera de los semiejes de un sistema de coordenadas rectangulares. Los ángulos cuadrantales no pertenecen a ningún cuadrante y son de la forma: Para todo “n” que pertenece a los números naturales. 𝑛 ×90° ó 𝑛 𝑝𝑖2𝑟𝑎𝑑
23. Razones Trigonométricas de un ángulo en posición normal Las razones trigonométricas del ángulo “θ” se definen como se muestra en la tabla: en las definiciones que sigue, se va a establecer el dominio y el recorrido de las razones trigonométricas aunque deberían ser evidentes. Sea “θ” un ángulo en posición normal y sea “P” un punto cualquiera (distinto de O) en el lado terminal de “θ”
26. CUADRO DE LAS R. T. DE LOS ANGULOS: O°, 90°, 180°, 270° y 360°.
27. Razones Trigonométricas de un ángulo negativo La determinación de las razones trigonométricas de un ángulo negativo, se puede lograr mediante la regla de Reducción al primer cuadrante, conviene, sin embargo, disponer de una relación especial. Trace ángulos iguales a “θ” y “-θ”, en posición normal y escoja P(-x;y) y P´(-x;-y) como se muestra en la figura, obteniendo dos triángulos congruentes.
35. N°3 Ejercicio Puedes usar el triángulo de la derecha para hallar el seno y el coseno de 42°. Primero, usa el teorema de Pitágoras para hallar la longitud, h, de la hipotenusa. 𝑎2+𝑏2=h2 102+92=h2 100+81=h2 181=h 13.45=h
36. Resolución: Para el ángulo de 42°, el cateto opuesto tiene una longitud de 9 y el cateto adyacente tiene una longitud de 10.
37. 60 m d N°4 Ejercicio 53º Desde lo alto de un edificio de 60 m de altura se observa una señal en el suelo con un ángulo de depresión de 53º. ¿A que distancia del edificio se halla la señal observada? 40 m 42 m 44 m 45 m 48 m 37º
38. Resolución: Utilizando triángulos notables, hallamos el valor de k: Si 3K = 60, entonces k = 20. Por lo tanto la señal se encuentra a una distancia de 4K; es decir: 4(20) y eso vendría a ser 80 metros.
39. N°5 Ejercicio Hallamos las razones trigonométricas del ángulo “α”: Para el ángulo “α” , 16 es el C.O y 12 el C.A
44. a 30 b 25 N°7 Ejercicio Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo
45. N°8 Ejercicio Siendo P(-3;4) un punto del lado final de un ángulo “x” en posiciòn normal, calcular: E = sec x + cscx Marca con una (x) la respuesta correcta -5/12 -6/15 2/13
46. 3 pies escalera 4 pies N°9 Ejercicio Estamoscargandounaescalera de largo L porun pasillo de 3 pies de anchohacia un area de 4 pies de ancho, Segúnel siguientedibujo. Halla la medida del largo de la escaleracomofunción del ángulo talcomo se ilustra.
47. N°10 Ejercicio ¿Qué es un ángulo cuadrantal? Halla las funciones trigonométricas de los ángulos: 0º , 90º , 180º , 270º Y 360º, no olvides que la division por cero no esta determinado.
