1. Estudios Matemáticos Argentera
Comprender las cosas que nos rodean es la mejor
preparación para comprender las cosas que hay
más allá. (Hipatia)
Módulo 1.
Operaciones
Aritméticas
Algebraicas
Hypatia: Nació en el 370 D.C. Eminente mujer griega,
célebre por su elocuencia, belleza y conocimiento.
Enseñó la doctrina de platón y Aristóteles. Se destacó en
los campos de las Matemáticas y la Astronomía.
Miembro y líder de la Escuela neoplatónica de Alejandría,
se centró en estudios lógicos y ciencias exactas, llevando
una vida ascética.La acusaron de hechicera por tener
influencia científica, literaria y matemática. Creó el
Canón Astronómico de Diofanto, el astrolabio y la esfera
plana. Inventó el aerómetro o hidroscopio. Murió
quemada en el 415.
EL TANGRAM
EEss uunn rroommppeeccaabbeezzaass qquuee ccoonnssttaa ddee 77 ppiieezzaass oo ttaannss.. jjuueeggoo
cchhiinnoo ddee llooss ssiieettee eelleemmeennttooss oo ttaammbbiiéénn ““llaa ttaabbllaa ddee llaa
ssaabbiidduurrííaa”” oo ""ttaabbllaa ddee ssaaggaacciiddaadd"" hhaacciieennddoo rreeffeerreenncciiaa aa
llaass ccuuaalliiddaaddeess qquuee eell jjuueeggoo ccoonnlllleevvaa.. RReeqquuiieerree ddee iinnggeenniioo,,
iimmaaggiinnaacciióónn yy,, ssoobbrree ttooddoo,, ppaacciieenncciiaa..
EEnn llaa eennsseeññaannzzaa ddee llaa mmaatteemmááttiiccaa,, uuttiilliizzaa ccoommoo mmaatteerriiaall
ddiiddááccttiiccoo qquuee ffaavvoorreecceerráá eell ddeessaarrrroolllloo ddee hhaabbiilliiddaaddeess ddeell
ppeennssaammiieennttoo aabbssttrraaccttoo,, ddee rreellaacciioonneess eessppaacciiaalleess,, llóóggiiccaa,,
iimmaaggiinnaacciióónn,, eessttrraatteeggiiaass ppaarraa rreessoollvveerr pprroobblleemmaass,, eennttrree
mmuucchhaass oottrraass,, aassíí ccoommoo uunn mmeeddiioo qquuee ppeerrmmiittee iinnttrroodduucciirr
ccoonncceeppttooss ggeeoommééttrriiccooss.. EEss uunn ggrraann eessttíímmuulloo ppaarraa llaa
ccrreeaattiivviiddaadd.. PPrroommuueevvee eell ddeessaarrrroolllloo ddee ccaappaacciiddaaddeess
ppssiiccoommoottrriicceess ee iinntteelleeccttuuaalleess ddee llooss nniiññooss.. SSee uuttiilliizzaa eenn
ppssiiccoollooggííaa,, eenn ddiisseeññoo,, eenn ffiilloossooffííaa yy ppaarrttiiccuullaarrmmeennttee eenn llaa
ppeeddaaggooggííaa.. SSee ppuueeddeenn rreeaalliizzaarr aallrreeddeeddoorr ddee 1166,,000000
ffiigguurraass ddiissttiinnttaass..

2. 1
Leyes de los signos
Ley de los signos para la Suma y Resta
Se aplican los siguientes criterios:
1. Cuando las cantidades son del mismo signo, Se suman las cantidades
y se conserva el mismo signo.
Ejemplos: 2 + 5=7; -8-4=-12
2. Cuando las cantidades son de signos diferentes, Se restan los
números y se conserva el signo de la de mayor valor absoluto.
Ejemplos: 9-3=6, -8+3=-5
Ley de los signos para la multiplicación y división
Tanto la multiplicación como la división de expresiones con signos iguales
darán como resultado un valor positivo, mientras que la multiplicación de
expresiones con signos contrarios dará como resultado un valor negativo, es
decir,
Multiplicación División
(+) (+) = (+) (+) ÷ (+) = (+)
(+) (-) = (-) (+)÷ (-) = (-)
(-) (+) = (-) (-)÷ (+) =(-)
(-) (-) = (+) (-)÷ (-) =(+)
Ejemplos: (-2) (-3) = 6, -30 ÷ -15 = 2;
(2)(-3) =-6; -27 ÷ 9 = -3

