vectores matematicos

1. UNIDAD EDUCATIVA
“JUAN FRANCISCO YEROVI”
TEMAS
Vectores, Características, Producto de un escalar por
un vector, Suma de vectores, Propiedades de la suma
de vectores,
Componentes de un vector, vectores unitarios, Suma
y resta analitica de vectores, Producto escalar,
Producto vectorial
VECTORES

2. VECTORES
por su naturaleza
Escalares
Vectoriales

3. VECTOR
SENTIDO

4. Vector
Notación A
Módulo A > 0
A

x
y
Dirección o Línea de Acción 

5. Vectores
Notación A
Módulo A > 0
A
Dirección
θ,
x
y
z
θ

θ,

θ

6. PROPIEDADES DE LOS
VECTORES

7. Propiedades
de Vectores
Todo vector se puede desplazar por el espacio si se mantiene
la magnitud, dirección y sentido
A
 B

C

A B C 

8. Propiedades
de Vectores
A
Sea el vector A
B = l AEl resultado es otro vector en la misma dirección
Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”
λ > 0
Para: λ > 0 , el vector B es
paralelo al vector A
B

9. Propiedades
de Vectores
A
Sea el vector A
B = l AEl resultado es otro vector en la misma dirección
Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”
Para: λ < 0 , el vector B es
anti paralelo al vector A
B

10. A

B

AB

2
1

A

B

AB

4
1


11. COLINEALES.- Cuando las líneas de acción son
paralelas.
A
B
C

12. Propiedades
de Vectores
A
Sea el vector A
B = l AEl resultado es otro vector en la misma dirección
Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”
Para: λ = 1 , el vector B es
igual al vector A
B
λ = 1

13. VECTORES IGUALES.- Si tienen su módulo, dirección
y sentido iguales
α β
A B
Si A y B son iguales se cumple
[ A] = [ B]
α = β
Sentido de A = Sentido de B

14. Propiedades
de Vectores
A
Sea el vector A
B = l AEl resultado es otro vector en la misma dirección
Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”
Para: λ = -1 , el vector B es
opuesto al vector A
B
λ = -1

15. Tipos de
Vectores
COLINEALES.- Si se encuentran sobre la misma línea de
acción.
CONCURRENTES.- Si sus líneas de acción concurren en
un mismo punto.
A
C
B
Punto de
Concurrencia
A B C

16. SUMA y RESTA de
VECTORES

17. El vector que empieza en el origen de uno de los vectores
y termina en el final de el otro vector es el vector suma R
B
A
Suma de dos
Vectores
Si deseamos sumar dos vectores, se
coloca un vector a continuación del
otro vector
RA
B
R B
A

18. 2AB.cosθ
2
B
2
AR 

A
B
R
Suma de dos
Vectores

19. Si los vectores son
perpendiculares
22
BAR 
B
A
R
Suma de dos
Vectores

20. rβ
αR
B
A
Ley de Senos
o
Ley de Lamy

21. Suma de n
Vectores
B
A C
B
A
R
C

22. Propiedades
de la suma de
Vectores
Ley Conmutativa
ABBAR 
Ley Asociativa
C)BA)CBAR

 ((

23. Resta de
Vectores R A (-B) 
A
B A
-B
R

24. A
B
R=A+B
A
B
R=A-B

25. COMPONENTES DE UN VECTOR

26. COMPONENTES DE UN VECTOR
A A A
A
Un vector tiene muchas componentes , un caso particular
son las componentes rectangulares

27. y
x
A
Ax
Ay

yA
xA
x
y
A Acos
A A sen
 
 
COMPONENTES RECTANGULARES EN EL
PLANO
AX , AY : proyecciones o componentes
AX , AY : vectores componentes A = AX + AY

28. AZ
Ax
COMPONENTES RECTANGULARES EN EL
ESPACIO
A = Ax + Ay + Az

29. VECTORES UNITARIOS

30. Vector Unitarios
• Un vector cuya magnitud es la unidad y
es paralelo al vector, se denomina vector
unitario.
A
A
u =
A
A
u

31. Vectores unitarios en el plano cartesiano
iˆjˆ
x
y
iˆ Vector unitario en la dirección del eje x+
jˆ Vector unitario en la dirección del eje y+

32. Vectores unitarios en el espacio
x
iˆ
z
kˆ
yjˆ

33. Representación de
un vector con
vectores unitarios
x
y
z
θ

A
Ax
Ay
Az
2 2 2
x y zA A A A A   
kAjAiAA zyx

x y zA A i A j A k  

34. OPERACIONES ANALÍTICAS CON
VECTORES

35. Y
X
SUMA ANALÍTICA DE VECTORES

R
A


j 
i
AX
AY
B

BX
BY
X YA = A i + A j
X YB = B i + B j
              x yAR = + +A AB x y jBi jBi

36. PRODUCTO ESCALAR

37. x x y y z z
A B ABcos( )
A B A B A B A B
 
 
  
   
Producto
escalar de dos
vectores
A
B
θ

38. Producto
escalar de dos
vectores
θABBA cos

cosθAAB

Proyección de A sobre B
cosθBBA 
Proyección de B sobre A
Producto
escalar de dos
vectores

39. Propiedades del producto escalar
Teorema: Sean a,b vectores en 2 y  un
número real, entonces:
 a.0 = 0
 a.b = b.a (propiedad conmutativa)
 (a).b = (a.b) = a.( b)
 a.(b + c) = a.b + a.c (propiedad distributiva)
 Si a . b = 0 entonces el vector a es
perpendicular al vector b
2
.a a a

40. 1ˆˆ ii
1ˆˆ  jj
0ˆˆ  ji
0ˆˆ kj
0ˆˆ ki
xAiA  ˆ

1ˆˆ kk
yAjA  ˆ

zAkA  ˆ
 X X Y Y Z ZA B A B A B A B   

41. PRODUCTO VECTORIAL

42. Producto
vectorial de dos
vectores
BAC


A x B = |A| |B| sen φ û

43. Producto Vectorial: AxB
A x B = |A| |B| sen φ û A x B = - B x A

44. 0iˆiˆ

 0ˆˆ

jj
0ˆˆ

kk
kji ˆˆˆ  ikj ˆˆˆ 
jik ˆˆˆ 
PRODUCTO VECTORIAL DE LOS VECTORES UNITARIOS