Logica de Predicados, Estructuras Discretas

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE ELÉCTRICIDAD
Nombre: Carlos J. Reinoso G.
V-19.431.320
Estructuras Discretas

2. La lógica de primer orden, también llamada lógica de
predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal
diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de
primer orden.
Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes
formales con cuantificadores que alcanzan sólo a
variables de individuo, y con predicados y funciones
cuyos argumentos son sólo constantes o variables de
individuo. La lógica de primer orden tiene el poder
expresivo suficiente para definir a prácticamente todas
las matemáticas.
En los cálculos de predicados se tienen
elementos más simples para formar las
expresiones atómicas, a diferencia de una
proposición simple donde su valor es
verdadero o falso de acuerdo a una
interpretación.

3. La conjunción ᴧ es asociativa, conmutativa y tiene elemento neutro verdadero. Por lo tanto puede considerarse una operación válida para definir la expresión
cuantificada.
(ᴧ x : R : P )
El símbolo Ɐ, que se lee “para todo”, se conoce como cuantificador universal y la expresión anterior se denomina cuantificación universal y se lee “para todo x
que satisfaga R se satisface P ”.
La sentencia “todos los cantantes hacen uso intensivo de la voz”, presenta una variable, pues “cantantes” no hace referencia a ningún elemento en particular
por lo que sólo puede ser representado por una variable, sin embargo constituye una proposición porque se le puede asignar un valor veritativo.
Esto se debe a que la variable está cuantificada universalmente por “todos” con lo que se expresa que la propiedad “hacer uso intensivo de la voz” se cumple
por todos los elementos del universo (conjunto de todos los cantantes).
El cuantificador universal (∀) es la operación que en el cálculo de predicados permite representar este tipo de proposiciones quedando el ejemplo anterior de la
siguiente manera:
∀(x) UsoIntVoz(x)
>Puede apreciarse que x, de acuerdo con lo planteado en el epígrafe anterior, es libre en UsoIntVoz(x), pero no ocurre lo mismo en ∀(x) UsoIntVoz(x) pues al
cuantificarse una variable, esta deja de ser libre.
Algunos ejemplos del uso de este cuantificador son los siguientes:
a)Todos los perros ladran.
b)Cada hombre debe pensar por su propia cabeza.
Es posible definir este nuevo operador a partir de otro ya conocido, la conjunción (ᴧ), pues si a1, a2, a3... son los elementos del universo en que toma valores la
variable x, entonces:
∀(x) A(x) ⇔ A(a1) ᴧ A(a2) ᴧ A(a3) ᴧ ...
Esta equivalencia, evidencia que basta con que para un valor ai del universo, A(ai) sea falsa para que∀(x) A(x) sea falsa también.
Por último queda especificar que si el universo en que toma valores la variable x es vacío se establece que ∀(x) A(x) es verdadera.

4. La disyunción ⅴ es simétrica, asociativa y su elemento neutro es falso. Por lo tanto puede considerarse una operación válida para
definir la expresión cuantificada
(ⅴ x : R : P )
Esta expresión se escribe usualmente así:
(∃x : R : P )
El símbolo ∃, que se lee “existe”, se conoce como cuantificador existencial y la expresión anterior se denomina cuantificación existencial
y se lee “existe x en el rango R que satisface P ”.
La sentencia “alguien ha llegado”, es una proposición con una variable, pero esta no está cuantificada universalmente. Este tipo de
proposiciones presentan cuantificación existencial, que se expresa mediante: “alguien”, “algún”, “un”, etc.
En este caso se plantea que la propiedad “haber llegado” se cumple por al menos uno de los elementos del universo (conjunto de todas
las personas).
El cuantificador existencial (∃) es la operación que en el cálculo de predicados permite representar este tipo de proposiciones quedando
el ejemplo anterior de la siguiente manera:
∃(x) HaLlegado(x)
Algunos ejemplos del uso de este cuantificador son los siguientes:
c)Hay hombres que han dado su vida por la libertad.
d)Un estudiante llegó tarde.
Este operador, al igual que ∀(), puede definirse a partir de otro ya conocido, en este caso la disyunción (v), pues si a1, a2, a3... son los
elementos del universo en que toma valores la variable x, entonces:
∃(x) A(x) ⇔ A(a1) v A(a2) v A(a3) v ...
Esta equivalencia, evidencia que basta con que para un valor ai del universo, A(ai) sea verdadera para que ∃(x) A(x) sea verdadera
también.
En caso de que el universo en que toma valores la variable x sea vacío se establece que ∃(x) A(x) es falsa.