3. 2
FRACCIONES
Fracción: Es cada una de las partes en que se divide la unidad.
Clasificación de las fracciones
 Según la relación ente el numerador y el denominador:
Fracción propia: Fracción que tiene su numerador menor que su
denominador. 2/7, 4/5.
Fracción impropia: Fracción en donde el numerador es mayor que
el denominador. 13/6, 18/8, 4/2.
 Según la relación entre los denominadores:
Fracción homogénea: Fracciones que tienen el mismo
denominador. Ejemplos: 5/4; 7/4.
Fracción heterogénea: Fracciones que tienen diferentes
denominadores. Ejemplos: 3/5, 7/8, 9/11
Reductibles: Fracciones en las que el numerador y el denominador
no son primos entre sí y puede ser simplificada.
Ejemplos: 20/40, 4/20, 5/10
Irreductibles: Fracciones en las que el numerador y el denominador
son primos entre sí. No pueden ser simplificadas. Ejemplos: 3/7,
17/11, 33/15
2 4
1
6 6
 

4. 3
Operaciones con fracciones.
Multiplicación
Para multiplicar dos fracciones numéricas o algebraicas se multiplican sus
numeradores y sus denominadores, por separado, teniendo así el numerador
y el denominador de la fracción producto.
Ejemplos:
a c ac
b d bd
  
  
  

2 3 2*3 6
5 7 5*7 35
  
   
  
División
Para dividir dos o más fracciones, se multiplican el numerador de la primera
fracción por el denominador de la segunda fracción (así tenemos el
numerador) y el denominador de la primera fracción por el numerador de la
segunda fracción (denominador).
Ejemplos:
a c ad
b d bc
   
    
   

2 3 2*7 14
5 7 5*3 15
   
     
   
También podemos dividir de la siguiente forma, simplemente invirtiendo la
segunda fracción para convertirla en un producto.,
Ejemplo:
a c a d ad
b d b c bc
      
        
      
Suma y resta de fracciones homogéneas y heterogéneas
Para sumar o restar dos o más fracciones homogéneas, se suman los
numeradores y se deja el denominador común.
Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones
a c a c
b b b
   
    
   
a)
3 5 3 5 8
1
8 8 8 8
   
      
   
; b)

5. 4
Para sumar fracciones heterogéneas se siguen estos procesos:
1. Se calcula el mínimo común múltiplo (M.C.M.), por lo que se tiene que
a)
3 5 9 10 19 1
1
6 9 18 18 18
   
      
   
b)
5 3 15 6 9 1
6 9 18 18 2
   
      
   
2. También se puede desarrollar convirtiéndola en homogénea

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado
que las fracciones tienen el mismo denominador)

FÓRMULAS
Una fórmula es una expresión general de una ley o mandato.
Ejemplos de fórmulas son:
A = L*L (fórmula de un cuadrado)
.
2
b h
A  (Formula de un triangulo)
2
4
2
b b ac
x
a
  
 (Fórmula para resolver una ecuación de segundo grado)
d
v
t
 (Fórmula para la velocidad)

6. 5
Regla para despeje de fórmulas:
Aplicando directamente las operaciones inversas tales como:
1- La operación inversa de la suma es la resta y viceversa.
2- La operación inversa de la multiplicación es la división y
viceversa.
3- La operación inversa de la potenciación es la radicación y
también la logaritmación.
4- Y de la derivación es la integración.
 Ejemplos:
a) De la ecuación x + b = c, si queremos despejar a x solo debemos pasar a
b con signo contrario para el otro lado x = c-b.
b) De la ecuación a · b = c, b pasa dividiendo al lado contrario de la
igualdad, a = c/b
c) pv nrt despejar v.
En esta fórmula solo hay multiplicandos, si quiero pasar un término de un
lado al otro pasarlo dividiendo. Al pasar P el resultado será:
nrt
v
p

En la fórmula
5( 32)
9
F
c

  despejar por F.
Es igual poner
5( 32)
9
F
c

  y empezar a transferir términos
9( ) 32
5( 32) 9( )
5
c
F c F
 
      
Lenguaje algebraico
Es a través del cual podemos escribir simbólicamente, pues las matemáticas
tienen su propio lenguaje, Se combinan números y letras a través de
operaciones aritmética algebraica.
El lenguaje algebraico nos ayuda a traducir expresiones desde el lenguaje
coloquial al lenguaje algebraico.

7. 6
Ejemplos: Traducir al lenguaje algebraico o simbólico.
*El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.
*El cuádruple del cubo de un número disminuido en 78.
*La edad de Pedro es el triplo aumentado en 4 de la edad de flete.
Flete= x Pedro: 3x+4
Ejemplo: Traducir al lenguaje coloquial:
4(x-y)= Cuatro veces al producto de la diferencia de dos cantidades.
Cinco veces el cubo de un numero por el cuadrado de otro.
Monomios Y Polinomios:
Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo termino.
a. b.
Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de más de un término.
Pueden clasificarse en Binomio Y Trinomio.
Binomio: Es cuando un polinomio tiene dos términos.
Ejemplos:
Trinomio: Es cuando el potencial tiene tres términos.
Ejemplos: 5x-Y+4
Cuando hay más de tres términos se le llama normalmente polinomio.
Ejemplos:
2
2 2
h c c 
3
4 78x 
3 2
5x y 
2
4 x
3 4 7
6m n w
2 3 6
2AX Y M
3 2
5
x
x
y

2
6 3 20x y 
4 3 2
3 2 8x x x x   
3
9 2 5m n x a  

8. 7
Valor numérico de expresiones algebraicas:
Consiste en sustituir la expresión por su valor y luego realizar las
expresiones indicadas.
Ejemplos: Buscar el valor numérico de las siguientes expresiones sabiendo que:
a=3 b=1 c=-2
A) = -2(1)+4(-2)-5 = 27-2-8-5 = 12
B)
Signos de agrupación:
Para eliminar los signos de agrupación tanto en operaciones algebraicas
como aritmética, debemos ir operando desde adentro hacia afuera.
Ejemplos: Eliminar los signos de agrupación en:
a. -{2-[3+5(-2+4)-8]+7}=
-{2-[3-10+20-8]+7}
-{2-[5]+7}=-{4}=-4
b. 6[-4+ (3+1)-8+ (4-6)-2]
6[-4+4-8-2-2]=6[-12]=-72
Términos semejantes:
Dos o más términos serán semejantes cuando tengan la misma parte
literal afectadas por iguales exponentes.
Ejemplos: ; ;
3
2 4 5a b c   3
(3)
2
5 12 4a b c  
2
5(3) 12(1) 4( 2) 45 12 8 25      
2
3x y 2
5x y 2
7x y

9. 8
Operaciones Matemáticas con monomios
a. Suma de Monomios: Para sumar dos o más monomios se operara
con aquellos términos semejantes.
3 2 3 2 3 2
2 3 2 3 2 3
a) 3x+5x=8x
2 1 13
b)
3 5 15
c)
Ejemplo
10a b 6
s
a b
:
a b 4
m n m n m n 
 
b. Producto de monomio: Se multiplican los coeficientes y se suman
los exponentes.
Ejemplos:
a)
1 2 111 3
6 63 5 154 4
1
) 6 2
3
b m n x m n y m nx y
  
  
  
c)   2 5 1
3
16
2 8a b a b
a
 
   d)   
2
3 3 5 4
7
5 10 50
m
m x m x
x
  

c. División de monomios: Se dividen los coeficientes y se restan
algebraicamente los exponentes.
1)
2)
2 5 3
8 7 3
6 2
3 3
= m n p
7 7
m n p
m n
 
 

3)
8 6 4
6 9 4 2
2 3 2
10
2
5
x y z
x y z w
x y w


 

2 5 7
(3 )(4 ) 12m m m
6 3
4 4
2
8
2
4
x y
x y
x y




10. 9
Operaciones de polinomios:
Suma y resta de polinomios:
Solo se operan con aquellos términos que sean semejantes, tomando en
cuenta que signos iguales se suma y se pone el mismo signo y que si son
diferentes se restan y se pone el que tenga mayor valor absoluto.
Ejemplo: Operar
   3 2 5 7 3 2 5 7 3 2 5 7
4 2 9 7 13 5x y x y x y x y x y x y    
Producto de Polinomios:
Para multiplicar dos polinomios basta con multiplicar cada monomio del
primer factor por todos y cada uno de los términos del segundo factor y así
sucesivamente y luego y luego se reducen los términos semejantes.
Ejemplo 1:    a c a c  
Ejemplo 2: Resolver
División de polinomio por monomio:
Para dividir un polinomio por un monomio basta con dividir cada término del
polinomio entre el monomio.
a)
8 7 2 6 14
4 2 3 1 2 11
4 3
9 6 5 5
) 3 2
3 3
w v w v w v z
b w v w v w v z
w v
  