5. Al igual que el cálculo proposicional, el cálculo de predicados cuenta con un alfabeto, algunos de cuyos símbolos ya se
han analizado.
Este alfabeto cuenta, en primer lugar, con símbolos de constantes individuales, que se denotarán como combinaciones
de letras y números comenzando siempre por una letra minúscula. En caso de utilizar solo una letra, esta será de las
primeras del alfabeto latino (a, b, c, d, e,...).
También forman parte de este alfabeto los símbolos de variables individuales que se denotarán mediante las últimas
letras del alfabeto latino (u, v, w, x, y, z).
Otros componentes del alfabeto son los símbolos de funciones que serán letras minúsculas del alfabeto latino, o
combinaciones de letras y números (con inicial minúscula), preferentemente se emplearán f, g y h.
Integran el alfabeto también símbolos de relaciones, que serán combinaciones de letras y números comenzando
siempre por una letra mayúscula.
Los símbolos del cuantificador universal ∀() y existencial ∃() vistos con anterioridad, evidentemente también componen
este alfabeto.
Por último, los símbolos de constantes proposicionales, operaciones proposicionales y de agrupación, vistos en el
alfabeto del cálculo proposicional integran este alfabeto también.

6. Al igual que el cálculo proposicional, el cálculo de predicados define el concepto de fórmula, pero establece además, una
expresión fundamental que se denomina término y se define según las reglas siguientes:
1. Toda constante y toda variable es un término.
2. Si t1,t2,...,tn son términos y f es un símbolo de función n-aria, entonces f(t1,t2,..., tn) es un término.
3. Todo término es el resultado de la aplicación un número finito de veces de las dos reglas anteriores.
Conociendo la definición de término, es posible establecer el concepto de fórmula del cálculo de predicados, que se
sustenta en el de fórmula elemental o átomo:
definición. Si t1, t2,..., tn son términos y R un símbolo de relación n-aria, entonces R(t1, t2,..., tn) es una fórmula elemental
o átomo.
Algunos ejemplos de fórmulas elementales o átomos son los siguientes:
a) R(a, x).
b) Amigo(luis, juan).
c) Hermano(x, y).
d) Grande(x).
e) Padre(x, y).
f) Madre(x, y).
g)Padres(x,y,z).

7. Evidentemente, un átomo representará una proposición elemental, pero para representar la proposiciones no elementales no
basta con una fórmula atómica por lo que se define el concepto de fórmula de la siguiente manera:
1. Toda fórmula elemental es una fórmula.
2. Si A es una fórmula, entonces ¬A es una fórmula.
3. Si A y B son fórmulas, entonces [A v B], [A ᴧ B], [A ⇒ B] y [A ⇔ B] son fórmulas.
4. Si A es una fórmula donde x ocurre libre, entonces ∀(x)A y ∃(x)A son fórmulas.
5. Toda fórmula es el resultado solamente de la aplicación de un número finito de veces de las reglas1, 2, 3 y 4.
Algunos ejemplos de fórmulas son los siguientes:
a) Padres(x,y,z).
e) Padres(x,y,z) ⇔ Padre(x,z) ᴧ Madre(y,z).
b) Padres(luis,ana,jose).
f) Padre(luis,jose) ᴧ Madre(ana,jose).
g) ∀(x)∀(y)∀(z)[ Padres(x,y,z) ⇔ Padre(x,z) ᴧ Madre(y,z)].

8. En el cálculo proposicional, una interpretación de una fórmula es una asignación de valores a las variables involucradas,
determinar todas las interpretaciones de una fórmula no resulta difícil pues cada variable sólo tomas valores en {0, 1}.
En el cálculo de predicados esto se torna mucho más complejo, pues las variables toman valores en diversos universos y
aparecen los cuantificadores que hacen necesario analizar desde otra perspectiva la interpretación de fórmulas, siendo
preciso establecer:
1. Un conjunto U, que será el dominio de valores de cada variable libre y al que pertenecerán todas las constantes.
2. Una función con dominio en Un y co-dominio en U por cada símbolo de función n-aria.
3. Una relación definida en Un por cada símbolo de relación n-aria.
Quedando entonces determinado que una fórmula A tiene una interpretación en U si todos los símbolos de constantes, de
funciones n-arias y de relaciones n-arias que ocurren en A se interpretan, respectivamente, en elementos, funciones n-arias
y relaciones n-arias en U.

9. Establecido lo anterior, para determinar el valor veritativo de una fórmula, dada una interpretación, se procede de la siguiente
manera:
1. Si A es una fórmula atómica de la forma R(a1,…, an), entonces A es verdadera en U si y solo si < a1,…, an > pertenece a R
2. Si A es la fórmula ¬B, entonces A es verdadera en U si y solo si B es falsa en U.
3. Si A es la fórmula B v C, entonces A verdadera en U si y solo si al menos una de las fórmulas B o C es verdadera en U.
4. Si A es la fórmula B ᴧ C, entonces A es verdadera en U si y solo si las fórmulas B y C son verdaderas en U.
5. Si A es la fórmula B ⇒ C, entonces A es verdadera en U si y solo si al menos B es falsa en U o C es verdadera en U.
6. Si A es la fórmula B ⇔ C, entonces A es verdadera en U si y solo si ambas fórmulas B ⇒ C y C ⇒ B son verdaderas en U.
7. Si A es la fórmula ∀(x)B(x), entonces A es verdadera en U si y solo si B(x) es verdadera en U para cualquier valor de x
pertenece U.
8. Si A es la fórmula ∃(x)B(x), entonces A es verdadera en U si y solo si B(x) es verdadera en U para al menos un valor de x
pertenece a U.

10. El siguiente ejemplo ilustra la interpretación de fórmulas del cálculo de predicados.
Sea la interpretación I definida por:
U = {1, 2, 3, 4},
R = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,3>},
f = {<1,2>,<2,3>,<3,4>,<4,1>}
a = 1, b = 2
Sean las fórmulas del cálculo de predicados:
a) ∀(x)R(x, f(x))
b) ∃(x)R(x, f(x))
c) ∀(x)R(a, x)
d) ∃(x)R(b, x)
e)∀(x)[∃(y)R(x, y) ⇒ R(x, 3)]
Determine el valor de las fórmulas anteriores:
a) ∀(x)R(x, f(x)).
En este caso la fórmula es falsa para I, pues R(3, f(3)), es R(3, 4) y <3,4> no pertenece a R.
b) ∃(x)R(x, f(x)). Esta fórmula es cierta para I, pues basta con que un valor de x haga R(x, f(x)) verdadera y esto ocurre con x = 1.
c) ∀(x)R(a, x). Como a = 1, la veracidad de esta fórmula depende de que R(1,x) sea cierta para todos los valores de x, lo que en efecto ocurre, siendo
entonces verdadera.
d) ∃(x)R(b, x). Como b = 2 y para x = 3 se tiene R(2, 3), que es cierto, entonces la fórmula lo es también.
e) ∀∃(y)R(x, y) ⇒ R(x, 3)]. Esta fórmula es cierta pues lo son:
∃(y)R(1, y) ⇒ R(1, 3)
∃(y)R(2, y) ⇒ R(2, 3)
∃(y)R(3, y) ⇒ R(3, 3)
∃(y)R(4, y) ⇒ R(4, 3)
La primera lo es, pues la parte derecha de la implicación lo es. Lo mismo ocurre con la segunda. La tercera y la cuarta son ciertas pues sus implicantes son
falsos (ningún par de R tiene como primer elemento al 3 o al 4).