  
2 2 2 2
2a ac ca c a ac c     
3 5
(2 5)(2 1)m m 
8 3 5
4 2 10 5m m m    8 5 3
4 10 2 5m m m   
2 5 6 7 8
2 2 2 4 8
4 3
8 10
4 5
2
a b a b c
a b a b c
a b

 

11. 10
División de Polinomios:
Para dividir polinomios se ordena el dividiendo y el divisor con relación a una
misma letra. Para obtener el primer término del cociente dividimos el
primer término del divisor; luego se multiplica el término obtenido por el
divisor y se pasa con signo contrario y luego se realizan las operaciones
indicadas.
2
2
2
3
x
x 6
6
3
2 6
2 6
0
1: Resolver
3
2
x
x
x x
x
Ejemplo
x
x
x
x

  
 







 
5
5
3
2
1
:
x
Ejemplo Dividir
x
x

3 2
5
3 3 1x x x
x
  
 4 3 2 2
4
3 3 3 6
3
x x x x x
x
    
3 2
4
3
3
x x
x
 
 3 2
3
9 9
6
x x
x
 
2
3
8 3
6
x x
x
 
 2
2
18 18 6
10 15 6
x x
x x
  
 

12. 11
 
3 2 2
a)
) Realiza las sigui
f) 9
5 7 4
1 2 1 1 2
) 3 5 g) .
7
entes operaciones y s
3 2 3
implifica:
7
ACTIVIDADES
I
b
  
   + 5=
6 1 2 1 1
) h)
7 4 5 3 9
1 2 2 3 1
) 7 3 i)
8 5 5 2 5
1 5
) 6
2 3
c
d
e
 
 
 
       
         
       
     
         
     
   
   
   
2 2
2
4 2 1
j)
7 3 2
) 2x+3y=6 Despejar a X.
) Sen Cos 1 Despejar el Co
) Despeje de fórmulas
seno.
1
c) Ec=
2
:I
a
mv
I
b  
  
 
1 2
22
1 2 1
22
Despejar a V.
) Despejar q .
e) Despejar W
Kq q
d Fe
r
w w R
nk


 


13. 12
   
 
   
   
 
2 2
2 3 3 2 2 3
3 2 2 2 3 2 4 2
2 3 3 5 4
3
2 3
2 6 9 20
2 5
2
a) 3m 4m
1
) 6a 2
2
) 5 4 3 4 5
) 5m 4 3
) 2 4
) Realiza las siguintes operac
2
) 3 2 1
ione
8 6
)
2
) m 2 3 entr
s
e
:
1
b b a b a b
c m n m m m n m n p
d n m n z mn
e x x
II
f x x x
x y x y z
g
x y z
h m m
i
I
 
  
    
 
  
   


   
 
8 5 10 4 8 12 12 3
4 7
4
9 30m 12n
)
6
) b b entre 1
m n x n x x
m n
j b
 

  
  
  
III) Reduce los signos de agrupación y reduce términos .
) 2 8 3 9 4
) 4 2 6 2 4 9 5 23 =
sem jantee s
a x x
b x x x x
   
       
"Una persona no puede directamente escoger sus circunstancias, pero si puede escoger sus
pensamientos e indirectamente -y con seguridad- darle forma a sus circunstancias."
James Allen)

14. 13
Bibliografía
Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemática Superior I. Santo Domingo
Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo.
Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México: editora
Pearson Educación.
Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undécima edición, México: editora Codice
América, S.A.
Santillana I. serie umbral, (educación media).
(2001), 1ra ediccion, Rep.Dom: Editora Santillana
Imagen del tangram rojo propiedad de http://www.google.com.doi
imgurl=http://nuvolo.files.wordpress.com/2006/10/tangram-red.j
Wikipedia “Las fracciones” http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n
Revisado el 24 de abril 2012.
Prof. Wilton Oltmanns